二重积分极坐标系下的计算

二重积分极坐标系下的计算Tag内容描述：<p>1、极坐标系下二重积分的计算 一 极坐标系下二重积分的一般公式 1 面积元素 2 一般公式 二 极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形 1 区域特征如图 2 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 3 区域特征如图 例1将 化为在极坐标系下的二次积分 1 解 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 2 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 3 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 4 在极坐标系中 闭区域 D可表示。</p><p>2、极坐标系下二重积分的计算 一 极坐标系下二重积分的一般公式 1 面积元素 2 一般公式 二 极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形 1 区域特征如图 2 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 3 区域特征如图 例1将 化为在极坐标系下的二次积分 1 解 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 2 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 3 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 4 在极坐标系中 闭区域 D可表。</p><p>3、对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 。</p><p>4、第九节 在极坐标系下二重积分的计算 根据微元法可得到极坐标系下的面积微元 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为 9 1 内容分布图示 利用极坐标系计算二重。</p><p>5、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>6、第二节 极坐标系下计算二重积分,二、小结,一、利用极坐标计算二重积分,一、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,解,练习,二、小结,二重积分在极坐标下的计算公式。</p><p>7、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>8、一、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,二、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>9、一 直系与极系下的二重积分关系 1 面积元素变换为极系下 2 二重积分转换公式 3 注意 将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行 三换 二 极坐标系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交 由穿进点 穿出点的极径得到其上下限 将直系下的二重积分化为极系后 极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算 1。</p><p>10、2 直角坐标系下二重积分的计算 教学目的 1 熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 2 懂得用二重积分求面积及体积 教学重点 一般区域上二重积分的计算 教学难点 把二重积分化为不同次序的累次积分 一 矩形区域上二重积分的计算 即 矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分 此时 选择哪种次序就看被积函数 积分要简单 二 一般区域上二重积分的计算 1 x 型区域与y 型区域 如果积分区域为。</p><p>11、第二讲 直角坐标系下二重积分的计算,内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。,预备知识：,(1) 曲顶柱体体积：,(2)在直角坐标下，,二重积分,(3)平行截面面积为已知的立体的体积,如果积分区域为,（1）X型区域,1.对积分区域的讨论：,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为,（2）Y型区域,Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,可以用平行于坐标轴的直线,(3) 一般区域：,把 D 。</p><p>12、主讲教师: 王升瑞 高等数学 第二十四讲 1 第三节 利用极坐标计算二重积分 二重积分在极坐标系中的计算法 第八章 2 利用极坐标计算二重积分 换元积分法是计算定积分的一种常用的方法， 在计算重积分中有类似的换元法。 一种换元法就是本节所介绍的 极坐标。 将二重积分的 从直角坐标换为积分变量 3 解：先求曲线的交点 引例：计算 4 极坐标： 若将直角坐标系中的原点取为极点， 轴的正半轴取为极轴。 设直角坐标系中点 的坐标 极坐标系中点的坐标 称为极坐标的极径。 称为极坐标的极角。 二重积分中被积函数 把 由极轴出发逆时针方向为正。。</p><p>13、第十五讲二重积分的计算,1概念2直角坐标系二重积分3极坐标系二重积分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法。</p><p>14、三、二重积分的换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算,为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如计算,其中,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题解法见后面例题8,还可举例,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri。</p><p>15、第三节,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,引入：底是矩形的曲顶柱体的体积,在区间上任意取定一点 ， 作平行于yoz面的平面, 截面是一个以 区间为底, 曲线 为曲边的曲边梯形, 其面积为 任意一点处的横截面积,该曲顶柱体的体积为,根据二重积分的几何意义, 有,综上两个表达式可得,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,（2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域 ,则有,(1) X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y。</p><p>16、利用极坐标计算二重积分 将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽） 则 面积元素 扇形 弧长 径向 宽度 则 二重积分极坐标表达式 一、极坐标系下二重积分表达式 二、极坐标下二重积分化为二次积分 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 小结 一、极坐标计算二重积分的步骤： （1）区域D表达为极坐标范围 （2）直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分 （3）极坐标系下二重积分化为极坐标系下二次积分 。</p><p>17、2019/6/21,皖西学院 数学系,1,2 直角坐标系下二重积分的计算,2019/6/21,皖西学院 数学系,2,把二重积分化为两次定积分的计算.,定理21.9,2019/6/21,皖西学院 数学系,3,2019/6/21,皖西学院 数学系,4,先对y，后对x积分,另解： 先对x，后对y积分(略).,2019/6/21,皖西学院 数学系,5,2019/6/21,皖西学院 数学系,6,2019/6/21,皖西学院 数学系,7,2019/6/21,皖西学院 数学系,8,2019/6/21,皖西学院 数学系,9,注1：复杂的区域可用横线、竖线分成若干个基本类型；,注2：既是X-型又是Y-型的区域，注意积分次序的选择. 以第一次积分计算简单为标准.,2019/。</p><p>18、2直角坐标系下二重积分的计算 教学目的与要求 1 掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式 2 了解二重积分化为累次积分公式的证明 教学重点 难点 重点 二重积分化为累次积分的方法 难点 二重。</p><p>19、第八节 在直角坐标系下二重积分的计算 本节和下一节 我们要讨论二重积分的计算方法 其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算 转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分 本节先在直角坐标系下讨论二重积分。</p>