小学低年段学生运算错误的成因分析及对策研究

并非都是粗心惹的祸小学低年段学生运算错误的成因分析及对策研究【摘 要】运算能力是一项基本的数学能力。在小学低段教学中，运算教学占据着十分重要的地位，是低段学生在平常学习的过程中要掌握的最重要的一项能力。然而目前却存在着这样一种现状：许多学生的运算能力都达不到既定的要求，往往在实际运算过程中会出现这样或那样的错误，运算的正确率较低。追其原因时，学生认为自己“ 粗心” ，老师批评学生“马虎” 。似乎学生运算错误的“罪魁祸首” 就是“粗心大意”，果真如此吗？笔者认为我们有必要对运算教学静下心来思考和探究，细细分析运算错误的原因，并提出有效的对策， 对于避免或减少学生运算错误是非常有必要的。【关键词】 小学低段；运算错误；错误类型；矫正策略一、现实背景：激发低段运算错误探究之缘起（一）思索课标：小学低段运算能力之重要数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，它历来也是小学数学教学的基本内容。2011 版新课标将“运算能力”新增为十大核心概念之一。标准中强调要求学生在运算方面达到“会”“熟练”“正确”三个层次。然而现实背景却是学生在运算上屡屡受“错”。对比 2013 新教材和实验版教材中，我们也发现编者重新编排了“运算”的相关知识内容，力图改变这一现状。以已出版的一二年级修订后教材为例，它在计算板块做了很大的调整。如“20 以内的加减法”、“乘除法的初步认识”等单元，教学编排时都有意识地增加课时，放缓了教学的节奏，努力让学生更充裕、扎实的掌握运算算理和方法。同时又将“有余数除法”由三年级上册调整到了二年级下册，增加了“混合计算”的单元。将小学阶段学生能接触到的几种基本运算压缩到整个一二年级，让学生进一步体会运算间的密切联系。（二）直面现在：出于运算教学现状之反思图 2： “你 认 为 自 己 粗 心 吗 ？ ”调 查 统 计 图粗 心73%还 可 以2不 粗 心0%粗 心还 可 以不 粗 心1.学生怎一个“粗心”了得新课程改革以来，老师们发现学生运算能力有了较大程度的滑坡，在数学作业、练习、测试中经常会出现一些运算上的“低级”错误。2013 学年第一学期期末测试后，我在 13 年级中抽取各一个班级进行了“基本运算”板块的相关情况调查。（表 1）失 0 题 失 1-2 题 失 2 题以上班级 人数 相关题数人数 百分率 人数 百分率 人数 百分率一（1） 48 40 33 68.7% 12 25.0% 3 6.3%二（1） 43 40 26 43.8% 12 27.9% 5 11.6%三（1） 45 30 26 57.7% 13 28.8% 6 13.3%表 1：13 年级 2013 学年第一学期期末 13 年级“基本运算”板块掌握情况抽样统计表问其错误原因时，有些学生自己也不知道为什么，回答往往是“不小心算错了”、“太粗心了”。他们并不是不会做计算题，而是会做而做不对。那么这样的现象在学生中又存在多少呢？我又对这三个班的学生进行了问卷调查：你认为自己粗心吗？A.我认为粗心 B.还可以 C.不粗心调查结果（图 1）在意料之内却又意料之外的沉重：参与调查的这 136 名学生中，竟然没有一位是认为自己是不粗心的！调查固然存在着一些误差，但也一定程度上的反应了我们的孩子怎一个“粗心”了得！孩子为什么会如此的粗心，问题出在了哪里？成了我迫切需要解决的一个“新课题”。2.教师岂一个“粗心”了得 高“粗心率”的原因到底是什么？抛开学生的层面，我又把目光聚焦到了教师和课堂的现状。2.1 教法单一有一部分教师在教学时只重视方法和思路上的引导，在平常的教学过程中，轻视了口算、简算和估算的教学。同时教学策略略显单薄，往往采取简单的练习、校对答案这样机械的方法。缺少对计算过程的合理性、简介性的指导，以致丧失了对学生进行计算能力训练的最佳时机，同时也丧失了对运算的兴趣。2.2 认识片面还有一部分教师在认识上出现了问题，学生出现计算上的错误时，片面地把它归结为“粗心”、“马虎”。不重视、不深思、不讲解，仅仅和学生校对正确答案或者干脆让学生自己订正。哪知“错误”的背后又岂是一个“粗心”就能概括的。出于这样的现实背景，我们认为有必要对运算教学静下心来思考和探究，系统整理低段学生运算错误，深度剖析错误成因，并探寻有效的对策，尽可能地减少或避免学生的运算错误。2、整理分析：剖析低段运算错误之成因（1）运算梳理，知其错何方1.小学低段运算教学时间轴：从运算教学时间轴上可以看到，数的运算在每个年级中均有安排，是一种螺旋上升的认知过程，遵循了学生的认知规律。其中加减法的运算学习主要安排在了一年级和二年级上册，需要说明的是，加减法的教学是紧随着“数的认识”教学基础上展开的，也就是说，在学完每一部分数的认识后，紧接着再来学习这部分数的相关运算教学。同时在二三年级安排了简单的乘除法教学。从整个低段教材来看，进位加法和退位减法是学生学习的重点和难点，同时又是学生发生运算错误的巅峰。2.小学低段运算常见错误整理：在分析运算错误的成因前，我们有必要对其错题进行整理，了解学生错在何方。针对 1-3 年级的教材及课做本上的相关运算习题，从加减和乘除两个方面我们分别做了整理：表 2：加减板块常见错题整理知识点 易错题整理 主要内容20 以内的加减法（不进位、不退位）课做 P40。4 题（ 7 ）2 5 6 -（ 9 ）320 以内的不进位加、不退位减的内容 对学生老师难度不大，部分孩子没有入学前就能熟练的掌握这方面的内容。但也可以 发现知识间的内在联系掌握不熟练，计 算只浮于表象。20 以内的加减法（进位加、退位减）4 + 9 1415 9413 6 8（ 2）+ 6 8是进一步学习多位数加减法的基础。必 须在理解的基础上学会计算方法并且通过连续达到一定的熟练程度，相对来说 学生主要有两个方面的问题：不熟练，计算磨蹭；算理不明，计算错误46 + 7 435 + 47 9784 9 85 进位和退位是学生计算的难点， 这部分内容学习的好坏，将对以后计算的正确性和速度产生直接影响。100 以内的加减法（两位数加减一位数）教材 P74-做一做14 -9 -3 14 -（9 -3）小括号的出现增加了题式的变化，尤其当 这样的一组算式同时出现时，学生的思 维容易造成混淆。100 以内的加减法（两位数加减两位数）6 4 1+3 9 - 3 63 5 1 5学生第一次接触竖式，学会用 竖式计算两位数加、减两位数及加减的两步式题。是学生运算错误的高峰。包括：竖式格式错误；加减运算混淆；运算算理不明等等。同时减法的错误明显高于加法。整千、整百的加减 500+20007000 为学习万以内的加减法做准备，特 别要注意法 8800-800080001900-10001800相同数位相加万以内数的加减法4 4 5 4 0 3+2 9 6 - 1 5 8特别是在连续进位和连续退位的运算上，需要学生全面掌握各种各种运算出现的情况，达到了错误的巅峰。通过梳理学生加减法领域知识的出错情况，我们发现：随着学生年级的升高，运算的错误率明显上升，在进位加法和退位减法上达到高峰。减法的出错率显著高于加法的出错率。学生在加法上的错误主要在进位操作和连续进位上，在处理空位和列竖式上有少量错误。学生在减法上的错误主要在退位和连续退位操作上，尤其是从 0 或 1 上退位。表 3：乘除板块常见错题整理知识点 易错题整理 备注表内乘除法 84364相当于其他的运算，表内乘除法学生的正确性很高，理解的基础上关键要熟 记口诀。有余数除法 9242546口算时学生很容易漏掉后面的余数，可以用童趣的语言引起他们的注意，比如 “小尾巴”不能掉。多位数乘一位数 1 7 6 4 9 9 6 3笔算乘法主要解决 2 个问题：进位问题；因数的中间和末尾有 0 问题。其中，像例题这样的连续进位是难点。除数是一位数的除法9107134604110竖式错误最后的横式得数没写笔算除法和加、减、乘法有很大的区别，在计算的过程中，要注意：竖式的摆法；试商的过程； 几种不同情况的算法两位数乘两位数 2 4 2 9 2 1 64 8对于两位数的进位乘法，学生要想正确地求出结果，在计算的过程中必须 注意连续进位、竖式书写、加法计算问题，只有同时达到了以上要求，才有可能得到正确的结果。每一步缺8 9 6 一不可。如左图中最后的部分 积的和计算错误。相对于加减法，低段学习了简单的乘除法计算，通过梳理我们归纳：表内乘除法学生正确率好高，基本能达到熟练运算的程度。学生在笔算乘法上犯错的主要原因在进位和连续进位，以及在有关“0”的特殊乘法算式上，少部分学生还会存在数位没对齐问题。笔算除法的竖式和前面学习的 3 中竖式计算存在很大的不同。在运算的过程中，特别要注意竖式的摆法以及试商的过程。同时，关于几种“0”的情况错误率较高。（2）剖析成因，知其所以错结合这些易错题，我们对教学过程中犯了类似错误的学生也进行了观察、访谈和分析，发现学生运算错误主要由以下几方面的原因造成的：1.概念不清，理解不到位概念是对客观事物本质属性的概括和反映，正确理解数学概念是学好数学的前提。对于低学段的学生来说，数学概念的抽象性与学生思维的直观形象性是一对不可忽视的矛盾。对于他们来说理解数学概念有一定的难度，学生在理解时常常会发生概念模糊、偷换概念等现象。学生表面上理解了，或者能复述了，但更多的是模仿，不能正确地理解概念的本质。【错例 1】 【错例 2】【分析】“有余数除法”是表内除法的延伸，如果没有正确的理解其含义，容易受到表内除法的负迁移。错例 1 是同一学生的所做的两种不同的题型，它们都是“有余数除法”的基本运算，所承载的知识点完全相同。然而呈现出的结果却大相径庭。可以看到学生在计算给定格式的题型时，正确率很高，而当没有给定格式或者跟其他运算题混在一起时，学生受到了之前所学的整数除法的负迁移，将后面的余数遗忘了。追根溯源，学生对“除法”、“有余数除法”等概念理解不到位。没有深刻的体验到“在平均分东西的时，结果可能出现两种情况：正好分完，或分了之后有剩余。这两种情况都可以用除法算式来表示，而其中有剩余的情况就是有余数除法。而且生活中绝大多数分的结果是有余数的，正好能分完只是其中的一种特殊情况。”错例 2 看上去像正确的，一学生拿着题目来问：“老师，我都算了 3 遍了，不是对的吗！”可以看出对“余数”的理解不到位，计算有余数除法时，余数要比除数小，相对的除数就要比余数大。2.算理不明，算法不牢固算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题，算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是为计算提供了正确的思维方式，保证了算法的合理性和可行性。现实中学生常常会有急于求成的心理，面对运算更多的是技能的掌握，常会出现“知其然，不知其所有然”的境界。导致当一类计算出现问题时，今天纠正了明天还错，甚至整个小学阶段这一类题型一直为该生的薄弱点。【案例 2】 【分析】进位加和退位减的计算是小学低段学生学习的难点，在计算时，学生常常错误分析：进位加法，个位满十向十位进 1，“小 1”虽然写了但十位上没有加入。错误分析：1、退位减法，十位退位没有减去退位1。2、竖式的数位没有对齐。会产生各种错误，如果这个重难点不突破，对将来学生的运算学习会造成很大的影响。在和学生纠错的过程中，发现学生产生错误的原因有：对数位对齐的概念没有理解或掌握；部分学生的运算顺序是先算十位，后算个位；书写习惯不好，经常忘记加“进位 1”或“退位点”。这些都是算理不明的表现。3.方法单一，运用不恰当现行的教材具有开放性，倡导“用你喜欢的方法算”学生很乐意发表自己的见解，但学生常以个人为中心，认为“哦，这个我已经会做了！”，而不善于接纳和倾听其他的方法。而部分教师片面地认为会算就可以了，不重视方法间的沟通，导致学生不会根据问题情境的变化而灵活的选择方法。当遇到稍有变式的问题时就会出现混淆。【案例】探究 15-9 的计算方法师：怎样计算 15-9，请同学们独立思考，想 办法 进行计算，也可以用学具 摆一摆、看一看、说一说，看 谁算的又对又快！汇报：生：因为 6 +9=15，所以反过来 15-9=（ 6 ）。师：真能干，能用加法的知识解决减法问题， 还有不同的方法吗？生：我是一个一个减的，就这样（学生小棒验算减）师：还有不同的方法吗？生：我是这么想的，先算 10-9=1，在算 1+5=6。生：还可以算 15-5=10，10-4=6.师：同学们真能干，想出来这么多方法，接下来我 们用这些方法一起来算一算下面的题目。出示：13-9= 11-9= 【分析】我们可以看到班级学生的思维是很广阔的，“十几减 9”的方法想出了很多，但是学生仅仅停留在自己的知识起点和思考方式上，没有进行方法间的融汇。如果局限于一种学生已有的那一种方法，有可能就会扼杀学生的创新思维甚至方法间的混淆。比如“破十法”，它是学生学习退位减法的基础。如果其他学生只是停留在自己已有的方法上，而不能感受“破十法”的特点，那么势必会影响接下来 100 以内退位减法的运算。又有部分学生对于（ ）9 4，这样的题型经常犯错误，追根到底，还是没有掌握加法和减法之间的内在联系。在教学时可以追问：“这几种方法，你最喜欢哪一种，为什么？”“他们之间有什么联系？”4.感知粗略，审题不清楚依据小学生年龄阶段的心理特点：小学生感知事物比较笼统模糊，不能具体精确地感知物体，往往只能感知客厅的部分内容。而运算本身没有具体情境并且基本形式单一，学生在审题、演算的过程又急于求成，因而经常出现如抄错或漏写等现象。如：例 1：漏算百位 例 2：抄错三、追本逐末：探寻提高低段运算能力之对策策略一：感悟算理，让运算课题思潮涌动长期以来,相依相伴的算理和算法被人们分割开来,人们更喜欢能直接计算出结果的算法,算理得不到重视。算理顾名思义就是计算的原理,是计算方法的来历。它凝聚着数学家研究的思维方法、推理过程、中国最古老的算筹学,具有严密的逻辑思维。还原算理其实是在间接地帮助学生来完成数学的研究过程。【修改案例】探究 15-9 的计算方法（1）学生自主探究师：怎样计算 15-9，请同学们独立思考，想 办 法进行计算，也可以用学具 摆一摆、看一看、说一说，看谁算的又对又快！活动：边摆小棒边汇报，展示方法。 （2）同桌交流计算方法。（3）全班汇报交流。汇报准备：师：这么多方法，你看明白了哪几种？第一种：一个一个的减。第二种：破十法 15 - 9 = 65 101第三种：连减法 15 - 9 = 65 410第四种：想加算减：想：( 6 ) +9=15 所以：15-9=（ 6 ）师：真能干，想出来这么多种方法，想一想， 这些方法你最喜 欢哪一种，为什么？生说，评价几种方法，重点讲评第二种破十法。练一练：试算 12-9，用自己喜欢的方式师：你还知道哪些十几减 9 的算式？说一说，算一算？修改后的这一环节在教学上提供了学生较大的交流空间，让每个学生都有机会充分发表自己的不同想法，都有机会体验成功解决数学问题的喜悦，同时学生思维品质得到培养，合作交流的能力得到提高。为了更好的让学生理解“破十法”的算理，我还给学生留出了动手摆小棒的时间，让学生在动手的过程中去感知，去理解。但是在最后就明确了两种计算方法：“破十”的方法和用“想加算减”的方法。这样让学生亲历新知的形成过程，对新知不仅知其然，而且知其所以然。策略二：玩转练习，让运算训练不再枯燥数学课程标准提倡“让学生学简单的数学，学有趣的数学，学鲜活的数学。”但是，与数学其他学习内容相比，计算教学无疑是枯燥的，计算的练习过程也是比较乏味的。而游戏作为学生最喜爱的一项活动，把游戏引入到运算练习中，既可以让学生巩固运算，又可以在学习的过程中收获快乐。寓教于乐，不失为提高学生运算能力的一个有效手段。1.让学生在游戏情境中巩固在低段教材中，我们也找到了很多这样富有游戏情境的练习，只需要修饰丰满的背景，一道枯燥的练习题就变得去意盎然。【案例 1】请你帮帮这些小动物找 【案例 2】咱们来进行一个“夺红旗”的小比朋友，得数一样的好朋友手拉手。 赛，看看谁最快能把城墙上的红旗抢下来。【案例 3】3 只小兔子正在比赛采蘑 【案例 4】小马过河大通关，小金鱼说：“只菇，比一比，看谁最先采到蘑菇。 有正确计算才能通关哦 ”当心！不要掉进河里去了！2.让学生在游戏活动中提升1-2 年级规定没有书面作业，那么怎么在不给孩子增压的背景下有巩固他们的运算能力呢？教参上的数学游戏是一个很好的解决方法，这样的数学游戏形式还有很多，比如可以玩表内乘法的对口令游戏、“看谁算的快”小比赛、二十四点等等，孩子们即感兴趣又乐于做，同时也提高了学生的运算能力。策略三：以措纠错，让运算反思成为习惯养成自觉验算习惯，不仅可以看出计算过程和结果是否正确，还能培养学生自我评价能力，使学生养成仔细、严格、认真的良好习惯。检验时做到耐心、细致，逐步检查，发现错误及时纠正，教师应教给学生一些常用的检验方法，如重算法、逆算法、估算法等。【案例】除法的验算出示课题：老师今天身上带了 100 元钱，准备买价值 5 元的寓言故事书，现在请大家帮老师算算可以买多少本？（1005=20（本） 追问：现在我如果想用这些钱买 7 元钱的科普知识书，最多可以买多少本呢？（1007=14(本)2 （元） 探究方法：师：算得对吗？你用自己的方法来检验吗？ 先让学生先在小组内说一说你有什么好办法，然后自己试着做一做。（1）学生试做过程中，教师巡视，并找几个同学到黑板上演示验算的方法。 （2）在学生自主探索的基础上，可能得出以下几种不同的验算方法： 整除：100520 验算：20 5100 520100 引导学生说出验算方法：商乘除数等于被除数。 有余数除法：1007142 方法一：商乘除数再加上余数等于被除数。 方法二：被除数减去余数的差除以商等于除数。 方法三：被除数减去余数的差等于商乘除数的积。 5、归纳出除法的验算方法，师板书： 没有余数除法验算方法：商乘除数是不是等于被除数。 有余数除法验算方法：商乘除数再加上余数是不是等于被除数。 师小结：我们为了计算地正确，不仅要掌握正确验算的方法，还要自觉地在计算中运用这些方法。 此外，还可以教给学生检查作业的方法如：题目抄对了吗？竖式列对了吗？验算一遍查查计算对不对？得数写了吗？等等按照这样的步骤检查。逐渐让学生养成严谨验算，反思的过程，培养学