2001级第一学期《高等数学》期末试卷

2001 级第一学期高等数学期末试卷 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分，将答案填在题中横线上，不填解题过程。 ） 1. 设 为正整数，且 ，则 = . 2. 设 ，则 . 3. 定积分 . 4. 设 ，则微分 . 5. 不定积分 . 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将 你认为正确的代号填入括号内。 ） 1. 等于（ ）. A. B. ; C. D. 2. 点 为函数 的（ ）. A.可去间断点； B.跳跃间断点； C.无穷间断点； D.振荡间断点. 3. 设函数 在（ ）内连续，则 等于（ ）. A. B. C. D. 4. 设 满足关系式 若 且 则 在 点（ ）. A.取极大值； B.取极小值； C.在某邻域内单调增； D.在某邻域内单调减. 三、计算题（每小题 5 分，共 25 分） 1. 求 . 2. 设函数 由 所确定，求 . 3. 计算积分 4. 设函数 连续，且 求 . 5.设 ，求 . 四、 （8 分）已知热量物线 过原点引两条直线，使抛物线与 x 轴所围图 形面积被该二直线三等分，求两直线方程. 五、 （8 分）求 在0，+ 上的最大值. 六、 （8 分）设 求证： 七、 （8 分）设 具有二阶导数，且 求 八、 （8 分）设 （ ）.证明 存在，并求 出该极限值. 九、 （5 分）设 在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 .求证： 存在 ，使得 . 2000 级第一学期高等数学期末试题 一、填空（每小题 3 分，共 9 分，将答案填在题中横线上，不填解题过程） 1. . 2. 函数 ，其中 可微，则 = . 3. 质点以速度 米/秒作直线运动，则从 ，到 秒内，质点 所经过的路程等于= 米. 二、选择题（每小题 3 分，共 9 分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为 正确的代号填入括号内） 1. 当 时，无穷小量 是 的 A.高阶无穷小. B.低阶无穷小. C.等价无穷小. D.同阶但不等价无穷小. 2. 设函数 的导函数为 ，且 ，则 A. . B. C. D. 3. 若 ，则 A.4. B.2. C. D.1. 三、求解下列各题（每题 6 分，共 36 分） 1. （6 分）求极限 2. （6 分）设 ，其中 连续，且 ，求 3. （6 分）计算不定积分 4. （6 分）设 ，求 5. （6 分）计算广义积分 6. （6 分）设函数 ，求 四、 （6 分）若方程 有一个正根 ， 证明方程 必有一个小于 的正根. 五、 （8 分）设函数 在（ ）上处处连续、可导，求 的值. 六、 （8 分）确定常数 ，使得 七、 （9 分）已知函数 求（1）函数的增减区间及极值； （2）函数图形的凹凸区间及拐点； （3）函数的水平和铅直渐近线. 八、 （9 分）设直线 与抛物线 所围图形的面积为 ，它们与直线 所围图形的面积为 ， （1）试确定 的值使 + 达到最小； （2）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积. 九、 （6 分）设当 时， 连续，且 0 ，证明数列 的极限存在. 高等数学上学期模拟试题（一） 一、选择题：（12 分） 1设 f (x)在 x0 处可导，g ( x)在 x0 处不可导，那么在 x0 处 . （A）f (x)+ g (x) 与 f (x)g (x)在 x0 处都不可导； （B）f (x)+ g (x) 与 f (x)g (x)在 x0 处都可导； （C）f (x)+ g (x) 未必不可导，而 f (x)g (x)一定不可导； （D）f (x)+ g (x) 一定不可导，而 f (x)g (x)未必不可导； 2设 ，则 的值等于 . （A）0； （B）2 27 ； （C）2 27 227 ； （D）2 27 3设 f (x) 在 a, b上连续，积分中值定理： 中的 是 . （A）a , b上任一点； （B）在a, b上至少存在某一点； （C）a, b上唯一的某一点； （D）a, b上的中点 4设函数 y = f (x)可导，且 ，则当 时，该函数在 x0 处的微分是 . （A）x 的等阶无穷小； （B）x 的同阶无穷小； （C）x 的高阶无穷小； （D）x 的低阶无穷小 二、填空题：（14 分） 1 = . 2函数 在 -1，1上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于 f (x)不满足罗尔 定理 的条件。 3设 ，则 4设 ，则 = . 5由曲线 和直线 所围成的图形绕直线 y=1 旋转一周所得旋 转体的体积可用定积分表示为 . 三、计算题（43=52 分） 1求极限 2 3求曲线 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周的旋转体之体积。 4求极限 . 5 ，求 . 6求 在 x=1 处的切线方程. 7设 ，求 8设 ，且 存在，求 f (2). 9已知 ，求 . 10求 . 四、若曲线 y = f (x)上点( x, y)处的切线斜率与 x3 成正比例，并知道曲线通过点 A (1,6)和 B (2,-9)，求该曲线的方程。 （4 分） 五、设 讨论 f (x)在 x = 0 处的连续性和可导性。 （5 分） 六、设 f (x)在0,1上连续，且 00，且 =0，则 (1)， (0)，f (1)f (0)，或 f (0) f (1)的大小顺序是：（ ） （A） (1) (0) f (1)f (0)； （B） (1) f (1) f (0) (0)； （C）f (1)f (0) (1) (0)； （D） (1) f (0) f (1) (0) 2.设 ab0，则 = . 3曲线 y= 在区间 是凸的. 二、选择题（每小题 3 分，总 12 分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认 为正确的代号填入括号内） 1极限 值等于（ ） （A） （B）2 （C） （D） ? 2设 ，则 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3设 在1，1上连续，在（1，1）内可导，且| |， ，则必有（ ） （A） （B） （C） （D） 4已知函数 在 上 ， ，则（ ） （A）曲线 在 上单增凹的； （B）曲线 在 上单减凹的； （C）曲线 在 上单增凸的； （D）曲线 在 上单减凸的。 三、求解下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1求极限 . 2设函数 由方程 所确定，求 及 . 3求不定积分 . 4计算定积分 . 5计算曲线 在 的一段弧长. 四、 （8 分）试求常数 使极限 . 五、 （8 分）已知 的一个原函数为 求 . 六、 （8 分）求曲线 与从原点向该曲线所引的切线与 轴围成平面图形 D. （1）求平面图形 D 面积。 （2）求 D 绕 轴旋转所成旋转体体积. 七、 （8 分）求函数 的最大值和最小值. 八、 （8 分）证明方程 在 内有且仅有两个不同实根. 九、 （6 分）设 在 上连续，且对每个 都有 . 求证（1） （2）在 上 98 级第一学期高等数学期末试题 一、填空（每小题 3 分，总 12 分，将答案填在题中横线，不填解题过程） 1若 时， 是 的高阶无穷小，则 满足的条件是 . 2 则 = . 3已知曲线 过点 且其上任一点 处切线斜率为 则 . 4 . 二、选择题（每小题 3 分，总 12 分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认 为正确的代号填入括号内） 1 是 的（ ）的间断点 （A）跳跃 （B）可去 （C）无穷 （D）振荡 2 时，变量 是（ ） （A）无穷小量 （B）无穷大量 （C）有界但不是无穷小量 （D）无界但不是无穷大量 3函数 则曲线 y 的弧长是（ ） （A）1 （B） （C） （D）4 4若函数 二阶可导且 ，又 时 ，则右 内曲线 （ ） （A）单调上升，曲线是凸的 （B）单调上升，曲线是凹的 （C）单调下降，曲线是凸的 （D）单调下降，曲线是凹的 三、求解下列各题（每小题 6 分，共 36 分） 1 （6 分）求极限 . 2 （6 分）设 ，求 及 3 （6 分）设函数 ，其中 满足方程 ，且 均一阶 可导，求 及 和 . 4 （6 分）求不定积分 . 5 （6 分）设 ，求 . 6 （6 分）设 ，其中|a|=1，|b|=2，且 ab （1）试问 k 为何值时，AB. （2）试问 k 为何值时，A 与 B 为边构成的平行四边形面积为 6. 四、 （7 分）求 C 的值使 五、 （7 分）函数 二阶可导， 又 时 与 x2 是等阶 无穷小，求 . 六、 （8 分）设由 所围成的曲边梯形被直线 分成 A，B 两部分，将