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实变函数与泛函分析基础第二章答案

可在线免费浏览全文并供大家下载。在一般度量空间中不成立。(1)...第十一章线性算子的谱1.设[0。因此IAλ−不是第十章巴拿赫 Banach 空间中的基本定理1 设X是赋范线性空间 是X中个线性无关向量 是一组数 证明 在X上存在满。

实变函数与泛函分析基础第二章答案Tag内容描述:<p>1、 ? 1.?E?mE 0,?mE?c,?E? ?E1,?mE1= c. ? a = inf xE x,b = sup xE x,?E a,b.?Ex= a,x E,a x b,f(x) = mEx? a,b?x 0? | f(x + x) f。</p><p>2、第九章第九章 内积空间和希尔伯特空间内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例 1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 n e 证明 若X是可分的 设 n x是X的一个可数稠密子集 不妨设 n x是线性无关。</p><p>3、1. 设X赋范线性空间, 12 , k x xxL是X中k个线性无关向量, 12 , k L是一组数, 证明:在X上存在满足下列条件:(1)( ),1,2, ii f xik=L;(2)fM的线性连续泛函 f的充要条件为:对任何数 12 , , k t ttL, 11 kk iiii ii tMt x = . 证证 必要性 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则 () 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x = = . 充分性 若对任意数 12 , , k t ttL,有 11 kk iiii ii tMt x = ,则令 012 , k Xspan x xx=L,对任意的, 0 1 k ii i t xX = ,定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i=1i=1 :tt ii ffx = .因 kkk 0iii i=1i=1i=1 ttt iii fxMx = ,故。</p><p>4、第十一章 线性算子的谱 1 设 证明 且其中没有特征值 证明 当时 常值函数1不在的值域中 因此不是满射 这样 反之若 定义算子 则由于 且 因此是C 0 1 中有界线性算子 易验证 所以 总之 若 则对任意 可推得 由于 必有 所。</p><p>5、1 设X赋范线性空间 12 k x xxL是X中k个线性无关向量 12 k L是一组数 证明 在X上存在满足下列条件 1 1 2 ii f xik L 2 fM 的线性连续泛函 f的充要条件为 对任何数 12 k t ttL 11 kk iiii ii tMt x 证证 必要性 若线。</p><p>6、习题解答 1、设为一度量空间,令 ,问的闭包是否等于。 解答:在一般度量空间中不成立,例如:取的度量子空间,则中的开球的的闭包是,而 2、设是区间上无限次可微函数全体,定义,证明:按构成度量空间。 证明:(1)显然且有,特别当时有有。 (2)由函数在上单调增加,从而对有 即三角不等式成立。 3、设是度量空间中的闭集,证明必有一列开集包含,而且。 证明:设为度量空间中的闭集,作集: ,为开集,从而只。</p><p>7、第十一章 线性算子的谱 1 设0,1, ()( )( ),XCAx ttx txX=。证明( )0,1A=,且其中没有特征值。 证明证明 当0,1时,常值函数 1 不在IA 的值域中,因此IA 不是满射,这样 ( )A。 反之若0,1,定义算子 1 :( )RRx t t = 。则由于0,1,且 11 max( ) ( ,0,1) a t b R xx tx td = 因此R是 C0,1中有界线性算子。 易验证()()RIAIA RI =,所以( )A。 总之( )0,1A=, 若Aff=,则对任意t,( )( )tf tf t=,可推得( )0f t =。由于( )0,1f tC, 必有( )0f t ,所以 A 无特征值。证毕。 2 设0,2 ,()( )( ),. it XCAx te x txX=,证明 ( )1A =。 证明证明 。</p><p>8、第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间,是X中个线性无关向量,是一组数,证明:在X上存在满足下列两条件:(1), (2) 的线性连续泛函的充要条件为:对任何数, 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足(1)和(2),则充分性。若对任意数,有。令为张成的线性子空间。对任意,定义上线性泛函:。因,故是有界的,且。由泛函延。</p><p>9、第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间,是X中个线性无关向量,是一组数,证明:在X上存在满足下列两条件:(1), (2) 的线性连续泛函的充要条件为:对任何数, 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足(1)和(2),则充分性。若对任意数,有。令为张成的线性子空间。对任意,定义上线性泛函:。因,故是有界的,且。由泛函延。</p>
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