《信息与通信工程中的随机过程》习题解答 第3章

随机过程作业标准答案第 1 章 第 1 页 共 10 页 随机过程作业标准答案 第三章 随机数学分析 （作者：张文策 时间：2009 年 1 月 3 日） 3 X 是标准正态随机变量，试求2的概率密度函数 ()Yf y 。 答案： 标准正态随机变量概率密度函数为： 221() 根据等效事件等概率准则： ()()d 000Y =+ 3知随机变量12, 相互独立，且其相应的概率密度函数分别为11(),Xf x 22(), () ，又已知11212,+,12=+ ，求证：随机向量12, 的联合概率密度函数为1212(, , , ) nf yy y =12121() ( )yf y y 1()nf 。 答案： 由已知得： 12 1 212 1 2(, , , ) () () ( ) n X X X nf xx x f xf x f x= 且： 1121212=+=+所以： 112121= += +系数矩阵为下三角矩阵，容易求得 列式为： 1J = 。所以： 12 1 21212 12 1 1121 1(, , , ) (, , , )() ( ) ( ) n n y fy y=得证。 31X 和2X 是两个独立同分布的、零均值的 机变量，试证明随机变量2212是一个 布随机变量。 答案： 根据等效事件等概率原则： 22121212 1 2()(, )d d 000Y 。 答案： 补充定义 () , 0=：由于： ) = 所以 () 又： 121221212 1 2,12 1212 1 2,12 1 2 1 2(, ) 1 , ) ( , ) ( , ) ( , ) ) t Rt t =+=上式中，分别对12 ) ，12行 开，并忽略高阶项得到：121212 1 2,12 1 2 1 2322 212 1,123 ) )63 +=+=所以， 所以 () 又： 随机过程作业标准答案第 1 章 第 7 页 共 10 页 1212 1 2 1 2121 )(, )d d d tt = 从上式可知，对于2R 空间上， ()对于任意有限区间， ()为： 12 1 2(, )d 将 (),上进行 开。 答案： 决定标准正交函数系的特征方程为： |e()d()=进一步展开得： | |()e()d e() =+上式对 t 求导得： 随机过程作业标准答案第 1 章 第 8 页 共 10 页 () e e ( )d e e ( )t = + 对上式关于 t 再次求导得： 222() e e ( )d e e ()() 2 () =+=所以： 2() ( 2 ) () = 当 0 = 时，得到 () 0 ，没有意义。 当 2/= 时， 由 () 0= 知， ()+， 代入特征方程求解待定系数， 发现 ,(1)= 其中： )e+= 因为 /以 2/= 不是特征值。 当 2/ 时令： 22(2/),0= 则： 2() () = 上述方程的通解为： 12() e + 待定系数时发现： 1221=+=+而不存在非零的12,当 02/ 所以： 2() () 0 += 上述方程的通解为： 12() e + 待定系数时发现，要使 是特征值，要求120，当12 时： ) 当12时： ) 设 ,1,2, 为上述方程的解，求得响应的 随机过程作业标准答案第 1 章 第 9 页 共 10 页 222,1,2+ i 为奇数时，对应12，此时特征函数为: ()1/2 , 1,3,5,1=+ i 为偶数时，对应12 ，此时特征函数为: ()1/2 , 2,4,6,1= 因此，可以对 ()开： 1() (), t T t =其中*() ()3明：偶函数的 换为奇函数；奇函数的 换为偶函数。 答案： 设1()： 那么： () ( )( )d() ( )()d()()d()()t t = =+=+由上式知道，若 () ( ) t= ，即 ()() ( )()d ()t h = =()为偶函数。 若 () ( ) t=，容易得到： () ( )()d ()t h = =所以， ()为奇函数。 得证。 3随机过程 () ) +，其中 和 为互相独立的随机变量， 的概率密度函数为偶函数， 为 (,) 内的均匀分布，试证明： () () 答案： 随机过程作业标准答案第 1 章 第 10 页 共 10 页 () () ) ) ( ) ( )d d( )d )A =+=+=()2222220(,) ()() ( ) 2 2 2 2 2 ) ( ) )t t E t += +=+= + + = + + + =()2202 ) ( , ) ( , ) ( )() tt m =所以，