血药浓度问题(1)

2013 年闽南师范大学大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了2013 年闽南师范大学大学生数学建模竞赛的选手须知 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的竞赛编号为： 130148 我们的选择题号为： B 参赛队员（打印并签名）：队员 1：陈怡萍 队员 2：卓碧连 队员 3：林炳伟 评阅编号： 2013 年闽南师范大学大学生数学建模竞赛组委会血药浓度问题一、摘要药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含量（纳克/毫升，1 纳克= 克） ，简称血910药浓度。药物经口服而进入体内，因代谢而逐步消除药物。大量的临床实践表明，相同剂量的药物对人不同人有不同疗效。而药物作用的强度与药物在血浆中的浓度成正比，药物在体内的浓度随着时间而变化。此建模通过检测部分时间的血药浓度，结合药物代谢动力学的部分公式（ ） ，以及问题中的数据可推算出口服一定药物后的最高血药浓度 Cmax。随代谢的进行，体内的血药浓度会逐渐降低，当血药浓度降低到一定值时，为保证药效需要再次服药，模型中给出第二次服药与第一次服药的时间间隔以及第二次服药的药剂量，为病人的再次服药提供了好的参考。模型中还给出了 24 小时之内的血药浓度曲线，可以直观地看出血药浓度的变化情况。二、问题重述药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含量（纳克/毫升，1 纳克=克） ，简称血药浓度，随着时间而变化。血药浓度的大小直接影响到药物的90疗效。因此，研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程对于临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值。现有一体重 60 千克的人在 t =T1= 0 时, 第一次口服某药( 剂量为 0.1 克)，经 次检测得到的血药浓度数据见附录 1。假设n相同体重的人的药物代谢的情况相同。请根据附录 1 的数据回答下面的问题：1. 请建立一个合适的血药浓度模型描述上述口服药在体内的变化过程；2. 根据附录 1 的数据和你所建立的血药浓度模型，把其中参数估计出来；并给出该体重 60 千克的人第一次服药（0.1 克剂量）后的最高血药浓度 Cmax(纳克/ 毫升) ；3. 为保证药效, 在血药浓度降低到 437.15（纳克/ 毫升）时应再次口服药物, 其剂量应使最高浓度等于 Cmax(纳克/毫升)。求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔和剂量；4. 画出符合 3 的二次服药情况下在 24 小时之内的血药浓度曲线，并给出二次服药后时间间隔 的血药浓度；,1520t5. 设某种药物的最佳疗效是要求其血药浓度控制在某个范围内，要求其血药浓度的波动范围尽量小，同时最小的血药浓度不低于 520（纳克/毫升） 。考虑到人体机体的安全，要求每次服药的剂量不能超过 0.25 克，时间间隔不少于2.5 小时。请利用上述的模型，从药物疗效和人体机体的安全角度出发，设计一种最佳的给药方案，给出包括药剂量，间隔时间和血药浓度的波动范围等。三、参考数据与参数说明现有一体重 60 千克的人在 t =T1= 0 时, 第一次口服某药 (含剂量 X=0.1(克) ，经 3 次检测得到数据如下: t =3(小时)时血药浓度为 763.9(纳克/毫升)(血药浓度 (纳克/ 毫升), )(ytCVV 表示未知血液容积(毫升). t = 18(小时) 时血药浓度为 76.39 纳克/ 毫升，t = 20(小时) 时血药浓度为 53.4(纳克/毫升).：表示 时刻体内药量)ytt：未知的吸收速度常数aKF ：未知的吸收比例常数K ：未知的消除速度常数.C(t): 表示 时刻体内血药浓度 单位（纳克/ 毫升） tV：表示身体内的血液的容积X :表示服药的剂量 单位（克）四、问题分析本题要解决人体服药后，血液中药物的含量是多少及下一次服药的时间间隔与服药剂量的问题。属于微分方程类型。因为药物是一次服入体内的，可根据药物动力学知识中的“二室模型” 。题目已经给出了微分方程，所以由微分方程得到数学模型。最后可以利用MATLAB 软件对所提供的数据进行拟合，得到血液中药物含量 C(t)与时间 的一个函数关t系式。然后求出最高血药浓度 Cmax 第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔 T2(小时)和剂量 X2(克) ，最后做出符合 2 的二次服药情况下在 24 小时之内的血药浓度曲线。五、建模假设1 设相同体重的人的药物代谢的情况相同.2 假设人体血液体积一定。3 假设人体对药物的吸收、消化、排泄功能正常六、数学建模与求解（1）模型建立与求解我们将代入实际数值来用 Matlab 模拟作图令 a=0.1，k=-0.1，代入作图执行程序结果如下：0 10 20 30 40 50 60 70 8000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1上图即口服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为 0。-（1）d exp( )aayKFXtKyt-（2）()ytCV用 matlab 求解微分方程（1）可得y(t)=C2/exp(K*t) + (Ka*F*X)/(exp(Ka*t)*(K - Ka)由 t=0,y(t)=0 可得C2= (Ka*F*X)/ (Ka-K) -（3） 由（2） （3）可得C(t)= (Ka*F*X)（exp(-K*t)- exp(-Ka*t)）/ (Ka-K)/V -(4)令 A= （4）式可以化为)(kKVFXaC(t)=Aexp(-Kt)-Aexp(-Kat)-（5）不妨设 K x=3,18,20; x=ones(3,1) x; y=6.638,4.336,3.978; b=regress(y,x); bb =7.1070-0.1553即：lnA=7.107A=1220.48K=0.1553将此组数据带入原方程，利用 t =3(小时) 时血药浓度为 763.9(纳克/毫升)( 血药浓度(纳克/毫升)可以解出 =2.1316，即 C(t)=A(exp(-kt)-exp(- t),()ytCVka ka求解问题（2）:编写 M 文件：x=0:1/12:24;y=1220.48*(exp(-0.1553*x)-exp(-2.1316*x);plot(x,y)max(y)求的：ans =921.0527即：Cmax=921.1问题（3）中问题由 MATLAB 中的 workspace 中的 x y 得出 =6.6hT2当 t=1.3 时，C(t)达到最大值。编写 M 文件：syms x;x=solve(1220.48*x*(exp(-0.1553*1.3)-exp(-2.1316*1.3)/10(8)+1220.48*(exp(-0.1553*7.9)-exp(-2.1316*7.9)=921.0527,x)求的：x =61153103.130294412163771368326572所以 =0.06115 克X2求解问题（4）：编写 M 文件采用分段函数的方法：x1=0:0.001:6.6;y1=1220.48*(exp(-0.1553*(x1)-exp(-2.1316*x1)x2=6.6:0.001:24;y2=1220.48*61153103*(exp(-0.1553*(x2-6.6)-exp(-2.1316*(x2-6.6)/10(8)+1220.48*(exp(-0.1553*x2)-exp(-2.1316*x2);x=x1,x2;y=y1,y2;plot(x,y)求解问题（5）由以上的模型可得出最佳的给药方案是时间间隔为 2.5h,服药量为 0.06g七、模型的评价模型优点1 此模型对人体口服药物后的血药浓度的变化给出了清晰的交代，对药物的吸收和再吸收提供了参考2.模型可行性强模型缺点次模型给出的数据太少，精确度不够八、参考文献1、赵静、但琦， 数学建模与数学实验 ，高等教育出版社，2007 年2、刘来福、黄海洋、曾文艺， 数学模型与数学建模 ，北京师范大学出版社，2007 年3、邓薇， MATLAB 函数速查手册 ，人民