二重积分单独讲解

12oxy第九章 重积分与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限” 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域 它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算 第一节 二重积分的概念与性质本节主要内容 1 引例2 二重积分的概念3 二重积分的性质讲解提纲： 一、引例引例 1 求曲顶柱体的体积设有曲顶柱体，它的底是 面上的闭区域 ，侧面是xoyD以 的边界曲线为准线而母线平行于 轴的柱面，顶是曲面Dz，这里 且在上 连续，求其体),(yxfz0),(f积 V引例 2 求非均匀平面薄片的质量设有一平面薄片占有 面上的闭区域 ，它在点xoyD处的面密度为 ，这里 且在 上),(yx),(0),(yx连续，求薄片的质量 M二、二重积分的定义：设 是有界闭区域 上的有界函数将闭区域 任意分成 个小闭区域：),(yxfDDn，以 表示第 个小闭区域的面积，以 表示 的直径，并令n21 ii iiyx),(ii2在每个 上任取一点 ，作和式： 如果当imaxi),(ini iif1),(时，该积分和的极限存在，则称此极限值为 在区域 D 上的二重积分，记作0),yxf，即Ddyxf),(niiDfdyxf10),(lm),( 其中 称为被积函数， 称为积分表达式， 称为面积元素， 称为积),(yxf f),( dyx,分变量， 称为积分区域三、二重积分的性质性质 1 设 ， 为常数，则 DDD dyxgdyxfdyxgf ),(),(),(),(性质 2 如果闭区域 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如 分为两个闭区域 与 ，则1221 ),(),(),(DDD dyxfdyxfdyxf 这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性性质 3 如果闭区域 上， ， 为 的面积，则 ),(yxf Dd1性质 4 设在 有 ，则 D,),(gfDDdyxgdyxf),(),(性质 5 设 、 分别是 在闭区域上的最大值和最小值， 为 的面积，则Mm),(yxf有MdfD),(性质 6（中值定理）设函数 在闭区域 上连续， 为 的面积，则在 上至少,yxf D存在一点 ，使),(),(),(fdyxfD3例题选讲：例 1 不作计算估计 的值，其中 是圆域： dyxID)94(2D42yx解： D 的面积为 由于 ，4(25992故 0I36例 2 估计二重积分 的值， DyxdI22cos10其中积分区域 为闭区域 （如右图） yx解： D 的面积为 2)(由于 ，故 ，102yx22cos110102I即 I96.例 3 判断 的符号（ ） 12)ln(yxr dxy0r解 当 时，20yx2)(yx故 又当 时， ，于)ln(210)ln(2yx是d)ln(12yxr例 4 积分 有怎样的符号，其中 dxyD32 4:2yxD解： 把积分域分为 ，如右图：则321,原式 1 d32Dyx2 d2Dyx 23D211xoD1010xyo11yoDrx41yx3y2o1D3 d12Dyx 1dyx31 )4(230例 5 比较积分 与 的大小，其中 D 是圆域： Ddyx2)(Ddyx3)(1)2(解： 积分域 的边界为圆周： ，它与2)1()2(yx轴交于点 ，与直线 相切，而域 位于直线的上方，x)0,1(yD 故在 上 ，从而Dy32)()(yx32)(yx课堂练习1将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处2试用二重积分表示极限 nijjine122lm第二节 二重积分的计算本节主要内容1 利用直角坐标系计算二重积分2 利用极坐标系计算二重积分讲解提纲：5一、利用直角坐标系计算二重积分对 型区域： ，有X )()(,|),( 21xyxbayx；)(21,xbaDdyfdf对 型区域： ，有Y )()(,|),( 21ydycx)(1,ydcD dxfxf)(1xy)(2xybaD注：（1）有的情况下积分区域既是 型区域又是 型区域（如右图） ，不妨设为XY)()(,|),( 21xyxbayxD，dc则 baxD dyfxyf )(21,),(dcyf)(21,为计算方便，可以选择积分次序，在必要时也可交换积分次序（2）若积分区域较复杂，可将其分成若干个互不相交的型区域或 型区域如右图中： ，则XY 321D有 DD123（3）利用被积函数的奇偶性及积分区域 D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算 ydcxo)(2yx)(1x)(2xyxoDba)(1x)(2ydcx)(1yoxy1D236设函数 在闭区域 D 上连续，且 关于 轴对称，位于 轴上方的部分记为),(yxf xx，则在 上1D若 ，则 ；),(),(yxff1),(2),(DDdxyfdxyf若 ，则 , 0,当区域关于 轴对称，函数关于变量 有奇偶性时有类似的结果yx在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数 的奇偶性和积分区域 D 的对称性),(yxf两方面例题选讲：例计算 其中 D 是,Dxyd(1) 由直线 及 所围成的闭区域；2,1xy(2) 由抛物线 和直线 所围成的闭区域2解：（）解法 1 将 D 看作 X型区域， 则 21:xyD于是， I21dxy21d x212389解法 2 将 D 看作 Y型区域， 则 21:yxD于是， I21dyx21d 1321dy89（） 为计算简便，先对 x 后对 y 积分，则于是，21:2yxDI2d2y 2152122 d )( d yyx xy21xoDxy22xy14ox721623421yy845例 2 计算 ， 其中 是直线dxD2D和 所围成的闭区域1xy、 y解： D 既是 X型区域，又是 Y型区域， 显然利用 X型区域做法简单，于是 I12dxyxyx 13123 )( d )( 3 dxxyx1)(3210例 3 求 其中 D,|2Ddxy为 10,1yx分析：当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号 将 分为两部分 和 2xyD12解： I1)(Dd2)(dy054例求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围成的立体的体积解：设这两个圆柱面的方程分别为： 和 利用立体关于坐22Ryx2zx标平面的对称性，只须求出它在第一卦限部分的体积 ，然后再乘以 8 就行了由于1V，于是，xRyxD0,0|),(2dV21 dxy022 dxyRR0022xR02)(3从而，所求立体的体积为 3168RVxyxO1oxy112xy2D8例 交换下列二次积分的积分次序（1） ；)0(d),(d202 ayxfxIa解： ，yay2x2y故原式 ay0d2d),(yaxfay0yaxf22d),(ay2xf2d),(（2） 22 8020 ),(),(xx fyf解： 积分域由两部分组成：和 20:11xyD28:xyD将 视为 Y型区域 ， 则 ，21208:yx于是， DyxfId),(2028d),(yxf例 6 证明： banxanb dyfdyfd )(1)( 12证明： xanbfy)(2bynaxfx)(2nxdf1)1ady1例 7 计算 其中积分区域 由曲,)l(2DdxyyD线 与 所围成xy3,421解：令 ， （如图)ln(),(2yyf 2182yx2Dxo12y12D124xyxy3oxa2aoyDxybba9所示） 显然在 上， ；在 上， 于是，1D),(),(yxff2D),(),(yxfxf1 dln(2yxI 2 d)1lnDy0二、利用极坐标系计算二重积分有些二重积分，其积分区域 的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分 极坐标系下的面积微元为 ，直角坐标rd与极坐标之间的转换关系为 ,cosrxiny从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式：DDrdrfdxyf )sin,co(),(若积分区域可表示成：，),()(|,(21 rr则有 )(21 )sin,co),( rdrfdxyfD特别地，若积分区域可以表示成： ，则20,(0|),( 20)( )sin,co),( rdrfdxyfD例题选讲：例 1 化下列积分为极坐标形式的二次积分（1） ； （2） 20),(xdyf 20),(yadxfd解：略rdrxyod10例 2 计算 其中 是由圆 所围成的区域,)(2DyxdeD)0(22ayx解： 在极坐标系下 ，故0:ar原式 Dred220read2are021)1(2ae注：由于 的原函数不是初等函数，故本题无法用直角坐标计算2x例 3 计算 ， 其中积分区域 是由 所确定的Ddxyx2)sin(D412yx圆环域解：由对称性，可只考虑第一象限部分 由被积函数的对称性，得到14Ddxyx2)sin(12)i(4y 0sin2rdd 4 例 4 求 ，其中 xyD2xyxD2|)(解： 的边界曲线 化为极坐标方程的,，极点在边界上，令 ，由 得cosr 0r0cos，从而： ，则22:Ddxyx22cos02dr94cos3123例 5 , 是由轴 和 轴所围的半圆形区域dxyxD)(2D21xy xoyxo2111解： ， 于是，0:D1rdxyyx)(2 rd)cosin(02dr01043sico02in8131062cos33例 15 计算 ，其中 为曲线 及直线Ddxy)(2D,22yxyx42所围成的平面闭区域,03yx03解：因为，22sinr，yx4，0332，yx61所以，Dd)(236sin42dr)32(15课堂练习1. 变换下列二次积分的次序： 201),(xdyfd2. 计算 其中 D 由 及 y 轴所围,2dxyeD,y3 计算二次积分 120sinx4 计算 ，其中 Dy| 2:ay)0(第三节 三重积分的概念及其计算法本节主要内容1 三重积分的定义ox24xoy122 利用直角坐标计算三重积分3 利用柱面坐标计算三重积分4 利用球面坐标计算三重积分讲解提纲：一、三重积分的定义：与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分背景：空间一非均匀物体的质量定义：设 是空间有界闭区域 上的有界函数，把 任意分成 个小闭区域),(zyxf n，其中 表示第 个小闭区域的体积在每个 上任取一点（nvv,21 ii iv） ，作和式 若当 时，该和式的极限存在，就称此极限ii, iivf),(10值为函数 在区域 上的三重积分，记为 ，即),(zyxfdvzyxf),(，ni iifdvzyxf10),(lm),( 其中 称为体积元素，其它的记号类似二重积分在直角坐标系中，如果用平行于三个坐dv标面的三族平面来划分 ，则有 ，进而 ，于是三重积分记作：iiizyxvdxyzv，zfdzf ),(),(其中 为直角坐标系中的体积元素当 1 时，设积分区域 的体积为 ，dxyz ),(zyxf V则， (42)dvV1这个公式的物理意义是：密度为 1 的均质立体 的质量在数值上等于 的体积二、利用直角坐标系计算三重积分方法一 ： 投影法（“先一后二法” ）积分区域 可表示为：，),(),(),(,21yxzyxzDyxz其中 是 在 面上的投影，则o yxz,1yxz,2yozD13；Dyxzdzfdvzyxf ),(21),),(方法二 ： 截面法（“先二后一法” ）积分区域 可表示为： ，),(),( zDyxbzayx其中 是平面 截积分区域 所得的平面闭区域，则zzZabDzdxyfdvyxf ),(),(方法三 ： 三次积分法将投影法中的二重积分化为二次积分即可，即积分区域 可表示为：，则),(),()(,),( 2121 yxzyxzyxazyx dfddvzfbaxyzyx)(),(2121,注：利用对称性同样可以化简三重积分计算一般地，如果积分区域 关于 平面对称，且被积函数 是关于 的奇函数，O),(zyxfz则三重积分为零； 如果被积函数 是关于 的偶函数， 则三重积分为 在),(zyxfz 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍 当积分区域 关于 或 平面对称xOy Ox时，也有完全类似的结果例题选讲：例计算三重积分 其中 为三个坐标面与平面 所,)(dxyz 1zyx围成的闭区域解：积分区域 可表示为：10,10),( yxzxyzx 于是， yxDdzdI10)(81)()(22 xyyx例 2 计算三重积分 ，其中 zyxzd2 1:22czbyaxyzoabzDzdoxy1D1114解： ，221:czbyaxDzczd2czDyxdccba)1(22354cba例 3 求积分 其中 由 ， 所,12dxyzy21zxy,12zy围分析：若用“先二后一” ， 则有zxyIDd1d201 zxyDd1210计算较繁！采用“三次积分”较好解： 所围，故可,22z由表为，1 : 22xxzy故 11222ddzxxyI 458例计算 ，其中dxyzzyxz1)ln(22 .1|),(22zyxz提示： 利用对称性，则原式 = 12dyx 0d1)ln(212yx zzyz三、利用柱面坐标系三计算重积分设点 的直角坐标为 ，柱面坐标为M),(zyx，则),(zr 奇函数 xyzo),(zxM),(rPyzabczDy1o1xz15；zrzryx20sinco柱面坐标系中的三族坐标面分别为常数：以 轴为中心轴的圆柱面；r常数：过 轴的半平面；z常数：与 面平行的平面zxOy柱面坐标系中的体积微元： ，因此dzrvdzrFzfD),(),(其中 ,sin,co),(rzrF注：柱面坐标解三重积分适用的范围：（1） 积分域用柱面坐标表示时方程简单；（2） 被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离四、利用球面坐标系计算三重积分点 的直角坐标 与柱面坐标 之间的关M),(zyx),(r系为；02cossinincorrzrOPyx球面坐标系中的三族坐标面分别为常数：以原点为球心的球面；r常数：以原点为顶点， 轴为对称轴的圆锥面；z常数：过 轴的半平面z球面坐标系中的体积微元： ，因此drdvsin2，drFxyzfDsin),(),( 2其中 co,si,cosin),(rrrzrF例题选讲：例计算三重积分 ，其中 是由柱面,2dxyzz与平面 所围成的半圆柱xy220),(,0a Pxyzo),(zyxMryA2axyzocs16体解： 在柱面坐标系下，于是az02cos:原式 zd2cos200dacos34203a398例 计算 ， 其中 是抛物面 和平面 所dxyz2124yxzhz围成，其中 0h解： 在柱面坐标系下：，故204:2hzr原式 = hhz42022d1d hd2022)4(1)ln()4(例 计算三重积分 其中 是由 与 所围,zdxy22yxRz0z解： 在球面坐标系下，于是20:RrRdrrdI020 sinco41Rxyoxyh17例 计算 其中 是锥面 与上半球面,)(22dxyzyx22zyx所围的立体)022zRzyx解： 在球面坐标系下，204:r于是，zyxyxd)(22 Rr044020 dsin)2(51课堂练习1设 由六个平面 围成的闭区域， 试,42,1,2,0xzyxyx 2将 化为三次积分dvzyxf),(2计算 其中 是由曲面 所围成的立体区域,V122zyx3计算三重积分 其中 为上半球体： ,zdI0),(22zayx第四节 重积分的应用本节主要内容1 立体体积2 曲面面积3 物体的质心4 物体的转动惯量5 物体的引力讲解提纲：一、立体体积曲顶柱体的顶为光滑曲面 ，且 ，则曲顶柱体的体积为),(yxfzD),(；DdV占有空间有界域 的立体的体积为xyo4Rr18dxyzV二、曲面的面积空间连续曲面 且 ，设曲面的),(yxfzD,面积为 ，则 AdffDyx),(),(122；xyzx22同理可给出若连续曲面的方程分别为或 时的曲面面积公式yzzygx),( xzDzh),(若光滑曲面的方程为隐式 ，且 ， ，则曲面面积 为0,yxFzFxyD),(AdxyAxyDzy22三、物体的质心1 平面薄片的质心设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ，oD),(yx),(yx假定 在 上连续，则该薄片的质心坐标 为),(yx),(， Ddxy),(Ddxy),(2 空间物体的质心设有一空间物体，占有空间有界闭区域 、在点 处的密度为),(z（假设 在 上连续） ，则物体的质心坐标 为),(zyx),(zyxyx， ， dvM,1 dvzM),(1zyxz),(其中， 为该物体的质量dv,四、物体的转动惯量d),(yxMdAzso191 平面薄片的转动惯量有一平面薄片，则其对于 轴的转动惯量 、关于 轴的转动惯量 及关于原点的xxIyyI转动惯量 分别为：oI， ， dyxDx),(2dyIDy),(2 dxIDo),(22 空间物体的转动惯量设有一空间物体，则物体关于三坐标轴及原点的转动惯量分别为,),()(2vzyxzyIx ,),()(2vzyxzIy， dzdo五、物体的引力1 平面薄片对其外一点处单位质量的质点的引力平面薄片外一点 处有一单位质量的质点，设物体对质点的引力为),(0yxP，则其中),(yxF， dxyrGDx30),(dxyryGFDy30),(为引力常数， 2020)()(2 空间物体对其外一点处单位质量的质点的引力在空间物体外一点 处有一单位质量的物体，则物体对于质点的引力为),(00zyxP,zyxF dvrzyxzGdvrzyxyGdvruG 303030 ),()(,),()(,)( 其中 202020 )()()( zyxr例题选讲：立体的体积例 1 求半径为 a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积解： 在球坐标系下空间立体所占区域为 xoyza2rM20，于是立体的体积为20cos:arzyxVdcos200dsinaricos31603a)1(344例 2 计算 上任一点的切平面与曲面 所围立体体积zyx12 2yxz解： 曲面 在点 处的切平面方程为：S),(0，20012yxyxz它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 （记所围域2yxz 1)()(20为 D） ，故 yxyxVd12200 （ ）xDd)()(12 sin,cos00ryr令rdr10322曲面的面积例 3 计算双曲抛物面 被柱面 所xyz22Ry截出的面积解： 曲面在 xoy 面上投影为 ，则22:DyxzADxd122rRd02)1(323例 4 计算半径为 的球的表面积a解：方法 1 利用球面坐标设球面方程为： ，则球面面积元素为ar21，dsind2aA于是， 02si24a方法 2 利用直角坐标方程 (见书 P109)物体的质心例 求位于两圆 与 之间的均匀薄片的质心sinrsi4r解： 利用对称性可知 ；而0xDyAyd1Drdsi3120sin3rsin42 in95604di9562043721例求半球形 的形心22yxaz解：由对称性知： ，0,Vdz)( 20203razddaadrrd0223)(834物体的转动惯量例求半径为 的圆盘（密度为 ）对中心轴的转动惯量 和对直径的转动惯RoI量 DI解： )(2)dyxIoR0242DoyxCxyo22，24R2m由对称性知， ，而 ，故 yxDIIoyxIoDI2142mR例设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量 ） ，两直角边长分别为 ，求这ba、三角形对其中任一直角边的转动惯量解：设三角形的两直角边分别在 轴和 轴上，如图所示 xy对 轴的转动惯量为：ydxyIDy2babyd 0)1( 2a31同理对 轴的转动惯量为：xdyIDx231ab例 求半径为 的球体（密度为 ）对直径的转动惯量 RDI解： )(2)VzDdvyxI20dRd022sini203sinR0453518物体的引力例 求面密度为常量、半径为 的均匀圆形薄片： 对位于 轴R,22Ryx0zz上的点 处的单位质点的引力 ),0(aM)0(a解： 由对称性知引力 ，,zF，zFddG2a232)(ayxd于是， Dza232)(yxxyoRda0Maboyx23aG20dR23)(ar(aG)12aR例 1设半径为 的匀质球(其密度为常数 )占有空间区域R0求它对位于 处的单位质量质点的引|),(22zyxz,(aM)R力解： 利用对称性知引力分量 ，0yxFzFvazyxGd)(232Rad)(zDyx232)(RG)(20 232)(dzRar2 R zzaz 1)( 22GR)(1da2MG课堂练习1 求球体 被圆柱面 所截得的(含在圆柱面内224azyxaxyx2)0的部分) 立体的体积2 求均匀半球体的质心3 求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量l4 设半径为 1 的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离， 求此半圆的重心坐标及关于 x 轴( 直径边) 的转动惯量第五节 含参变量的积分本节主要内容被积函数含参变量的积分积分限含参变量的积分Rxyzo0Ma24内容要点：一、被积函数含参变量的积分1 定义设函数 是矩形区域 上的连续函数 则积分),(yxf ,ybxa定义了一个在 上的函数，记为df),( , ).(),()( bxadyxf其中 记为参变量，上式称为含参变量积分x2 含参变量积分的性质连续性、可积性、可微性定理 1（连续性） 若函数 在矩形 上连续， 由积分),(yxf ,ybxa)1()(,df确定的函数 在 上也连续)(x,ba定理 2（可积性） 若函数 在矩形区域 上连