《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案-2012

2011信号检测与估计复习 纲要 “信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分， 它是把所要处理的问题，归纳为一定的“数学模型”运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具以普遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、通信系统、声纳系统为主要研究对象， 主要内容包括： 随机信号与噪声理论 ( 分析随机信号与噪声的数学工具 统计判决（检测）理论 ( 研究在噪声干扰背景中，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题 ( 参量估计理论 ( 研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题 ( 滤波理论 ( 为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波形的最佳恢复问题，或离 散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题(复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论 如何选择一个估计量 &估计量选择的决策过程 是一个多维问题信号处理问题先验知识先验知识新的数据模型或取更多的数据知 前二阶矩已知计算后验 值使后验 大是是是是是 是是否否否否否否是知满足 是是是是是否否否否否否否否 元信号检测 先验已知P ( ， P ( 择 则代价已知00P ( P ( 据 P 知数据 P 知 指定先验 P 知 指定先验 P 否是是是是是是是是是贝叶斯风险（ 3 ） 2 ） 2 ）尝试 则或其它方法数据 P 知线性信号模型指定先验 P 否否L 16 ）L 1 ） L 7 ）L 7 ）L 20 ）信号参数未知 噪声参数未知信号和噪声参数未知高斯噪声线性信号模型噪声 T （ 17 ）T （ 8 ， 11 ）Ra o ( 10 , 13 )L 14 )Ra o （ 21 ）T （ 8 ， 11 ）Ra o ( 10 , 13 )L 14 )T （ 6 ）T （ 11 ）Ra o ( 13 )T （ 18 ）T （ 11 ）Ra o ( 13 )Ra o ( 19 )T ( 11 )Ra o ( 13 )二元假设检验的最佳贝叶斯方法 二元假设检验的最佳 ma n - so n 方法 复合二元假设检验的准最佳方法 如何选择一个检测器 多 元信号检测 *注： 自回归滑动平均 最佳线性无偏估计 恒虚警率 限 数学期望最大化 义似然比检验 独立同分布 对数似然比 线性最小均方误差 部 最大势 似然比检验 最小二乘估计 线性时不变 最大后验概率 最大似然估计 最小均方误差估计 最小方差无偏 则 伪随机噪声 理 收机工作 特性 一致最大势 色高斯噪声 广义平稳 先验已知P ( ， i = 0 , 1 , , M - 1代价已知 1 / 知数据 P 知 指定先验 P 知 指定先验 P 否是是是是是是是是是贝叶斯风险（ 5 ） 4 ） 4 ）尝试广义则 （ 15 ）多元假设检验的最佳贝叶斯方法2011信号检测与估计复习参考题 参数估计部分： 解 ： 最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。 0 , 1, , 1x x x N ，其中 独立同分布的且服从 2(0, )N ，利用下式估计方差 2 ，即 12201 Nn 这是无偏估计吗？求 2 的方差，并考察当 N 时 会 发生什么情况 ？ 3. 如 果 观 测 到 数 据 , 0 , 1 , , 1x n A w n n N ，其中 噪 声 数 据 0 , 1 , , 1 ( , )Tw w w N Nw 0 C，求 A 的 效估计量存在吗？如果存在请求出它的方差。 已知频率的正弦信号，即 0 c o s 2 x n A f n w n, 0,1, , 1其中 wn是具有方差 2 的 下列参数的 计量（可以假定充分统计量是完备的）： a. 幅度 A,假定 2 已知； b. 幅度 A 和噪声方差 2 ； 解：由题目可以知道 20 c o s 2 (0 , )x n A f n N 那么 1202201202201 1 12 2200220 0 011( ; ) e x p c o s 22211e x p c o s 22211e x p c o s 2 2 c o s 222 Nn n A x n A f nx n A f nx n A f n x n A f n （ 1）幅度 A，假定方差已知 1 1 12 22 002220 0 0( ) ( ( ) , )1 1 1( ; ) e x p e x p c o s 2 2 c o s 2222N N N Nn n g T X A x n A f n x n A f n 充分统计量为 100( ) c o s 2 x n f n 又因为 11 20 0 000( ( ) ) ( c o s 2 ) c o s 2 c o s 2 x E A f n w n f n A f n 所以 参数 A 的 计量为1001 200 c c n f （ 2）幅度 A，噪声方差未知 1 1 12 22 0022()0 0 0( ( ) , )11( ; ) e x p c o s 2 2 c o s 2 * 122N N N n X A x n A f n x n A f n 充分统计量为 100120 c o s 2()n f 由（ 1）已经知道1001 200 c c n f 并且， 112200012 2 200012 2 200( ) c c 2 c c x n E A f n w f n A w n f n w nA f n N 那么参数 2 的无偏估计量为， 112 2 2 20001 c o s 2n A f 本 0 , 1, , 1x x x N 是 ，服从如下分布： (1)拉普拉斯 1( ; ) e x p | |2p x n x n (2)高斯 211( , ) e x p ( )22p x n x n 求两种情况下均值 的 释一下 的 计 。 解： a）从题目可以知道， ( ,1)x La 。那么该拉普拉斯分布的方差为22v a r( ) 2 / 1 2x 。因此 ,2S I C I（ S 为比例项， C 为协方差） 1 11 01 T NT X S N 在拉普拉斯分布时， 不是最小方差估计量。 ）从题目可以知道， ( ,1)。那么该高斯分布的方差为 ) 1x 。因此,S I C I 1 11 01 T NT X S N 高斯分布时， 效。 6. 某种电子器件有效工作时间 t 的 分布为 0()00 若采集了 N 次实验数据，同一类型电子器件在同样工作条件下所得有效工作时间分别为 12, , , T ，求 的最大似然估计。 解：从题目可以知道，似然函数为 11( ; ) e x p ( )e x p ( ) 两边取对数 1( , ) l n ( ; ) l P T N T 求导数 1( , ) 0N N T 那么 的 1 ( , )观测到 N 个 本，其中 2,A 皆未知，求 22/的 解：从题目可以知道，估计参数为 2 , A 似然函数可以表示为 1 22 1 / 2 20 11( ; ) e x p ( 2 ) 2 x n A 两边求对数，并分别对 A 和 导数，可以得到估计参数的 下 21 1 120 0 01 1 1 , ( ) , ( ) ( )N N Nn n nA x n x n x N 2102211001 ()/11( ) ( )n x 01 1A n M n N 求 A 的 及最小 差。假定观测为 , 0 , 1 , , 1x n s n w n n N ，如果 方差为 2 的 解： 令 0 , 1 , ., 1 TS s s s N， A ，那么信号模型可以写成如下 其中 H 为观测矩阵，且 11M ， 1M 表示 M 维 1,1,1.,1T 。 那么 11 1( ) ( ) M N M N 则 11101 ( ) ( ) ( )n H H x x n x 最小 差为 21 1 12m 01( ) ( ) ( )N M Nn n n MJ x n x n x 下面讨论 分布： 2221( ) ( ( ) )1()E A M A N M A M N 由此可见 2 ( , )A N A N 。 个 测 0 , 1, , 1x x x N 服从 2( , )N ，求 2 , T 的矩方法估计量。 解：高斯分布的一阶矩和二阶矩为 2 2 2 那么 101 ()Nn 211220011 ( ) ( )n x 10. 解： ( 0 ,1, , 1)x n n N 具有 2211( | ) e x p ( )22p x n x n 在 给定的条件下， 相互独立的。 均值 具有先验 00( , )N ，求 的 计量。另外，当 20 0 和 20 时将发生什么情况。 解： 均值 的后验概率为 ( | ) ( )( | ) ( | ) ( )p X p X p d 对于分母来说，为定值，一般不作考虑。故而后验概率可以写成如下形式 1 22022220 00( | ) ( | ) ( )1 1 1 1e ) e )2222N p X px n u 两边取对数求导如下： 10220 0l n ( | ) ( ) 2 2( ) ( ) 022 p 所以得到 的 计 2200222200 因为 x 和 为联合高斯分布，所以 计和 计等效 教材 所以 计和 计相等。 当 20 0 时，先验概率决定了数据的后验概率。而当 20 时，先验概率相当于均匀分布，而此时后验概率等于似然概率。 信号检测部分： 解 ： 虚警概率，漏警概率，检测概率， 匹配滤波器， 广义匹配滤波器， 似然比检验，广义似然比检验， 接收机工作 特性 （性能评估） ， 恒虚警检测， 常用检测准则（贝叶斯准则及其派生准则： 纽曼皮尔逊准则 ， 最小平均错误概率准则 ， 最大后验概率准则 ， 最大 似然 概率准则 ， 极小化极大准则 ）。 13. 考虑一个 的 信号 00 c o s 2 ( 0 1 / 2 )s n A f n f 的检测问题，其中0,1, , 1 ，求 1时刻匹配滤波器的信号输出。如果信号被延迟了 0n（ 0 0n ）个采样时刻，以至于我们收到的信号为 0sn n 。应用原信号的同一个匹配滤波器，求在 1时刻的输出信号与 0n 的函数关系。 解：在 道， )2c o s ( 0 为 刻的匹配滤波器输出为： 10 010 )2c o s (1； 若信号被延迟 0n ，则 0 。此时，由于匹配滤波器不变，所以输出 10 0010 )2c o s (1 d 。 14. 二元数字通信系统中，假设 1H 时信源输出电压为 1，再假设 0H 时信源输出为 0。信号在传输信道上叠加了均值为零，方差为 2 1n 的高斯噪声。试构造一个虚警率为 收机，并求出相应的检测概率。（已知 ( ，211( ) e x p 22xQ x t d t ）。 解： 假设进行了 如下假设： 01 0 , 1 , . . . . . . . 1: 1 0 , 1 , . . . . . . . 1H n n NH x n n n N ： xn= 似然比：120211200211e ( 1 ) 2( ; ) ( 2 )() 11( ; )e 2( 2 )x x H 时，判 1H 成立 等价于 101 2Nn 时，判 1H 成立 令 2N ，即： 101( ) x x n 时， 1H 成立 101) ( ) 0 0（ T(x);H)1E 1（ T(x);H 101011v a r ( ( ) ; ) v a r ( ) v a r ( ( ) ; )x H n T x 即： 011( 0 , )( ) 1(1 , )条 件 下条 件 下0 ( ) ; ( ) 0 . 11/FA rp p T x r H Q N ( r N 检测概率： 1 1 ( ) ; ( ) ( 1 . 2 9 )1/D rp p T x r H Q Q 假设下的接收信号分别为 01: 0 , 1 , , 1: 0 , 1 , , 1z A n k NH z n k N 若 N 个样本 互统计独立，噪声 2(0, ) ，先验概率 10( ) ( ) 1 / 2P H P H，代价因子 00 11 0， 01 10 1。 （ 1）求最小错误概率的判决规则； （ 2）求最小错误概率 （ 3）研究观测次数 N 对检测性能的影响。 解：（ 1）定义错误概率 0 1 1 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )ep p H H p H p H H p H 我们的目的是设计检测器，使 小。 已知 0 0 1 1 0 1 1 0C = C = 0 , C = C = 1 ，这时，使贝叶斯风险最小的检测器在 1 1 0 0 0 00 0 1 1 1 1p ( ) ( C C ) ( ) 1p ( ) ( C C ) ( )xH p H 时判 1H 成立。 （ 2）由（ 1）判决准则并代入具体数值，因此如果 12202 212202 211 ( ) 2( 2 )111 2( 2 )n 则判 1H 。取对数，得 1 22 01 ( 2 ) 02x n N A 或者如果 /2 ，则判 1H ，代入定义的 注意到 2021( 0 , ) ,( A , ) , 条 件 下条 件 下0 1 1 1 0 0 1 0221( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 21 / 2 / 2 ( 1 ( ) ) ( ) 2 /e r rp p H H p H p H H p H P x A H P x A 由于 ( ) 1 ( )Q x Q x ，最终有 22()4e （ 3）由 22()4e 错误概率随 22增加而单调递减 即 A , 2 一定时， N 取值越大， 小，检测性能越好。 16. 如果把信号看作为零均值的白色 斯随机过程，方差为 2s ，噪声是方差为 2 的 与信号独立，试设计似然比检测器区分如下的两种假设： 01: 0 , 1 , , 1: 0 , 1 , , 1H x n w n n NH x n s n w n n N 解：如果把信号看作为零均值的白色 斯随机过程， 方差为 2s ， 噪声是方差为 2 的 与信号独立，设计似然比检测器区分如下的两种假设： 01: 0 , 1 , . . . , - 1: 0 , 1 , . . . , - 1H x n n n NH x n s n n n N 如果似然比超过门限，或者 10p( ; )() p( ; )， 测器判 1H 。 根据模型假定，在 0H 条件下， 2(0, )x N I ；这样， 在 1H 条件下， 22(0 , ( ) ) I 于是有1222022 212202 211e x p 2 ( ) ( 2 ( ) () 11e x p 2( 2 ) 对数似然比变为 2 122 2 2 2 2022 122 2 2 2 201 1 1( ) l n( ) ( ) 221l n( ) 2 2 ( )x x nN 因此，如果 1 20( ) x x n ，则判 1H 成立。 17. 在假设 0H 和 1H 下，若观测信号 x 的 概率 密度函数分别如图 1(a),(b)所示 ,已知先验概率 01( ) 0 ( ) 0 P H。试设计采用最小平均错误概率准则的检测器，并说明它是如何实现判决的。 图 1. 0H 和 1H 下观测信号 x 的 概率 密度函数 解答 ：两个假设下观测信号的概率密度函数分别为 1210 2( 1 ) , 1( | ) ( 1 ) , 10,x H x xo th e r s （注意要满足概率的归一性原理） 和1 1 / 2 , 1 1( | ) 0, xp x H o th e r s 似然比函数为 10, 1 1( | )() 0 , 1 , 1( | ) xp x Hx x H 似然比检测门限为 01()3( ) 7 由似然比检验得判决结果： 检验统计量 ()l x x 10, 1 ( ) 1, ( ) 1 , ( ) 1H l xH l x l x 成 立成 立 检测器结果如下图所示： 取 x x 0 1 0 p(x| p(x| (a) (b) 取绝对值 判决器 x 1 立 立 p）的且秩为 p 的观测矩阵， 是 p*1 的参数矢量， w 是 N*1 的噪声矢量， N（ 0， 2I ），对于假设检验问题 01:H A b 其中 A 是 r*p（ r=p）的秩为 r 的矩阵， b 是 r*1 的矢量， 是线性方程的一致集合，如果 11112 ( ) ( ) ( )( ) 2 l n ( ) T T b A H H A A bT x L x 中 11 () H x 是在 件下 的 （ 2）（方差未知）： 如果 2( ) ( ) 1x L = 11111 ( ) ( ) ( )( ( ) )T T TA b A H H A A x I H H H H x 中 11 () H x 是在 件下 的 无约束的 3）结论不适用于贝叶斯线性模型，因为贝叶斯线性模型 x H w，其中将 看作为一个具有高斯先验 随机变量 20.【线性调频（ 冲压缩雷达的工作原理】 雷达发射机的任务是产生符合要求的雷达波形（ 然后经馈线和收发开关由发射天线辐射出去，遇到目标后，电磁波一部分反射，经接收天线和收发