2000年考研数学一

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1) 120xd=_.(2)曲面 31yz在点 (,2)的法线方程为 _.(3)微分方程 0x的通解为_.(4)已知方程组123210xa无解,则 a= _.(5)设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 19, A发生 B不发生的概率与B发生 A不发生的概率相等,则 ()P=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx、 (g是恒大于零的可导函数,且 ()()0fxgfx,则当ab时,有(A) ()()ffbx(B) ()()fafg(C) xg(D) x(2)设 221:(0),SyzaS为 在第一卦限中的部分 ,则有(A) 14SSxd (B) 14SSydx(C) 1z (D) 1zyzd(3)设级数 1nu收敛,则必收敛的级数为(A) 1()n (B) 21nu(C) 21()nu(D) 11()n (4)设 n维列向量组 1,()mn 线性无关,则 n维列向量组 1,m 线性无关的充分必要条件为(A)向量组 1, 可由向量组 1,m 线性表示 (B)向量组 m 可由向量组 线性表示(C)向量组 1, 与向量组 1,m 等价 (D)矩阵 ()mA 与矩阵 (,)B 等价(5)设二维随机变量 ,XY服从二维正态分布,则随机变量 XY与 Y不相关的充分必要条件为(A) ()E(B)2222()(XYE(C) () (D)2222()(E三、(本题满分 6 分)求142esinlim.xx四、(本题满分 5 分)设 ,(xzfyg,其中 f具有二阶连续偏导数 ,g具有二阶连续导数,求2.zxy五、(本题满分 6 分)计算曲线积分 24LxdyIA,其中 L是以点 (1,0)为中心 ,R为半径的圆周(1),R取逆时针方向.六、(本题满分 7 分)设对于半空间 0x内任意的光滑有向封闭曲面 ,S都有2()()e0,xSxfdyzfdzdyA其中函数 ()fx在 0,)内具有连续的一阶导数,且 0lim1,x求 .七、(本题满分 6 分)求幂级数 13(2nnx的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分 7 分)设有一半径为 R的球体 0,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数 k),求球体的重心位置 .九、(本题满分 6 分)设函数 (fx在 0,上连续,且 00(),()cos0.fxdfxd试证:在 (,)内至少存在两个不同的点 12使 12.十、(本题满分 6 分)设矩阵 A的伴随矩阵 *01,38且 113ABE,其中 为 4 阶单位矩阵,求矩阵 B.十一、(本题满分 8 分)某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第 n年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 nx和 ,y记成向量 .nxy(1)求 1n与 nxy的关系式并写成矩阵形式: 1.nnxyA(2)验证 1241,是 A的两个线性无关的特征向量 ,并求出相应的特征值.(3)当 12xy时,求 1.nxy十二、(本题满分 8 分)某流水线上每个产品不合格的概率为 (01)p,各产品合格与否相对独立,当出现 1个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X,求 的数学期望 ()EX和方差 ()D.十三、(