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黎曼猜想漫谈

的Riemann猜想。对于数学命题来说。Montgomery虽然得到了有关Riemannζ函数非平凡零点对关联函数的猜测性结果。也带着那几分苦恼。已先后介绍了Riemannζ函数的定义及其零点(尤其是非平凡零点)。以及非平凡零点的计算(包括对其是否符合Riemann猜想的验证。在Riemann猜想的研究中。

黎曼猜想漫谈Tag内容描述:<p>1、Riemann 猜想漫谈(九)作者:卢昌海从纸笔到机器Riemann-Siegel公式的发表大大促进了人们对Riemann函数非平凡零点的计算。如我们在第十一、十二两节的介绍及实际运用中看到的,Riemann-Siegel公式中的求和的项数是由n2(t/2)这一条件确定的,这表明用Riemann-Siegel公式计算一个位于s=1/2+it附近的零点所需的计算量为O(t1/2)。而在这之前人们所用的Euler-Maclaurin公式计算同一零点所需的计算量约为O(t),两者在计算量上的差别也就是Riemann-Siegel公式相对于Euler-Maclaurin公式的优越幅度随着t的增大而变得越来越明显。因此Riemann-Siegel。</p><p>2、Riemann 猜想漫谈 (十二)作者:卢昌海Montgomery关于Riemann函数非平凡零点分布的论文于1973年发表在了美国数学学会的系列出版物纯数学专题讨论文集(Proc.Symp.PureMath.)上。但最初几年里它并没有吸引多少眼球,因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙,在当时都还只是一个纯粹的猜测,既没有严格的数学证明,也没有直接的数值证据。我们在第十三、十四两节中曾经介绍过对Riemann函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。在Montgomery的论文发表之初,人们对零点的计算还只进行到几百万个,而且如我们在第十五节。</p><p>3、Riemann 猜想漫谈 (十九)作者:卢昌海三十四.“豪华版”Riemann猜想本节我们来介绍“豪华版”的Riemann猜想。所谓“豪华版”,顾名思义,就是要比“普通版”更高一筹,后者有的前者都得有,而且还得有新东西。对于数学命题来说,这意味着得比原命题更强、更普遍,将原命题包含为自己的特例。那样的命题如果成立,原命题就自动成立,但反过来则不然(否则两者就等价了,对不住“豪华版”这一光荣称号)。“豪华版”Riemann猜想与上节介绍的“山寨版”Riemann猜想虽分属不同类别,有一点却是共同的,那就是都得从对Riemann函数的变通入手,因。</p><p>4、Riemann 猜想漫谈 (十一)作者:卢昌海茶室邂逅Montgomery虽然得到了有关Riemann函数非平凡零点对关联函数的猜测性结果。但这一结果究竟有什么深意?对他来说却还是一个谜。他觉得这个结果应该预示着某种东西,可那究竟是什么东西呢?他毫无头绪,这多少让他感到有些苦恼。带着他的研究成果,也带着那几分苦恼,Montgomery于1972年春天飞往美国圣路易斯参加一个解析数论会议。那趟旅行对Montgomery有着一举数得的意义。除会议本身外,他还到Michigan大学(UniversityofMichigan)所在地安娜堡(AnnArbor)买了房子,因为此前不久他已接受了一份。</p><p>5、Riemann 猜想漫谈 (十五)作者:卢昌海在二十世纪的数学家中,Selberg是非常独特的一位。当数学的发展使得数学家之间的相互合作变得日益频繁的时候,Selberg却始终维持了一种古老的“独行侠”姿态他所走的是一条独自探索的道路。Selberg于1917年出生在寒冷的北欧国家挪威。年少的时侯,他常常独自静坐在他父亲的私人图书室里阅读数学书籍。那段经历与他后来近乎孤立的研究风格遥相呼应。就在那时,他接触到了有关印度数学奇才Ramanujan的故事。那些故事,以及Ramanujan的那些有如神来之笔的奇妙公式深深地吸引了他。随着阅读的深入,Selber。</p><p>6、Riemann 猜想漫谈 (十三)作者:卢昌海在我们这Riemann猜想之旅的前面各节中,已先后介绍了Riemann函数的定义及其零点(尤其是非平凡零点),非平凡零点与素数分布之间的关联,以及非平凡零点的计算(包括对其是否符合Riemann猜想的验证,以及数值计算)。沿着零点计算这一线索,我们介绍了人们对零点分布的统计研究,以及由此而发现的零点分布与物理之间出人意料的关联。这无疑是整个旅程中最令人惊叹的风景事实上,我之所以萌生出写作这一系列的念头,这段风景乃是主要原因之一,因此,可以说正是这段风景使得我们的整个旅程成为可能。看过了。</p><p>7、Riemann 猜想漫谈(八)作者:卢昌海围捕零点时下流行一种休闲方式叫做DIY(DoItYourself),讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西,比方说自己动手做件陶器什么的。在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累,可如今许多人偏偏就兴这个,或许是领悟了负负得正(累累得闲?)的道理吧。既是大势如此,我们也乐得共襄盛举,安排“休闲”一下,让大家亲自动手用Riemann-Siegel公式来计算一个Riemann函数的非平凡零点。DIY一般有个特点,那就是课题本身看起来虽颇见难度,实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做(以免打击休闲的积极性)。我们。</p><p>8、Riemann 猜想漫谈 (十四)作者:卢昌海在Bohr与Landau研究零点分布的同时,另一位为Riemann猜想而着迷的数学家Hardy也没闲着。1914年,即与Bohr-Landau定理的提出同一年,Hardy对Riemann猜想的研究也取得了突破性的结果。这便是我们在第一节中提到过的那个“令欧洲大陆数学界为之震动的成就”。在Riemann猜想的研究中,这一结果被称为Hardy定理注一:Hardy定理:Riemann函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。我们知道(详见上节),无论Hadamard、Valle-Poussin,还是Bohr、Landau,在Hardy之前人们所做的有关Riemann猜想的所有解析研究,。</p><p>9、Riemann 猜想漫谈 (十)作者:佚名更高、更快、更强三亿个零点摆平了Zagier,但显然远不是对Riemann函数非平凡零点进行计算的终点。不过在介绍进一步的进展之前,我们先要对零点计算做一点补充说明。当我们说到零点计算的时候,一般人会很自然地认为所谓零点计算,顾名思义就是计算零点的数值。不知读者在阅读上一节时有没有想过这样一个问题:那就是三亿个零点,即使每个只保留十位有效数字,写下来也有三十亿个数字(如果加上小数点、等号及零点编号等,则数字差不多还要翻上一番)。这许多数字以每页三千个数字而论,起码也要一百万页纸才。</p><p>10、Riemann 猜想漫谈 (十八)作者:卢昌海三十二.从模算术到有限域“山寨版”Riemann猜想这枚坚果该从哪里啃起呢?为了彰显将科普进行到底的决心,让我们从中小学算术啃起吧!这并不是搞笑,在它背后其实有一段小小的故事一段与美苏冷战有关的故事。故事发生在半个多世纪前的1957年。那一年,苏联先于美国将一颗人造卫星送入了近地轨道,迈出了航天时代的第一步。这一在太平年代可以令全人类共同自豪的成就,由于发生在冷战时期,带给美国的乃是巨大的震动和反思。作为反思的结果之一,美国初等教育界兴起了一场以革新教材为主旨的所谓“新数。</p><p>11、Riemann 猜想漫谈 (十六)作者:卢昌海二十七.Levinson方法Selberg的临界线定理表明Riemann函数临界线上的零点在全体非平凡零点中所占比例大于零。那么这个比例究竟是多少呢?Selberg在论文中没有给出具体的数值。据说他曾经计算过这一比例,得到的结果是5%-10%注一。另外,中国数学家闵嗣鹤(1913-1973)在牛津大学留学(1945-1947)时,曾在博士论文中计算过这一比例,得到了一个很小的数值。这些结果或是太小,或是没有公开发表,在数学界鲜有反响。总的来说,Selberg的结果更多地是被视为是一种定性的结果即首次证明了位于临界线上的零点占。</p><p>12、Riemann 猜想漫谈 (十七)作者:卢昌海三十.监狱来信在前面各节中,我们介绍了数学家们在证明Riemann猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。这些尝试有些是数值计算,它们虽然永远也不可能证明Riemann猜想,却有可能通过发现反例而否证Riemann猜想当然,迄今为止并未有人发现反例;有些则是解析研究,它们具有证明Riemann猜想的潜力,但迄今为止距离目标还很遥远。如果小结一下的话,那么这两类尝试虽然很不相同,却都可以被归为直接手段,因为它们的目标都是Riemann猜想本身。既然这两类直接手段都遇到了困难,那我们不妨来问这样一个问。</p>
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