19_3501672_9.利用定积分思想.证明数列和型不等式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 利用定积分思想 证明数列和型 不等式 的 新路 证明“不等式ni (0,则 :若 f(x)为 单调 递减 的 凹 函 数 ,则对任 意的 n 1,有 11 )(n 曲边梯形 f(k), 1 )(kk ni ii )(= 11 )(n 理可证 可 得到凸 函数 的有关结论 . 子题类型 :(2012 年天津高考试题 )已知函数 f(x)=x+a)的最小值为 0,其中 a0. ( )求 a 的值 ; ( )若对任意的 x 0,+ ),有 f(x) 求实数 k 的最小值 ; ( )证明 : ni 22n+1)0;又因 f(x) ln(x+1)(函数 y=y=ln(x+1)均过点 O(0,0),只需函数 y=0,单调递增的速度不大于 y=ln(x+1)的单调递增速度 ) 当 x (0, ,11x 当 x (0, ,2k(x+1) 1 2k 1 21; ( )令 g(x)=122x,则 g(x)在 (1,+ )上恒为正 ,且是单调递 减 的 凹 函数 ni 22=2+ ni 220; f(x)的单调性 ; f(x)的凸凹性 ;其 f(x)凸凹性的判定是关键 ,对于简单的函数可利用其图像判定其凸凹性 . 子题类型 :(2011 年 四川 高考试题 )已知 函数 f(x)=32x+21,h(x)= x . ( )设函数 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的单调区间与极值 ; () 设 a R,解关于 x 的方程 ;3f(43= () 试比较 f(100)h(100)-1001 )(k 解析 :( )由 F (x)=32F(x)的 递减 区间 是 (0,169 ),递增 区间 是 (169 ,+ ),F(x)的极 小 值 F(169 )=81 ; () 由 3f(43= a+4=0 当 45 时 ,无解 ; () 由 h(x)= x 在 (0,+ )上恒为正 ,且是单调 递增 的 凹 函数 1001 )(k 0123 61. 点评 :通过 利用 黎曼和 子题类型 :(2003年 江苏 高考试题 )设 a0,如图 ,己知直线 l:y=:y=上的点 0)的图像在点 (1,f(1)处的切线方程为 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范围 ; ( )证明 :1+21+31+ +n1ln(n+1)+)1(2 nn(n 1). 2.(2014年 陕西 高考试题 )设函数 f(x)=+x),g(x)=(x),x 0,其中 f (x)是 f(x)的导函数 . ( )令 g1(x)=g(x),(x)=g(gn(x),n N+,求 gn(x)的表达式 ; ( )若 f(x) ag(x)恒成立 ,求实数 a 的取值范围 ; ( )设 n N+,比较 g(1)+g(2)+ +g(n)与 n)的大小 ,并加以证明 . 3.(2004年复旦大学自主招生试题 )求证 :1+221+331+ +g(x)在 (1,)上递减 g(x)1+21+ 13 )(n +21+13n= 1+21+ln(n+1)ln(n+1)+23ln(n+1)+)1(2 ( )由 g(x)=(x 0),用数学归纳可证明 :gn(x)=;( )设 h(x)=f(x)x)(x 0),则 h (x)=x11( h (0) 0 a 1;当 a 1 时 ,h (x)=2)1( 1x 0 h(x) h(0)=a 的取值范围是 (- ,1; ( )由 g(x)=在 0,+ )上恒大于零且单调 递增 的 凸 函数 g(1)+g(2)+ +g(n)n (= n 111(=x+ 1)|n0=n+1)=n). 令 f(x)= f(x)在 1,+ )上恒大于零且单调递减 的 凹 函数 1+221+331+ + ,令函数 f(x)=1211,+ )上恒大于零且单调递减 的 凹 函数 nk k 1=21+ nk k 1 11 )(n 1x| 11n =2122 nn=22 ( nk k 1)原不等式成立 . 令 xi=ni,f(x)= 21 x (0 x 1),则 )1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 =(f( (f( +(f(+2)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 =(f(0)+(f(f(+(f(所以 ,)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 a+2)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 )1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 ba (+2)1(1 n