2004-2006年gct考试真题数学答案解析

（2004 年）第二部分 数学基础能力测试 1设 ，则 （ B ） nSn 1)(432 2054S A2 B1 C0 D 1 分析：由于 ，)3()(204 ，25045S 所以 12051 2 在一条长 3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线 杆，每隔 40 米原已挖好一个坑，现改为每隔 60 米立一根电线 杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ） （04） A . 50 和 40 B . 40 和 50 C . 60 和 30 D . 30 和 60 分析：40 和 60 的最小公倍数是 120，在 120 米的距离内需挖一 个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别 是 30 和 60 3 某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未 住下，若每间住 8 人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿 舍的房间数为（ C ）. A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx82046 4 甲、乙两种茶叶以 x : y （重量比）混合配制成一种成品 茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10 % ，乙种茶价格下降 10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不 变，则 等于（ C ）. （04）yx： A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6 分析：由于 ，所以 yxyx )1.0()1.0(0 4x 5 在一条公路上，汽车 A 、B 、C 分别以每小时 80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B 、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. （04） A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里 分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 l 5082708ll 1950l 6设 均为正数，若 ，则（ A ） cba, acbbac A B C D abc 分析：本题利用代入法最为简单，当 时，正分数b 的分子依次增大、分母依次减小，所以acba, 7实数 在数轴上的位置如下图表示，b, b a O c GCT 考试网 图中 O 为原点，则代数式 （ A ） caba A B C Dca23c2b2a3 分析：因为 ，所以b0 cacbac)()()( 8已知 ，且满足 和 ，则（ 1a03280282b B ） A B C D023bba2a3a 分析：由于 ，且 ，62408,4208 1b 所以 当 时， ，42082a 624082, b 当 时， ，2, 2 从而有 032ba 或根据 ，也可以推出有 0)32(8942ba 032ba 9 表示 的幅角，今又 ，则zarg )1rg(),2arg(ii （ D ） )sin( A B C D5453543 分析：由于 ，所以51cos,2sin,cos,1sin 53ii)sin( 10将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放 一个球，则 3 个空格相连的概率是（ C ） A B C * D56356283285 分析：将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，共有 种58C 放法，3 个空格相连的放法有 6 种，所求概率为 23658 11如图，直角 中 为直角，点 E 和 D，F 分别在直角边ABC AC 和斜边 AB 上，且 AF=FE=ED=DC=CB，则 （ C ） （04）A A B C * D89102 AC B E D F 分析： A B C E D F2A 3A 4A4A 如图，根据条件可知，三角形 AFE，FED，DCB 都是等腰三角 形根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等， 可知角 EFD 的大小为 2A，角 CED 的大小为 3A，角 BDC 的大 GCT 考试网 小为 4A，所以角 A 和角 B 之和为 5A，从而 10A 12如图，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为 ，则正方形 EFGH 的面积S 为（ C ） （04） A B C * D8S10S12S4 A B C G H 分析： 设小正方形的边长是 ，则 GC 的长度是 ，HB 的长aa2 度是 ，AD 的长度是 ，所以 ，a322491S 从而 S12 13在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在 过 P 点的弦中，长度为整数的有（ B ） （04） A14 条 B13 条* C12 条 D11 条 分析： O P A 如图，过 P 且与直径垂直的弦的长度是 ，这也是1825 D 过 P 点的弦中长度最短的，由于直径是过 P 点的弦中最长的一 条，所以过 P 点的弦中长度为整数的有 条1370 注 按本题的问法，考虑到对称性，结果应为 24 条但选项中 没有这个选项 14直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的方程l12yx0yxl 为（ A ） （04） Ax-2y=1* B.x+2y=1 C.2x+y=1 D.2x-y=1 分析： x+y=0 + 2x-y=1 -1 1/2 1 -1/2 如图，由于直线 过点 ，这两点关于直线12yx)0,21(, 的对称点分别是 ，故直线 过点 ，所0yx)0,(l)21,0( 以其方程为 (2xy 15 中，AB=5，AC=3， ，该三角形 BC 边上的中线长ABCxA 是 的函数 ，则当 在 中变化时，函数 取值的范x)(xfy),0()(xf 围是（ B ） （04） A （0，5） B （1，4）* C （3，4） D （2，5） 分析 ： GCT 考试网 A B C f(x)3 5 如图，当 在 内变化时，BC 边上的中线长 f(x)的变化x),0( 范围是 )4,1( 16如图， 是两个逐段线性的连续函数，设)(,xgf ，则 的值为（ A ） )()(xfu1u A * B C D4343212 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 6 f(x) g(x) 分析：由于 ， ，)1()(gfu 41)3(1(,3)1(, fgfg 所以 43)1( 17.过点 作曲线 的切线，设该曲线与切线及 轴所)sin,pxysin y 围成的面积为 ，曲线与直线 及 轴所围成的面积为 ，1Spx2S 则（ D ） A B3lim210Sp 21lim0Sp C D *li li1 分析：由于 ，1cos21sinsi)(cos(in01 ppdxpxpS ，所以xd1s2 1sin2silmcos2sinlmli 00210 pppSp 18如下不等式成立的是（ B ） A在 区间上，)0,3()3ln(lx B在 区间上， * C在 区间上，),()l(lx D在 区间上，0 3n 分析：令 ，则 ，l)3ln()xxf )3(0341)( xxf 又 ，所以在 区间上，有 ，即)(f 0, 0f )3lnlx 19设 为连续函数，且 ，则(f 1sin)(0xdf （ C ） 0cos)ixdx A B C * D11 分析：因为 ,0sin)(xdf 0cos)in(xdxf 0)()sin()i(00 dufxdf 且 ，所以 11co)in(0xf 20如图，抛物线 把曲线 与 轴所构2)(xy)0(byx 成的区域面积分为 与 两部分，则（ B ） ASB A B * C D 与 的SASASB GCT 考试网 大小关系与 的数值有关b 分析：解 得 )()12(xb2,01bx 由于 ，320 21)()( bdxxbSA ，3220 )()1(bB 所以 AS 21设 ，则行列式032312 1321 Maa （ A ） 2321aa A B C DM8 M28 分析： Maaaa 8)1(2)2(2 323133213131331 22设 ，则矩阵 中，第 31,3102,3021ABCBA 1C 行第 2 列的元素是（ B ） A B C D31223 分析：因为 ，所以矩阵 中，第 3 3101021AC 1C 行第 2 列的元素是 2 23若向量 线性无关，而向量 线性相关，, 3,2,k 则 （ D ） k A B C D322 分析：因为向量 线性相关，所以存在不全为3,k 零的 使得321,k ，0)()2()( 31 kk 即 ，又向量 线性无关，0)(231 kk , 故 03,21k 由非零解，从而 ，即 6021k3 24设矩阵 ，三阶矩阵 ，且满足 ，则 63xA0B0AB GCT 考试网 （ C ） A ， 的秩 B ， 的秩8xB18x2 C ， 的秩 * D ， 的秩 分析：根据题意可知 有非零解，所以0AX ，故 又由于 ，且 ，64803621xxA8x2)(Ar0B 所以 的秩 B1 25下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是（ C ） 201 A B C D 10210201201 分析：与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 应有两个 2 线性无关的特征向量，由于秩 等于 2、秩 10021 等于 2、 10021 秩 等于 1、秩 等于 2，所 2 10201 以矩阵 对应于特征值 有两个线性无关的特征向量， 01 故其与对角阵 相似 201 （2005 年）第二部分 数学基础能力测试 （25 题，每题 4 分，共 100 分） 1. 11112345678900.0的 值 是 （ ） 。 A. B. C. D. 81928 分析：分子 ，分母 ，9176543 291087654321 所以正确选项为 A。 2.设 为正数，则p2( )xp。 A. B. 9(1)x（ ） 91x（ ） C. D. （ ） ()（ ） 分析：由于 ， ，920)1(9xx 92)1(xx ， ，根据题意便知2)1(9x 920)1( 正确选项为 C。 3.在四边形 ABCD 中对角线 AC， BD 垂直相交于 O 点。若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD 的面积为（ D） 。 A.1080 B.840 C.720 D.540 GCT 考试网 分析： A B C D 如图，易知四边形 ABCD 的面积等于 与 的面积之和，ABDC 其值为 ，即正确选项为 D。540362121DAC 4.某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 ，如果再增加 613 个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（C） 。 A.18 B.35 C.40 D.60 分析：设完成剩余的工程还需要的天数是 ，则 ，xx)68(2135 故 ，即正确选项为 C。40x 5. 已知 ，则510yz且 22( )yzyz。 A.50 B.75 C.100 D.105 分析：由于 ，所以 ，从而,yzx 5xz ，故正确选75)()()(2122 yxyzx 项 为 B。 6.2005 年，我国甲省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内c 生产总值的 %；乙省人口是全国人口的 %，其生产总值占国de 内生产总值的 %，则 2005 年甲省人均生产总值与乙省人均生f 产总值之比是（ ） 。 A. B. C. D. cdefefcfdecf 分析：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总 值为 ，乙省人均生产总值为 ，所以甲省人均生产总值与乙cpdhepf 省人均生产总值之比是 ，即正确选项为 D。cfd 7.复数 2(1)( )ziz的 模 。 A.4 B.2 C.2 D. 2 分析：因为 ，所以 ，即正确选项为 C。2i 1)(ii 8.三个不相同的非 0 实数 成等差数列，又 恰成等比数,abcbca, 列，则 等于（A） 。ab A.4 B.2 C.-4 D.-2 分析：根据条件可知 ，从而 ，abcb2, 2)(bc ，由于 ，所以 ， ，即正确选项为cba2)(214 A。 注：本题根据 ， 及 可直接用排除法得到正确选0abcbca2 项 A。 9.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于（ ） 。 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 分析：当所取正整数的各位数是 2 或 8 时，其平方数的末位数 字就是 4，所有正整数的各位数只有 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0 等十种可能，所以要求的概率 GCT 考试网 是 ，即正确选项为 B。2.01 10.一个圆锥形容器（甲）与 一个半球形容器（乙） ，它们 的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米） 。若用甲 容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。 A.6 B.8 C.12 D.16 分析：甲容器的容积是 ，乙容器的容积是 ，所以若用甲容1232 器取水注满乙容器，则至少要注水 8 次，即正确选项为 B。 11.在 中，AB=10，AC=8，BC=6 。过 C 点以 C 到 AB 的ABC 距离为直径作一圆，该圆与 AB 有公共点，且交 AC 于 M，交 BC 于 N，则 MN 等于（ ） 。 A. B. C. D. 3451723 分析： 如图，根据条件可知 是直角三角形，由于是圆的直径，ACB 所以圆周角和都是直角，从而和都是正 方形的对角线，所以 ，故正确选项541068PMN 为。 12.已知 ，则 的值是（ ） 。 210,cosaacos6 A. B. C. D. 3223 分析：由于当 时， ，这与 矛盾，所以1a1aa21cos ，从而 ，即正确选项为。cos,1a 23)6cos( 13.已知 为反比例函数 图像上的一点，过 分别作两坐pyxp 标轴的平行线，交 轴于 ，交 轴于 ，则 的面积OMyNMP 为（ ） 。 A. B.1 C. D. 224 分析： 如图， 的面积为 ，即正确选项为 C。MPN21x 14.设一个圆的圆心为 ，该圆与坐标轴交于 A ，Bp6,m0,4 两点，则 到坐标原点的距离是（ ） 。0,12 A.2 B.8 C.10 D.103 2 GCT 考试网 分析：由于 AB 是圆的一条弦，所以圆心在线段 AB 的垂直平 分线上，从而 。 到坐标原点的距离是8)124(mp ，即正确答案为 C。10)8(62 15.已知 ，若圆 的圆心在第四象tan22cossin1xy 限，则方程 的图形是（ ） 。22cosin0xy A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 分析：由于圆 的圆心在第四象限，所22ssi1 以 ，从而 的图形是一个椭圆，0sin,cocon0xy 即正确选项为 B。 16.设函数 的定义域是 ，则函数fx0,1 的定义域是（ ） 。1sincosgxfx A. B. C. D. 0.50.1 分析：考虑 得 解得 。即正确 1cos0,in1,x,0cosin0,1x5.x 选项为 D。 17.函数 在 上有（ ） 。12fxx, A. 1 条垂直渐进线，1 条水平渐进线 B. 1 条垂直渐进线，2 条水平渐进线 C. 2 条垂直渐进线，1 条水平渐进线 D. 2 条垂直渐进线，2 条水平渐进线 分析：因为 ，所1)(lim,1)(li,)(lim,)(li21 xfxfxfxf 以曲线 在 上有 2 条垂直渐进线，2 条水平渐进线。)(xfy, 即正确选项为 D。 18.设 在点 处可导，且 则fx01,23,fn =（ ） 。0 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：因为 在点 处可导，所以其在点 处连续，从fx00x 而 ， 。即正确选2lim)1(li)0(nffn 21)(lim)(nfff 项为 C。 19.若 的二阶导数连续，且 ，则对任意常数 必fxlixfa 有 =（ ） 。lixafx A. B.1 C.0 D. af 分析：根据微分中值定理可知，存在介于 和 ax之间的 使得 。由于 ，所以afxfaf )()( lim1xf 。即正确选项为 A。afx )(lilim 20.设 是 的一个原函数，则不定积分 =（ 2nf ()xfd ） 。 A. B. 331l9xC2lnxC C. D.322n 分析：由于 ，所以xdxfxxf ln)(,ln2l)( 2 。即正确选项为 C。Cdfdxf)( GCT 考试网 21.设连续函数 在 内严格单调递增，且 ，yfx0,a0f ，若 是 的反函数，则 =( )。fag0afxgdx A. B. 22f2f C. D. 0axd0agxd 分析： a a A B )(xfy 如图，根据定积分的几何意义可知： ，所以BdxgyAdxfa 000)()(,)( 。即正确选项为 B。 2afg 22.设向量 ， ， ， ，则向量组1213041 的一个极大线形无关组是（ ） 。1234, A. B. 1234, C. D. 123, 分析：因为 ， 1012102102 所以向量组 的一个极大线形无关组是 。即1234,124, 正确选项为 D。 23.设 A= ，则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量201 是（ ） 。 A. B. C. D. 10100110 分析：因为 ， ， 10234123 01240123 ， ，所以 A 的 012103 对应于特征值 2 的一个特征向量是 。即正确选项为 D。 10 24.已知 为 维单位列向量， 为 的转置， 为单位矩阵，XnTXnE 若 = ，则 等于（ ） 。GT2 A. B. C.1 D. n 分析： ，即正确选项为 A。GXXTTT)(2 25.设 是方程 的三个根，则行列式 的,abc3240xabc 值等于（ ） 。 GCT 考试网 A.1 B.0 C.-1 D.-2 分析：根据题意可知 ，abcxcabxcaxcbxax )()()()(42 233 所以 ，从而4,0cb,0)4(12)2()(333cbaabcc 即正确选项为 B。 （2006 年）第二部分 数学基础能力测试 1. （ ）64173216584321 A . B .6508 3208 C . D.4 17 答：C 分析：（本题是算术题，考查数的简单运算） 64308218721 )2121()7543( 647168216 543 2.100 个学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有手机没电 脑的共 15 人，则这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。 A .25 B.15 C.5 D.3 答：D 分析：（本题可以认为是算术题、也可以认为是概率题） 作为算术题，解法如下：根基题意，24 个没有电脑的人中 15 个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有 9 人，从而在 12 个没有手机的人中只有 3 人有电脑。 作为概率题，解法如下：设事件 A 表示从 100 个学生中任意叫 出一人，此人有手机；事件 B 表示从 100 个学生中任意叫出一 人，此人有电脑。则 03.15.08.241 )()()()(ABPAPB 即这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有 3 人。 3.如右图所示，小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上，大 半圆的弦 AB 与 MN 平行且与小半圆相切，弦 AB10 厘米， 则图中阴影部分的面积为（ ）平方厘米。 M N N A B GCT 考试网 A.10 B.12.5 C.20 D.25 答：B 分析：（本题是平面几何题。考查了圆的面积公式和圆的弦的 有关性质） 记大圆半径为 、小圆半径为 ，则根据题意可知 ，Rr 252rR 所以图中阴影部分的面积为 。5.1212R 4.方程 ，所有实数根的和等于（ ） 。20762x A.2006 B.4 C.0 D. 06 答：C 分析：（本题是代数题。考查绝对值概念和一元二次方程的求 根公式） 当 时， ；0x207460x 当 时， 。2)( 所以方程 的所有实数根的和等于 。20762x 0 5.已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压 平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ ） 。 D 4 8 A B CO A. 8 B. 10 C.12 D. 14 答：B 分析：（本题是平面几何题。考查全等三角形、勾股定理和直 角三角形的面积） 如图，易知 与 全等，从而 ，ABOCD222)8()(4ODAOD 解得 ，所以阴影三角形的面积等于 。3D 1031 6.复数 的共轭复数 是（）.iz1z A. B. C. 1 D. i 答：A 分析：（本题是代数题。考查复数的基本概念） 由于 ，所以 。iz1iz 7.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球 放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然 后取出该球（假设原水量不受损失） ，则容器中水面的高度为 （） 。 GCT 考试网 20cm 10cm A. B. cm C. cm D. cmcm315316317318 答：D 分析：（本题是规范空间几何体的题目。考查圆柱和球的体积 公式） 将球取出后，假设水面下降了 cm，则h ，325410 解得 ，所以容器中水面的高度为 。35h 3180 8.P(a,b) 是第一象限内的矩形 ABCD（含边界）中的一个动点， A，B，C ，D 的坐标如右图所示，则 的最大值与最小值依次ab 是（） 。 y A（ ） D( )pm,pn, P(a,b) B(m,q) C(n,q) x0 A. B. C. D. nqmp, npmq, nqm, np, 答：A 分析：（本题是平面解析几何题。考查直线的斜率） 由于过点 和原点的直线方程为 ，即 是该直线的斜),(baPxaby 率。由图可知满足题意最大斜率值是 、最小斜率值是 。mpnq 9.一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 a 升酒精后， 用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出 a 升溶液后，再用 水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为 49%，则每次的倒出量 a 为（）升。 A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4 答：B 分析：（本题是算术题。考查比与百分数） 根据题意， ，即 ，解得 。 49.010a49)1(2a3a 10.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使 太阳的光线恰与半圆的直径 AB 垂直，此时半圆板在地面的阴 影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是（） 。3 A B A. 15 B. 30 C.45 D.60 答：B GCT 考试网 分析：（本题是平面几何题。考查了椭圆面积公式和特殊角的 三角函数值） 设半圆的半径为 ，则半椭圆的一条半轴为 ，记其另一半轴为RR 。根据题意可知b ，321Rb 如图可知 度。 R b 30 11.某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮，齿数分别为 48、36 和 24，后轴上有 4 个同轴的齿轮，齿数分别是 36、24、16 和 12，则这种自行车共可获得（）种不同的变速比。 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 答：A 分析：本题是算术题。考查两个数的比的大小） 由于 ，所以这种自行车共可获得16243,6,1248,3614 种不同的变速比。2 12.在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使得 A，B，C 恰为一个三角形的 3 个顶点，且线段 AC 与 BC 的长 是两个不等的正整数，则动点 C 所有可能的位置必定在某（） 上。 A 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线 答：C 分析：（本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题。考查 了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义） 不妨假设 比 长，由于 AC 与 BC 的长是两个不等的正整数，ACB 所以 ，又 ，从而 。即动点 C12ABC1BCA 所有可能的位置必定在某双曲线上。 13.桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各 1 本的概率是（） 。 A. B. C. D. 914108450845 答：C 分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单 的组合数公式） 所求概率为 。4510823156361Cp 14.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个 数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于（） 。 A. B. C. D. 2)1(n)1(n2)1(n3)1( 答：A 分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的 概念和通项公式） 设此等比数列的公比为 ，则 ，即 ，所以q1n1nq GCT 考试网 。2)1(232 nnqq 15.设二次函数 的对称轴为 ，其图像过点cbxaxf)( 1x （2，0） ，则 （） 。)1(f A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 答：D 分析：（本题是代数题。考查了一元二次函数图像的对称轴和 数的简单运算） 根据题意 ，所以 ，从而024,1cba2,0abc 。31)(f 16.设 ，且导数存在，则 （ ） 。0)(xf )(lnimaf A. 0 B. C. D. )(lnaf )(f 答：D 分析：（本题是一元函数微分学题目。考查倒数概念与复合函 数的求到公式） 根据导数定义，极限 是复合n afafafnn 1)(l)(l)(1limi 函数 在 点的导数，所以其值为 。)(lnxfya)(af 17.曲线 y= 在（0，2）区间内有（） 。1),2(0xx A. 2 个极值点，3 个拐点 B. 2 个极值点，2 个拐点 C. 2 个极值点，1 个拐点 D. 3 个极值点，3 个拐点 答：A 分析：（本题是一元函数微分学题目。考查了函数极值点和拐 点的求法） 根据 21),(2)1(3,0xxy 易知 分别是函数的极大值点和极小值点。35,1x 由于 21,)(6,0xxy 且 在 不存在，易判断经过 三点时二阶导数都变号，y1x 34 所以这三点都是函数的拐点。 18.设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的 体积最大时， （ ） 。hr A. B. 1 C. D. 21 23 答：C 分析：（本题是一元函数微分学与几何的简单综合题。考查了 勾股定理、圆锥体积公式和比区间上函数的最值问题） GCT 考试网 圆锥体积为 ，所以由 得)5(3122hhrV 0)35(12hdhV （易知这时体积最大） ，从而 ，故 。325h 052rr 19.设 ，则在0，a上方程 根的个0a 414202tataxx 数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答：B 分析：（本题是一元微积分题。主要考查变限定积分的性质和 连续函数的零点存在定理） 记 ，则dtadtaxf x202414)( ，04)(,0)( 0202 aa dtftf 所以 至少有一个根。)(xf 又因为 ，所以 只有一个根。04122 xax 0)(xf 20.如右图，曲线 表示某工厂十年期间的产值变化情况