数值分析思考题4

数值分析思考题41、 Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？答：Gauss 消去法所需的加，减，乘，除运算的次数为：由于Gauss消去法与LU三角分解法是等价的，因此，LU三角分解法的工作量也是，两者的工作量相同。平方根法是A为实对称正定矩阵时，三角分解法的变形。其工作量约为LU三角分解法的一半，该算法的计算量为13 n3 2、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？分别用列主元和全主元Gauss消去法求解下列方程组：答：（1）条件（三角分解的一个充分条件）：如果的顺序主子式均非奇异，则存在唯一的单位下三角阵和上三角阵，满足。 并且，在三角分解过程中的除法运算要求分母不能太小，否则将可能产生不稳定的情况。 （2）.选主元的目的就是为了完成消元并且避免不稳定情况的发生。3、用平方根方法（Cholesky分解法）求解下列方程组，并用紧凑格式存储。答：系数矩阵A=l21=a21/l11l32=(a32-l31ll21)/l22l33=a33-l312-l322L= LT = b=-4 3 10T求解方程Ly=b y=(-1 2 6)T求解方程组LTx=y 求得x=(-944 2) T 4、已知线性方程组（1）求系数矩阵的逆和条件数；（2）若方程组右端有微小扰动，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。解：（1）得到的结果：系数矩阵的逆,条件数为：10000。（2）线性方程组其解为： 若方程组右端有扰动，则原方程变为: ，其解为：。即解的相对误差是右端项相对误差的10000倍。