第九章 量纲分析和相似原理

流 体 力 学 教研室：环境与市政工程系水力水文教研室教研室：环境与市政工程系水力水文教研室 量纲分析量纲分析 第五章第五章 和相似原理和相似原理 第五章 量纲分析和相似原理 o 51 量纲分析 o 52 相似理论 o 53 相似准则 o 54 模型实验 主要内容 五 学习重点 ： 理解量纲分析的意义及应用； 掌握量纲分析方法 掌握量纲和谐原理、相似概念及主要相 似准则的意义和应用； 了解模型实验。 51 量纲分析 （ 1）量纲 是表征各种物理量性质和类别， 是指 物 理量所属的种类。（质的表征） （ 2）单位 是人为规定的量度标准，量度各种物 理量数值大小的标准量。（量的表征 ） 一、量纲的概念 1、量纲与单位 物理量 q 量纲（属性） dimq 单位（量度标准） 2、量纲的分类： （ 1）基本量纲（独立量纲） 不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 （ 2）导出量纲（非独立量纲） 可由基本量纲导出的量纲。 如： 速度量纲： L T 1 ； 流量量纲： L3 T 1 。 如： 时间量纲： T 长度量纲： L 质量量纲： M 温度量纲： 对于不可压缩流体运动，则选取 M、 L、 T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 加速度 dima=LT-2 力 dimF=MLT-2； 动力粘度 dim=ML-1T-1 综 合以上各量 纲 式，可得任一物理量 q的量 纲 dimq都可用 3 个基本量 纲 的指数乘 积 形式表示。 3、导出量纲公式： dimq=M a L b Tc 1 当 a = 0， b 0， c = 0 时： 为几何学量纲。 2 当 a = 0， b 0， c 0 时： 为运动学量纲。 3 当 a 0， b 0， c 0 时： 为动力学量纲。 4、无量纲量（纯数、无因次量）： （ 1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即 a=b=c=0时 , 则 dimq=1 ，这个物理量即无量纲量。 可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到； 也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合 量的量纲指数为零得到。 （ 2）特点： 2 其大小与所 选单 位无关， 不受运动规模的限制。 3 除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、 指数、三角函数等超越函数运算。 1 客观性。 二、量纲和谐原理 （ 3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。 （ 2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减； （ 1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关； 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。 2、量纲的主要特性： 1、定义 3、量纲分析的具体应用： （ 1）量纲分析法 即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （ 2）应用： 1 检查所建立的物理方程是否正确； 2 可用于同一量纲的单位换算； 3 确定各物理量之间的合理形式； 4 设计系统实验及分析实验结果。 三、量纲分析法 1、瑞利法： （ 1）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析； （ 2）适用范围： 方程中物理量较少（一般 4 5个），各量纲 间的关系较易确定。 （ 3）基本原理和步骤： 对于某一物理过程，通过观察、实验、分析， 从而找出影响该物理量的主要因素： y, x1 , x2 , x3 ,xn 写成指数形式： y = f (x1 , x2 , x3 ,xn ) 表示。可用函数式： 量纲表示式： 据量纲和谐原理 有 : L: 1a1 2a2 nan+a = T: 1b1 2b2 nbn+b = M: 1c1 2c2 ncn+c = 1 2 3 n， ，解出： 1 其指数关系式： （ 4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度 ， 流量 Q， 扬程 H 。 求水泵输入功率 N 的表达式。 M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L3 2 量纲表达式： 3 据量纲的和谐原理有： M： 1 = + 0 + 0 1 L： 212 = 2 + 3 + 3 T： 21 3 = 2 + 0 3=1 2=1 1=1 M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L3 故得： N = k Q H 2、 定理（布金汉定理） 是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对 较多的情况。 （ 1）基本原理： 设某一物理过程包含 n个物理量： f (x1， x2， ， xn) =0， 其中有 m 个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量） ，则该物理过程可由 n个物理量构成的 (n- m)个 无量纲项来 描述。 F（ 1， 1， ， n-m） = 0 即： 因是用 来表示无量纲量，故称 定理。可由数学方法证明，这里从略。 m个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来 判断，若其 0，则独立。 （ 2） m 个相互独立量纲的物理量选择： 一般可选 3个（ m=3）， 通常分别选 几何学物 理量、运动学物量、动力学物理量 各一个。此法一 般可满足量纲相互独立。 （ 3）确定无量纲量 的方法： 1 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量； 2 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量 。 如 m=3， 则有： 4 举例： 1 = x4 /(x11 x21 x31) 2 = x5 /(x12 x22 x32 ) n-3 = xn /(x1（ n-3） x2（ n-3） x3（ n-3） ) 3 按量纲和谐原理求得各指数，即可得出 的具体表达式。 例 2：管中紊流，单位管长沿程水头损失 hf/L，取决于下列因素： 流速 ,管径 D，重力 g，粘度 ，管壁粗糙度 和密度 ，试用 定理分 析确定方程的一般形式。 解： （ 1）找出有关物理量 （ 2）选基本量 。在有关量中取 v， D， 为基本变量，基本量 数 m=3 （ 3）组成 项，决定各 项基本指数。 的个数 N()=n-m=7-3=4， 显然 hf/L是一个 ，因 hf和 L量纲都是长度。 1=/ ( a1Db1 c1)= ML-1T-1/( LT-1a1Lb1ML-3c1) 则 L:-a1-b1+3c1-1=0 T:a1-1=0 M:-c1+1 =0 由此 a1=1， b1=1， c1=1。类似有： 2= /( a2Db2c2 ) 3=g/(a3Db3c3） 可得： a2=0， b2=1， c2=0 a3=2， b3=-1， c3=0 （ 4）整理方程式： 即 解得： 常用沿程损失公式形式为： 称沿程阻力系数，具体由实验决定。 例 3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p与下列变量有关： 管径 d, , ,l, ,管壁粗糙度 ，试求 p的表达式。 解：（ 1）找出有关物理量 F（ d,l, , p） =0 （ 2）选基本量，组成 项。基本量 d, , , n=7, m=3, 数 n-m=4个 （ 3）决定各 项基本量指数 对 1： 对 2： 同理得 ： （ 4）整理方程式 设 则 （ 2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。 19 世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了 不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验 根据， 都可用于一定条件下流动现象的描述，这 些 公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。 关于量纲分析方法的几点讨论： （ 1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。 （ 3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观 规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的 。 弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依 靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。 （ 4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提 供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力 学理论和实验之间的桥梁。 思考题 1.量纲分析有何作用？ 答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检 验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组 织实验过程、整理实验成果提供理论指导。 2.经验公式是否满足量纲和谐原理？ 答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得 ，不考虑量纲之间的和谐。 3.瑞利法和布金汉 定理各适用于何种情况？ 答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数 45个， 定理是具有普遍性的方法。 52 相似理论 一、相似的概念 1、模型实验： 从模型上得到的现象可用来推断 原型上可能发生的情况。 模型 ： 指与原型（工程实物）有同样的运动规律， 各运动参数存在固定比例关系的缩小物。 原型： 天然水流和实际建筑物称为原型。 2、相似理论： 研究原型与模型之间联系的理论，即为 相似理 论 。是模型实验的理论基础。 3、流动相似 是几何相似概念的扩展。即要求在原、 模型的 流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量 、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例 关系。即流动相似扩展为下面的 “相似条件 ”。 二、相似条件 1、几何相似 指流体流动空间的几何相似 。 即两个流动（原型、模型）流场的 几何形状相似。 （ 1）条件： 1 对应线性尺寸成比例； 2 对应角相等； 满足力学相似，即 几何相似、运动相似、 动力相似、 初始条件和边界条件相似 。 （ 2）表达式： 2 对应的面积比例常数 (比尺 ) ： 3 对应的体积比例常数 (比尺 )： 4 对应角： 1 对应的长度比例常数 (比尺 ) ： l=l p/lm A =l p2 / lm2 =l2 V =l p3 / lm3 =l3 p /m =p /m =p /m =1 注： l 可据实验场地及要求而定。 通常取 10l100 以角标 p表示原型 （ prototype ） ,m表示 模型 （ model） （ 3）意义 ： 几何相似是力学相似的前提，只有在几何相 似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对 应点其它物理量之间的相似。 指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。 2、运动相似 （ 1）条件： 2 对应点上速度 (加速度 )的方向相对应， 1 几何相似： 大小成比例。 1 时间比尺： t= tp / tm 2 速度比尺： v = vp / v m=l /t 3 加速度比尺： a= ap / am=l /t2 =v2 /l （ 2）表达式： 运动相似是模型实验的真正目的。 （ 3）意义： 3、动力相似 （ 1）条件： 指两个流动对应点上受到同名力的作用， 力的方向相同、大小成比例。 2 对应点上同物理性质的力方向相对应， 大小成比例。 1 几何相似； （ 2）表达式： 根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该 质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式 上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点 上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。 （ 3）意义： 动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。 运动相似是动力相似的表征。 如分别以符合 T、 G、 P、和 I代表影响流体运动的粘滞 力、重力、压力和惯性力，则有： 4、初始条件和边界条件相似 初始条件相似： 适用于非恒定流。 边界条件相似： 指两个流动相应边界性质相同，如 原型中的固体壁面，模型中相应部 分也是固体壁面；原型中的自由液 面，模型相应部分也是自由液面。 流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依 据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因 素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相 似和动力相似的流动。 53 相似准则 （ 1）完全相似 所有的力都相似。 （ 2）近似相似 起主要作用的力相似。 1、流体力学的相似 2、在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这 点是比较困难的，故一般可做到近 似相似，即起主 要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。 3、在惯性力、压力、重力、粘滞力等各种力中，直接 影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状 态的力。而其它力是力图改变原有流动状态的力， 称主动力，是流体受到的外力。流动的变化就是惯 性力与主动力之间相互作用的结果。 4、相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的 动力相似。它是模型设计和试验的基本依据。 雷诺准则 （ 作用在流体上的力主要是 粘滞力 ）。 一、粘滞力相似准则 1、力的比尺： lvRe =又 ： 故有： 由 粘滞力 ： 惯性力 ： 用运动特征量表示 ： 3、用比尺表示 有： 即： （ Re） p =（ Re） m Re 雷诺数 2、 Re 雷诺数 。是无量刚数， 表征惯性力与粘滞力之比。 两流动相应的雷诺数相等，粘滞力相似。 粘滞力相似，适用于粘滞力 起主要作用的流动，如全封 闭边界中的流动，有压管流， 潜体（飞机、潜艇等）情况。 二、重力相似准则 弗劳德准则 （作用在流体上的力主要是 重力 ） 1、力的比尺： gl vF r =又：故有： 由 重力： 惯性力 ： 用运动特征量表示 ： 即： (Fr )p = (Fr )m Fr 弗劳德数 2、 Fr 弗劳德数， 是无量刚数，表征惯性力与重力之 比。两流动相应的 弗劳德数相等，重力相似。 3、用比尺表示 有： 适用于主要靠 重力 流动的流体。如明 渠流、闸孔出流、 堰顶溢流、消力池、 桥墩等。 欧拉准则 （作用在流体上的力主要是 压力 ）。 三、压力相似 其中： 1、力的比尺： Eu 欧拉数 由 压力： 惯性力 ： 用运动特征量表示 ： 即： (Eu )p = (Eu )m 2、用比尺表示： 3、 Eu 欧拉数。是无量纲数 ，表征了压力与惯性力之比。两 流动相应的欧拉数相等，压力相似。 适用于压力起主要作用的流动。 如全封闭流体、压力体等。 注：当 Fr准则与 Re准则得到满足时， Eu准则将自动满 足，故 Eu准则不是独立的准则。 Fr准则与 Re准则是 独立准则。另外还有弹性力相似准则、表面张力 相似准则等。 流体的运动是边界条件和作用力决定的，当两个流 动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规 律运动。由此得出结论，几何相似与相似准则成立是实 现流体力学相似的充分和必要条件。 54 模型实验 一、模型律的选择 1、模型律 使原、模型的相似准数相等的条件即为模型律。 2、模型律的选择方法： 实际上就是相似准则的选择。为了使模型和原 型流动完全相似，除了几何相似外，各独立的相 似准则应同时满足。但实际上要同时满足是不可 能的。 选择起主导作用的力相似， 达到近似相似即可。根据实践，对于大 多数流动现象，以 Re或 Fr为主，主要用这两种准则指导模型设计。 如有压管流、潜体绕流，粘滞力起主要作用，应按雷诺准则设计模 型；堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动等，重力起主要作用，应按 佛 汝德准则。 当原型和模型为同种流体， 得 只有 lp=lm，即