2017届高考数学第一轮复习押题专练(十三)含答案

弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角 (如图 1) (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 如图 2) (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30 ，北偏西 45 等 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值 高频考点 一 考查 测量距离 例 1、如图所示，有两座建筑物 不知道它们的高度，且不能到达对岸 )，某人想测量两座建筑物尖顶 A、 只有卷尺和测量仪两种工具若此人在地面上选一条基线 卷尺测得 a，并用测角仪测量了一些角度： ， ， ， ， 、 【 方法技巧 】求距离问题时要注意 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解； (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 【 变式探究 】 隔河看两目标 ，但不能到达，在岸边选取相距 3 ， 时，测得 75 ， 45 ， 30 ， 45( A， B， C， ，求两目标A， 【解析】如图，在 120 ， 30. 所以 3. 在 45 ， 75 ， 60 ，由正弦定理知 350 6 22 . 在 余弦定理，得 2BC ( 3)2 6 22 22 3 6 22 5 3 2 3 3 5，所以 5 所以 A， 高频考点 二 考查 高度问题 例 2、如图，在湖面上高为 10 0 ，测得湖中之影的俯角为 45 ，则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m)( ) A 2.7 m B 17.3 m C 37.3 m D 373 m 【答案】 C 【 方法技巧 】求解高度问题首先应分清 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用 【 变式探究 】如图，为测得河对岸塔 在河岸上选一点 C，使 的正东方向上，测得点 0 ，再由点 5 方向走 10 米到 位置 D，测得 45 ，则塔 高是 _米 【解析】在 10， 45 ， 15 90 105 ， 30 ，5 0 ， 50 10 t 0 0 10 6. 【答案】 10 6 高频 考点 三 考查 方位角 例 3、如图，我国的海监船在 D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 时测得其东北方向与它相距 16 海里的 4 2海里处 (1)求此时该外国船只与 (2)观测中发现，此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方向航行为了将该船拦截在离 2海里处，不让其进入 2 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值 (参考数据： 652 308 【 方法技巧 】 解决方位角问题其关键是弄清方位角概念结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用 【 变式探究 】如图，一船在海上自西向东航行，在 的方位角为北偏东 角，前进 m 处测量该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 n 围内 (包括边界 )有暗礁，现该船继续东行，当 与 满足条件 _时，该船没有触礁危险 【解析】由题可知，在 据正弦定理得 ，解得 ，要使该船没有触礁危险需满足 90 ) n，所以当 与 的关系满足 )时，该船没有触礁危险 【答案】 ) 高频考点 四 考查函数思想在解三角形中的应用 例 4、如图所示，一辆汽车从 0公里 /小时的速度匀速行驶 (图中的箭头方向为汽车行驶方向 )，汽车开动的同时，在距汽车出发点 离为 5公里、距离公路线的垂直距离为 3公里的 骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 【 方法技巧 】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力 解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以 1最值 【 变式探究 】如图所 示，已知树顶 12米，树上另一点 12米，某人在离地面32米的 该人离此树 _米时，看 A， 【答案】 6 【 2016高考四川文科】（本题满分 12 分） 在 A， B， a， b， c， 且 c o s c o s s i Ca b c. （ I）证明： s in s in s C ； （ 2 2 2 65b c a b c ，求 【答案】（ ）证明详见解析；（ ） 4. 【解析】 （ ）根据正弦定理，可设 ( 0 )s i n s i n s i na b c C ， 则 a=， b=， c=代入 c o s c o s s i Ca b c中，有 c o s c o s s i ns i n s i n s i k B k A，变形可得 =+ A+B） . 在 A+B+C= ，有 A+B） = C） =， 所以 =. （ ）由已知， b2+5据余弦定理，有 2 2 2 3c o c aA . 所以 = 2 41 c o . 由（ ）， = +， 所以 45=45+35， 故 =. 【 2015高考湖北，文 15】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 0 的方向上，行驶 600 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 _m. 【答案】 100 6 . .【 2015高考湖南，文 17】（本小题满分 12 分）设 的内角 ,对边分别为, , , t a na b c a b A . （ I）证明： ； (若 3s i n s i n c o B，且 B 为钝角，求 , 案】 （ I）略； (3 0 , 1 2 0 , 3 0 C 【解析】 （）由 b A 及正弦定理，得 s i n s i nc o s s i nA a AA b B ，所以 。 （）因为 s i n s i n c o s s i n 1 8 0 ( ) s i n c o B A B A B s i n ( ) s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i A B A B A B A B A B 3c o s s i n 4 有（）知 ，因 此 2 3B ，又为钝角，所以 3B ， 故 120B ，由 3c o s s i n 2知 30A ，从而 1 8 0 ( ) 3 0C A B ， 综上所述， 3 0 , 1 2 0 , 3 0 ,A B C 【 2015高考陕西，文 17】 的内角 ,向量 ( , 3 )m a b与 ( c o s , s i n )n A B 平行 . (I)求 A ； ( 7 , 2求 的面积 . 【答案】 (I) 3A ； (332. 【 2015高考浙江，文 16】（本题满分 14 分）在 中，内角 A， B， ,ta n ( A ) 24 . （ 1）求2 c o 的值； （ 2）若 B , 34 a，求 的面积 . 【答案】 (1)25； (2)9 【解析】 (1)由 ta n ( A ) 24 ，得 1 所以22s i n 2 2 s i n c o s 2 t a n 2s i n 2 c o s 2 s i n c o s c o s 2 t a n 1 5A A A A A A A . (2)由 1得， 1 0 3 1 0s i n , c o 1 0. 3, 4，由正弦定理知： 35b . 又 25s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i B A B A B ， 所以 1 1 2 5s i n 3 3 5 92 2 5a b C . （ 2014 天津卷）在 角 A， B， a， b， b c 14a， 2 3，则 的值为 _ 【答案】 14 【解析】 2 3， 2 b 3c. 又 b c a 2c， b 32c， 94432c c 14. （ 2014 新课标全国卷 ）设点 M(1)，若在圆 O： 1上存在点 N，使得 5 ，则 _ 【答案】 （ 2014 广东卷）在 A， B， a， b， 2b，则 _ 【答案】 2 【解析】本题考查了正弦定理以及两 角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键利用正弦定理，将 2 2，即 C) 2 B C) ， 2，利用正弦定理化简得 a 2b，故 2. （ 2014 安徽卷）设 ， B， a， b， c，且 b 3， c 1， A 2B. (1)求 (2)求 A 4 的值 【解析】 (1)因为 A 2B，所以 B 2，由余弦定理得 2，所以由正弦定理可得 a 2b 因为 b 3， c 1，所以 12，即 a 2 3. (2)由余弦定理得 9 1 126 A 2， 13， b (1)a和 (2) C)的值 （ 2014 全国卷） ， B， a， b， 2， 13，求 B. 【解析】由题设和正弦定理得 3 2， 故 3 2. 因为 13， 所以 2， 所以 12. 所以 C) 1 1， 所以 B 135. （ 2014 新课标全国卷 ）已知 a， b， 个内角 A， B， a 2，且(2 b)( ) (c b)，则 _ 【答案】 3 【解析】根据正弦定理和 a 2可得 (a b)(a b) (c b)c，故得 据余弦定理得 12，所以 A基本不等式得 ，所以 积的最大值为 124 32 3. （ 2014 新课标全国卷 ）钝角三角形 2， 1， 2，则 ( ) A 5 B. 5 C 2 D 1 【答案】 B （ 2014 山东卷）在 知 ，当 A 6时， _ 【答案】 16 【解析】因为 | | ，且 A 6，所以 | | 23，所以 12| | 12 236 16 . （ 2014 陕西卷） ， B， a， b， c. (1)若 a， b， 明： 2 C)； (2)若 a， b， 的最小值 （ 2014 四川卷）如图 13 所示，从气球 ， ， 30 ，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 _m (用四舍五入法将结果精确到个位参考数据： 7 7 7 7 3 图 13 【答案】 60 【解析】过 垂足为 D，则在 67 ， 46 m， 7 50(m)， 在 30 ， 67 30 37 ， 50 m， 由正弦定理得， 70 60 (m)， 故河流的宽度 为 60 m. （ 2014 浙江卷）在 角 A， B， a， b， a b， c 3，3 3. (1)求角 (2)若 45，求 （ 2014 重庆卷）已知 ， B， A B C) A B) 12，面积 S2 ，记 a， b， ， B， 下列不等式一定成 立的是 ( ) A bc(b c)8 B ab(a b)16 2 C 6 2 D 12 4 【答案】 A 【解析】因为 A B C ，所以 A C B， C (A B)，所以由已知等式可得 A 2B) 12，即 A B (A B) 12， 所以 (A B) 12， 所以 2 B) B) 2 B) B) 12， 所以 2 B) 12，所以 18. 由 1 S2 ，得 1 122. 由正弦定理得 a 2， b 2， c 2，所以 12 R22 ，所以 1 ，即 2 R2 2，所以 bc(b c) . 1在相距 2， B 两点处测量目标点 C，若 75 ， 60 ，则 A， ) A. 6. 2. 3 2案 A 解析 如图，在 已知可得 45 ， 2， 2 2 32 6. 2一艘海轮从 发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 轮在 方向是南偏东 70 ，在 方向是北偏东 65 ，那么 B， ) A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 3海里 D 20 2海里 答案 A 条河的两岸平行，河的宽度 d 艘客船从码头 B 1的流速为 2km/h，若客船 从码头 所用的最短时间为6客船在静水中的速度为 ( ) A 8km/h B 6 2km/h C 2 34km/h D 10 km/h 答案 B 解析 设 河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 h，由题意知， 35，从而 45，所以由余弦定理得 110v 2 1102 2 12 2 11021 45，解得 v6 . 4如图，从气球 ， 5 ， 30 ，此时气球的高是 60m，则河流的宽度 ) A 240( 3 1) 180( 2 1) m C 120( 3 1) 30( 3 1) m 答案 C 量河对岸的塔高 在同一水平面内的两个测点 ，测得 15 ， 30 ， 30，并在点 的仰角为 60 ，则塔高 ) A 5 6B 15 3 C 5 2D 15 6 答案 D 解析 在 180 15 30 135. 由正弦定理得 30， 所以 15 2. 在 15 2 3 15 6. 6江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距 _m. 答案