2013年浙江省高中数学竞赛试题及解答

2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分）1 集合 ， 且 ,则实数 取值,1PxR,1,QxRaPQa范围为（ ）A. B. . 3aaC. 或 D. 3答案 C 要使 ，则 或02,1,xxa12a。解得 或 。1012 若 则 是 的（ ）,R9sinA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 D 若 。0,9sin1当 ，但 。63 903 已知等比数列 ： 且第一项至第八项的几何平均数为 9，则第三项是（ an,1）A. B. C. D. 98173839答案 B 计算得 。2,qa714. 已知复数 为虚数单位） ，且 ，则 （ ）(,zxyiRi28zizA. B. 2i C. 或 D. 或,2i,ii答案 D 5. 已知直线 与抛物线 交于 两点， 为 的中点， 为抛物线上一个AB24yx,ABMAC动点，若 满足 ，则下列一定成立的是（ ） 。0C0minCA. B. 其中 是抛物线过 的切线M0,l0C. D. 0AB12AB答案 B 2()()()CAMACBMCABM。22 minminl6. 某程序框图如下，当 E 0.96 时，则输出的 K=（ ） A. 20 B. 22 C. D. 25 4,开 始K=1，S=0S=S+1/（ K(K+1)）S=E？输出 KK=K+1是否答案 C 110.9624.23()1S kkk7. 若三位数 被 7 整除，且 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）abc,abc个。A.4 B. 6 C. 7 D 8答案 D 设三位数为 由()19(0,9,0),ddbd7(19),;2,;3;bb43;bd。所以，所有的三位数为5,2;6,1;8d0437405,798. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ） 。A. B. C. D.2329343答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。9. 设函数 ，则函数 的极大值点为（ ）234()1)()fxx()yfxA. B. C. D. 03答案 B 由图象可知 为函数极大值点， 是极小值点， 不是极值点。xx0,2x10. 已知 为一次函数，若对实数 满足(),()fgh，则 的表达式为（ ） 。1,()()320,xfx()hxA. B. ()2h 1()2C. D.1xhx答案 C 。()1()2x二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空 7 分，共 49 分）11. 若 ，tan2,sinxyxy12正视图：上下两个正方形3212 3侧视图1俯视图：边长为 2的正三角形则 _ _。xy23k解答：由 ，所以111tan,sincoscos()62xyxyxy。xyk12. 已知 ，若当 时 恒大于零，则 的取值范围为2()(1)fxkx0x()fk_ _ 。(,解答 由 等号在 取得，即2 21)0,xkkx2x。k13. 数列 ，则数列中最大项的值为_ _。,2,n 3解答 为极大值点，所以数列最大项为11ln/2()()ln)xxxfef xe第三项，其值为 。314. 若 ，满足 ，则 , 。,xyR22()5xyx3xy2解答 把等式看成关于 的一元二次方程。22 224(1)0(1)0(3)0,y15. 设直线 与曲线 有三个不同的交点 ,且 ,则直线l3yxABC5的方程为_ _。l2解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为 ，则1,()ykxAy。所求直线方程为 。3 2221()02()5ykxkk 216. 若 则 _ _。0,ab21minax(,)b3解答 ，所以2 2211x,mabm3。ina(,)b317. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限 轴上的整点） ，其运,xy5动规律为 或 。若该动点从原点出发，经过 6(,)(1,)mn(,(1,)mn步运动到（6,2）点，则有_9_种不同的运动轨迹。解答 .2169C三、解答题（本大题共有 3 小题，每题 17 分，共 51 分） 18. 已知抛物线 ，过 轴上一点 的直线与抛物线交于点24yxK,PQ两点。证明，存在唯一一点 ，使得 为常数，并确定 点的坐标。221PQK解答 设 （ ） ，过 点直线方程为 ，交抛物线于 联K,0a()ykxa12(,)(,)AxyB立方程组5 分2 2222 21214 ()()0,()yx kk aa 7 分222211,PKyKQxay，12 分222()ka令 。17 分a2211,(04KPQ19. 设二次函数 在3,4上至少有一个零点，()2(,0)fxabxabRa求 的最小值。2ab解法 1 由已知得，设 为二次函数在3,4上的零点，则有 ，变形t 2(1)20tbta，5 分22222()()()(1)ttbatta于是 ，12 分22510(4)att因为 是减函数，上述式子在 时取等号，故5,34tt233,50tab的最小值为 。17 分2ab10解法 2 把等式看成关于 的直线方程 ，利用直线上一点（,ab2:(1)2xx）到原点的距离大于原点到直线的距离，即 （以下同,ab 222(1)(xab上） 。20. 设 满足 数列 是公差为 ，首项xN20134.x12013,a 2013x的等差数列； 数列 是公比为 首项2011()ax12013,b ,的等比数列，求证： 。 3b120baa解：首先， ， -2 分2013201)()(xixai 。-4 分iiiib201412013)()()(6 分iii x)(20131用归纳法证明 。2013,4ibai由于 ，即 i=1 成立。8 分201320131xx假设 成立，i则 )()1()()()( 2031111 iiiiiiiii baxxbababa )(20)()(132032013 iixx。14 分41ix所以， 。203,ibai归纳证明 ，首先 ，假设 成立，1ii 012ab201i则 )()()( 11212 iiiiiiii abab。170)01303 iiixx分7故命题成立。四、附加题：（本大题共有 2 小题，每题 25 分，共 50 分。 ）21. 设 证明,3,abcRbca。5532232()()()9cab解答 原命题等价于 ，10 分3又 20 分22333()9(),abcabc故只需要证明 成立。25 分22利用已知条件，这是显然的。22. 从 0,1,2，10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法” 。试问：对图 1 和图 2 是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。解答 对图 1，上述填法即为完美（答案不唯一） 。10 分对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好