第一次课、数项级数的收敛性_第1页
第一次课、数项级数的收敛性_第2页
第一次课、数项级数的收敛性_第3页
第一次课、数项级数的收敛性_第4页
第一次课、数项级数的收敛性_第5页
已阅读5页，还剩12页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

Achilles悖论早在大约公元前 450年，古希腊有一位叫 Zeno的学者提出了如下惊人论断： Achilles追不上乌龟！Achilles是 古希腊神话 中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面 100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到 100米时，乌龟已经又向前爬了 10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这 10米时，乌龟又已经向前爬了 1米，阿基里斯只能再追向那个 1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ 第一节 无穷级数的概念一、无穷级数的概念级数： 设给定一个数列：称 （ 1）为 无穷级数 ，简称 级数 . 一般项前 项和 称为 (1)的 部分和 .构成一个新的数列 :称为部分和数列二、级数的收敛与发散记 若 不存在 , 则称级数 (1) 发散 .余项 : 若 称为级数 (1) 的余项例 1. 判别级数 的敛散性 .解所以 ,级数发散 .若 则称级数 (1) 收敛 , 且收敛和为定义 2二、数项级数的敛散性的概念例 2. 判别级数 的敛散性 .解所以 ,原级数收敛 ,且收敛和为 1.例 3. 讨论 等比级数 (几何级数 )的敛散性 （ q 称为级数的公比， a0）解 : 1).当 时 , , 发散 ;2). 当 时 , ,发散 ;3). 当 时 ,当 时 , , 收敛 ;当 时 , , 发散 .发散例如当 时 ,收敛于当 时 ,发散 .例 4. 证明调和级数发散 .证明：考察其部分和若调和级数收敛，不妨设 则与前面的式子矛盾，故调和级数必发散。第二节 无穷级数的基本性质性质 1 若 则 (k为常数）证性质 2 若 则证收敛级数的线性组合仍收敛 .性质 3级数加括号后得收敛级数加括号后所得新级数仍收敛 ,且收敛和不变证 :设 为其部分和，对原 则记其部分和为因此数列 是 的一个子数列，从而必有即(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛 .反例 : 收敛 ,去掉括号后 , 发散 .(2).若加括号后所得级数收敛 ,则原级数未必收敛 .注意(3).若加括号后所得级数发散 ,则原级数发散 .性质 4 增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变 .证 级数 (1)去掉前 项得级数 (2)为常数 , 故当 时 , 与 的极限同时存在或不存在 .所以级数 (1)与 (2)具有相同的敛散性 .其它情况类似可证 .例如 , 与 具有相同的敛散性 , 均收敛 . 但收敛和不同级数的敛散性与前有限项无关 .级数 (2)的前 n项和为性质 5证（ 1).条件必要而不充分 ,即逆命题不成立 .由 ,不能断定 收敛 .例如 ,调和级数 但该级数发散(2).逆否命题成立 . 若 则 一定发散 .例如
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 辅导培训

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论