北京市海淀区高三第一学期期末考试数学理科

第 1 页 共 15 页北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）已知全集 U， AB，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A） （B） （C） UAB （D） UBA（2）抛物线 2yx的准线方程为 （ ）（A） 18 （B） 14y （C） 12y （D） 1y （3）将函数 cos2yx=的图象按向量 (,)a=平移后得到函数 ()fx的图象，那么（ ）（A） ()in1f-+ （B） sin1fx+ （C） sx （D） ()2-（4）在 B中，角 A、 、 C所对的边分别为 a、 b、 c，如果 a3， 0B=，那么角等于（ ）（A） 120 （B ） 105 （C） 90 （D ） 75（5）位于北纬 x度的 、 两地经度相差 9，且 A、 B两地间的球面距离为 3R（ 为地球半径），那么 等于 （ ）（A）30 （B） 45 （C） 60 （D）75（6）已知定义域为 R的函数 ()fx，对任意的 Rx都有 1()()2fxf+=-+恒成立，且1()2f=，则 (62f 等于 （ ）（A）1 （B） 62 （C） 64 （D）83 （7）已知 ,345，那么使得 sinco0，那么 ()2f= ；不等式 ()12fx-的解集是 .（11）已知点 1F、 2分别是双曲线的两个焦点， P为该双曲线上一点，若 12PF为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_.（12）若实数 x、 y满足0,xyb且 2zxy=+的最小值为 3，则实数 b的值为 .（13）已知直线 0m与圆 2交于不同的两点 A、 B， O是坐标原点，|OAB+，那么实数 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的 *qN及映射 *:,NfAB若集合 C，且 中所有元素对应的象之和大于或等于 ，则称 C为集合 A 的好子集 对于 2， ,abc=，映射 :1,fxA，那么集合 A 的所有好子集的个数为 ； 对于给定的 q， 1,345,6A，映射 :fB的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 ()f1 1 1 1 1 yz若当且仅当 C中含有 和至少 A 中 2 个整数或者 C中至少含有 A 中 5 个整数时， C为集合 A的好子集写出所有满足条件的数组 (),qyz： 第 3 页 共 15 页三、解答题: 本大题共 6 小题 ,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.(15)（本小题共 12 分）已知函数 2 2()sin3si()cos()cs34fxxx.（）求函数 的最小正周期和单调递减区间；（）求函数 )(xf在 25,136-上的最大值和最小值并指出此时相应的 x的值.（16） （本小题共 12 分）已知函数 )(xg是 2(0)fx=的反函数，点 ),(0yxM、 ),(0xN分别是 )(xf、 g图象上的点， 1l、 2分别是函数 、 g的图象在 两点处的切线，且 1l 2（）求 M、 N两点的坐标；（）求经过原点 O及 、 的圆的方程第 4 页 共 15 页（17） （本小题共 14 分）已知正三棱柱 1CBA中，点 D是棱 AB的中点， 1,3CA=.（）求证： /1平面 ；（）求 C到平面 的距离；（）求二面角 1DA-的大小. （18） （本小题共 14 分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T（单位：年）有关. 若 1T，则销售利润为 0 元；若 31T，则销售利润为 100 元；若 3，则销售利润为 200 元. 设每台该种电器的无故障使用时间 ， 及 3T这三种情况发生的概率分别为 321,p，又知 21,是方程 052ax的两个根，且 2p.（）求 321,p的值；（）记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的分布列；（）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.D C1B1A1CBA第 5 页 共 15 页（19） （本小题共 14 分）已知点 ()0,1A、 ),B-， P是一个动点，且直线 PA、 B的斜率之积为 12-.（）求动点 P的轨迹 C的方程；（）设 2,Q，过点 ,0-的直线 l交 C于 M、 N两点， Q的面积记为 S，若对满足条件的任意直线 l，不等式 tanSQ恒成立，求 的最小值.第 6 页 共 15 页（20） （本小题共 14 分）如果正数数列 na满足：对任意的正数 M，都存在正整数 0n，使得 0naM，则称数列 na是一个无界正数列（）若 32sin()1,23na ， 1, ,35, 2,46,nb分别判断数列 na、nb是否为无界正数列，并说明理由； （）若 2na，是否存在正整数 k，使得对于一切 nk，有 12312naa成立；（）若数列 n是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数 m，使得1231209maa第 7 页 共 15 页海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）CABAB DDA二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分.有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）（9）1 （10）1， 0, （11） 21 （12） 94（13） (2,2) （14） 4， (5,)三、解答题（本大题共 6 小题,共 80 分）(15)（本小题共 12 分）解：（） 2 2()sin3si()cos()cs34fxxx()23si2cosx=-n()6 4 分所以 2T. 5 分由 ()32Zkxk+-+得536所以函数 )(xf的最小正周期为 ，单调递减区间为 5,36k+()kZ. 7 分（）由（）有 2sin()6fx=-.因为 5,13x-，所以 2,69-.因为 41sin()siin3=，所以 ()(0)gx=.从而 ,f 1(. 3 分所以切线 21,l的斜率分别为 ,2)(01xfk 0021)(ygk.又 200()yx=，所以 20x=. 4 分因为两切线 21,l平行，所以 21k. 5 分从而 0()x.因为 ，所以 012x=.所以 NM,两点的坐标分别为 )21,4(,. 7 分（）设过 O、 、 三点的圆的方程为： 0xyDEF.因为圆过原点，所以 0F.因为 M、 N关于直线 x对称，所以圆心在直线 yx上.所以 DE.又因为 1(,)24M在圆上， 所以 5.所以过 O、 、 N三点的圆的方程为： 25012xyxy. 12 分（17） （本小题共 14 分）（）证明：连结 1AC交 于点 G，连结 D.在正三棱柱 1B中，四边形 1AC是平行四边形，第 9 页 共 15 页 1AGC. DB， 1. 2分 G平面 1AC， 1平面 1ADC， 1B平面 D. 4 分解法一：（）连结 1C，设 到平面 1AC的距离为 h.四边形 A是平行四边形， 11CS. 11DACV. 1 138CADAS， 18. 6 分在等边三角形 B中， 为 的中点， 3,2A=. AD是 1在平面 C内的射影， C. 8 分 113928ADS. 13CADVh. 9 分（）过点 作 E交 于 E，过点 D作 1FAC交 于 F，连结 E.平面 B平面 1， 平面 B，平面 AC平面 1AC，FED C1B1A1CBAGD C1B1A1CBA第 10 页 共 15 页 DE平面 1AC. F是 在平面 1内的射影. 1. DE是二面角 1AC-的平面角. 12 分在直角三角形 中， 34DE=.同理可求： 198AFC. 23sinDE=. 0,F， 213arcsinDE=. 14 分解法二：过点 A作 OBC交 于 ，过点 O作OBC交 1于 .因为平面 A平面 1CB，所以 平面 1.分别以 ,E所在的直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为1,3BA=， B是等边三角形，所以 O为C的中点.则 0,O，0,2， ,， 130,2A，13(,)4D， 1,3C. 6 分（）设平面 1A的法向量为 ,nxyz，则EOzyxD C1B1A1CBA第 11 页 共 15 页10,.nCDA 3(,)4， 13(,)2AC，0,13.2xzy取 3x，得平面 1ADC的一个法向量为 3,1n. 8 分 1C到平面 1的距离为： 19. 10 分()解：同（）可求平面 1AC的一个法向量为 13,0n. 12 分设二面角 1D-的大小为 ，则 1613cos,2. 0,， 31arcos. 14 分（18） （本小题共 14 分）解：（）由已知得 1321p.32p, .1,是方程 052ax的两个根,2.51p, 53p. 3 分（） 的可能取值为 0，100，200，300，400. 4 分0P= 21,第 12 页 共 15 页10P= 254,2= 8,3= ,40P= 254. 9 分随机变量 的分布列为：0 100 200 300 400P25125425825825411 分（）销售利润总和的平均值为 E= 4038010 =240.销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为 240 元. 14 分注：只求出 ，没有说明平均值为 240 元，扣 1 分.（19） （本小题共 14 分）解：（）设动点 P的坐标为 (),xy，则直线 ,PAB的斜率分别是 1,yx-+.由条件得 12y-+=-.即 ()20xx.所以动点 P的轨迹 C的方程为 ()210xyx+=. 5 分注：无 0x扣 1 分. （）设点 ,MN的坐标分别是 ()12,x.当直线 l 垂直于 x 轴时， 211,y=-=.所以 ()()()122,Qyxxy=- -.第 13 页 共 15 页所以 ()2117QMNxy=-=. 7 分当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 ()1ykx+,由21,()xyk+=得 2240kx+-=.所以 21, 21421 kkx. 9 分所以 ()()1212124QMNxyxxy=-+=-+.因为 12,ykxyk+，所以 ()()()2211 273741xxkk-=-+.所以 cos0.所以 2恒成立. 13 分所以 的最小值为 174. 14 分注：没有判断 MQN为锐角，扣 1 分.（20） （本小题共 14 分）解：（） na不是无界正数列理由如下：取 M = 5，显然 32si()5n，不存在正整数 0n满足 05na；nb是无界正数列理由如下：第 14 页 共 15 页对任意的正数 M，取 0n为大于 2M 的一个偶数，有 012nMb，所以 nb是无界正数列 4分（）存在满足题意的正整数 k.理由如下：当 3n时，因为 1231naa 32121naa45456，即取 3k，对于一切 nk，有 12312naa成立. 9 分注：k 为大于或等于 3 的整数即可.（）证明：因为数列 n是单调递增的正数列，所以 1231naan 32121naa2121 111nnnnn.