2011年中考数学试题分类23 等腰三角形

第 23 章 等腰三角形 一、选择题 1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如图，边长为 4 的等边ABC 中，DE 为中位线，则四边 形 BCED 的面积为（ ） （A） （B） （C） （D）23336 （第 7 题） ABCDE 【答案】B 2. （2011 四川南充市，10，3 分）如图，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论： tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE ;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是CD （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 M E DCB A 【答案】D 3. （2011 浙江义乌，10，3 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， BAC=DAE=90， 四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG； 一定正确的结论有 A B C D EFG A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 4. （2011 台湾 全区，30）如图 (十三)， ABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别C 交 、C 于 D、E 两点，并连接 、 若A=30 ， ，则BDE 的度数为何？BDEA A 45 B 525 C 675 D 75 【答案】 5. （2011 台湾全区，34）如图( 十六)，有两全等的正三角形 ABC、DEF，且 D、A 分别为 ABC、DEF 的重心固定 D 点，将DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如E 图(十七) 所示求图( 十六) 与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？ A2：1 B 3：2 C 4：3 D 5：4 【答案】 6. （2011 山东济宁，3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此 三角形的周长是 A15cm B16cm C17cm D16cm 或 17cm 【答案】D 7. （2011 四川凉山州，8，4 分）如图，在 中， ， ，点 ABC 130BCD 为 的中点， ，垂足为点 ，则 等于（ ） BEDE A B C D 103153601375 【答案】C 二、填空题 1. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 _. 【答案】 cm3 2. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 . 【答案】4 或 6 3. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰 RtABC 中，C =90，AC 1，过点 C 作直线 lAB ， F 是 l 上的一点，且 ABAF ，则点 F 到直线 BC 的距离为 【答案】 312或 4. （2011 浙江台州，14,5 分）已知等边ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把BDE 沿 直线 DE 翻折，使点 B 落在点 B处，DB,EB分别交边 AC 于点 F，G，若ADF=80 ，则EGC 的度数为 【答案】80 5. （2011 浙江省嘉兴，14，5 分）如图，在ABC 中， AB=AC， ，则ABC 的外40A 角BCD （第 14 题） ABCD 【答案】110 6. （2011 湖南邵阳， 11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50 ，则 A=_。 【答案】80。提示：A=180-2 50=80。 7. （ 2011 山东济宁，15，3 分）如图，等边三角形 ABC 中，D 、 E 分别为 AB、BC 边上的 两个动点，且总使 AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AGCD 于点 G，则 FA GFEC BA 第 15 题 D 【答案】 12 8. （2011 湖南怀化，13，3 分）如图 6，在ABC 中，AB=AC，BAC 的角平分线 交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=_. 【答案】4 9. （2011 四川乐山 16，3 分）如图，已知AOB= ，在射线 OA、OB 上分别取点 OA =OB ，连结 A B ，在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ，使 B B = B 11112121 A ，连结 A B 按此规律上去，记 A B B = ， ，22 2113n+1n 则 = ； = 。n 【答案】 2180n2180 10 （2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50 ，则 A=_。 【答案】80。 11. （ 2011 贵州贵阳，15，4 分）如图，已知等腰 RtABC 的直角边长为 1，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边， 画第三个等腰 RtADE ，依此类推直到第五个等腰 RtAFG ，则由这五个等腰直 角三角形所构成的图形的面积为_ （第 15 题图） 【答案】 312 12. （2011 广东茂名，14，3 分）如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同 一直线上，且 CGCD，DF DE ，则E 度 【答案】15 三、解答题 1. （2011 广东东莞，21，9 分）如图（1） ，ABC 与EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合， AB=EF=9，BACDEF90 ，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋 转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）. （1）问：始终与AGC 相似的三角形有 及 ； （2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由） ； （3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？ 【解】 （1）HGA 及HAB； （2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy 所以， 81yx （3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH2 AGAC，AGGH 又 AHAG，AHGH 此时，AGH 不可能是等腰三角形； 当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC 此时，GC= ，即 x=92 当 CG 时，由（1）可知AGCHGA 所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH 若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9 综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形92 2. （2011 山东德州 19,8 分）如图 AB=AC，CDAB 于 D，BEAC 于 E，BE 与 CD 相交 于点 O （1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA，BC ，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由 A B C ED O 【答案】 （1）证明：在ACD 与 ABE 中， A=A，ADC=AEB =90，AB =AC， ACD ABE 3 分 AD=AE 4 分 (2) 互相垂直 5 分 在 RtADO 与 AEO 中， OA=OA，AD=AE ， ADO AEO 6 分 DAO=EAO 即 OA 是BAC 的平分线 7 分 又AB=AC， OABC 8 分 3. （2011 山东日照， 23，10 分）如图，已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点， CADCBD 15 ，E 为 AD 延长线上的一点，且 CECA （1）求证：DE 平分 BDC； （2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM， 求证： ME=BD 【答案】 （1）在等腰直角ABC 中， CAD=CBD=15 o， BAD=ABD =45o-15o=30o， BD=AD， BDCADC ， DCA=DCB=45 o 由BDM=ABD+BAD=30 o+30o=60o， EDC=DAC+ DCA=15 o+45o=60o， BDM=EDC， DE 平分BDC； （2）如图，连接 MC， DC=DM，且MDC=60， A B E C D O MDC 是等边三角形，即 CM=CD 又EMC=180-DMC=180-60 =120， ADC=180-MDC=180 -60=120， EMC= ADC 又CE=CA， DAC=CEM=15 ， ADCEMC，ME=AD=DB 4. （2011 湖北鄂州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边 上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长 第 18 题 图 B A E D F C 【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AED BFD，求得 EF=5 5. （2011 浙江衢州，23,10 分） 是一张等腰直角三角形纸板，AB .Rt2CAC， 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1） ，比较甲、 乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （第 23 题）（第 23 题图 1） PNDFEBAC CABQM 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADEBF和 两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的方2S2=S 法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积 和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3S 10S 求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和. 【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图,1CFDEAEDCS正 方 形即 乙，设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得 又 819 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形 解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1 如图乙，设 ,MNxMQPNBMx则 由 题 意 得232,31,xEC解 得又 即 甲种剪法所得的正方形的面积更大 (2) 2S (3) 109 (3)解法 1：探索规律可知： 12nS 剩余三角形的面积和为： 1210 911242S 解法 2：由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为 1=S 第二次剪取后剩余三角形面积和为 22 第三次剪取后剩余三角形面积和为 334 第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S 6. (2011 浙江绍兴，23，12 分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 三三ABC三E三AB三DCB D=C，.AED三. EABCD 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点 为 的中点时，如图 1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论：EABAEB （填“”,“”,“”或“=” ）.理由如下：AEAE 如图 2，过点 作 ，交 于点 ./FBCF 第 25 题图 1 第 25 题图 2 （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 .若ABCEABDBCED 的边长为 1， ，求 的长（请你直接写出结果）. 2 【答案】 （1）= . （2）=. 方法一：如图，等边三角形 中，ABCEABCD 60,ACABAC，/,EF, 是等边三角形，A,EF,BCBEF即 又 60AD，E . ,.BCFDEA 方法二：在等边三角形 中，ABC 60120, ,/,60,18120,ABCABDECEACDFBCAEBACEFABDD，是 正 三 角 形 ， 而由 是正三角形可得AEF.A .B (3)1 或 3. 7. （2011 浙江台州， 23,12 分）如图 1，过ABC 的顶点 A 分别做对边 BC 上的高 AD 和 中线 AE，点 D 是垂足，点 E 是 BC 中点，规定 。特别的，当点 D 重合时，BED 规定 。另外。对 、 作类似的规定。0ABc （1）如图 2，已知在 RtABC 中，A=30，求 、 ；Ac （2）在每个小正方形边长为 1 的 44 方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点 即每个小正方形的顶点）上，且 ，面积也为 2；A （3）判断下列三个命题的真假。 （真命题打，假命题打） 若ABC 中， ，则ABC 为锐角三角形；（ ）1A 若ABC 中， ，则ABC 为直角三角形；（ ） 若ABC 中， ，则ABC 为钝角三角形；（ ）A 【答案】解:（1）如图，作 CDAB，垂足为 D，作中线 CE、AF。 =1BFCA RtABC 中，CAB=30， AE=CE=BE ,CEB=60， CEB 是正三角形， CDAB AE=2DE = ； =1， = ；AEDc21Ac21 （2）如图所示： （3）；。 8. （ 2011 浙江义乌， 23，10 分）如图 1，在等边ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 P 是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不重合)，连结 BP. 将ABP 绕点 P 按顺时针方向 旋转 角（0180） ，得到A 1B1P,连结 AA1，射线 AA1分别交射线 PB、射线 B1B 于点 E、F . （1） 如图 1，当 060时，在 角变化过程中，BE F 与AEP 始终存在 关系（填“相似”或“全等” ） ，并说明理由； （2）如图 2，设ABP= . 当 60180时，在 角变化过程中，是否存在 BEF 与 AEP 全等？若存在，求出 与 之间的数量关系；若不存在，请说明理 由； （3）如图 3，当 =60时，点 E、F 与点 B 重合. 已知 AB=4，设 DP=x，A 1BB1 的 面 积为 S，求 S 关于 x 的函数关系 图 1 图 2 图 3 P B1FM A D O E C C B A1 P B1 FM A D O E C C B A1 P B1 A D O C B A1 【答案】 （1） 相似 由题意得：APA 1=BPB 1= AP= A1P BP=B1P 则 PAA 1 =PBB 1 = 2908 PBB 1 =EBF PAE=EBF 又BEF=AEP BE F AEP （2）存在，理由如下： 易得：BE F AEP 若要使得BEFAEP，只需要满足 BE=AE 即可 BAE =ABE BAC=60 BAE = 302906 ABE = BAE=ABE 即 =2+60 302 （3）连结 BD，交 A1B1于点 G， 过点 A1作 A1HAC 于点 H. P B1 A D O C B A1 H G B 1 A1P=A 1PA=60 A 1B1AC 由题意得：AP= A 1 P A=6 0 PAA 1是等边三角形 A 1H= 在 RtABD 中，BD=)2(3x32 BG= x （0x2）SBA 32341 9. （2011 广东株洲，20，6 分）如图， ABC 中，AB=AC，A=36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连结 EC （1）求ECD 的度数； （2）若 CE=5，求 BC 长 【答案】 （1）解法一：DE 垂直平分 AC，CE=AE，ECD=A=36. 解法二：DE 垂直平分 AC，AD=CD，ADE=CDE=90， 又DE =DE，ADECDE，ECD= A=36. （2）解法一：AB=AC，A=36 ，B= ACB=72， ECD=36， BCE=ACB-ECD=36， BEC=72=B， BC=EC=5. 解法二：AB=AC，A=36， B=ACB=72， BEC=A+ECD=72 ， BEC=B， BC=EC=5. 10(2011 重庆綦江，24，10 分) 如图，等边 ABC 中，AO 是 BAC 的角平分线，D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边 CDE,连结 BE. (1) 求证： ACDBCE； (2) 延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点，连结 CP、 CQ 使 CP CQ5, 若 BC8 时，求 PQ 的长. 【答案】：(1)证明 ABC 和CDE 均为等边三角形， AC BC , CD CE 且 ACB DCE60 ACD DCB DCB BCE60 ACD BCE ACDBCE （2）解：作 CHBQ 交 BQ 于 H, 则 PQ 2HQ 在 RtBHC 中 ，由已知和（1）得 CBH CAO30， CH4 在 RtCHQ 中，HQ 34522CHQ PQ 2HQ6 11. （2011 江苏扬州，23,10 分）已知：如图，锐角 ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB=OC， （1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）判断点 O 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由。 【答案】 （1）证明：OB=OC OBC=OCB BD、CE 是两条高 BDC=CEB=90 又BC=CB BDCCEB（AAS） DBC=ECB AB=AC ABC 是等腰三角形。 （2）点 O 是在BAC 的角平分线上。连结 AO. BDCCEB DC=EB, OB=OC OD=OE 又BDC=CEB=90 AO=AO ADOAEO（HL ） DAO=EAO 点 O 是在BAC 的角平分线上。 12. （2011 广东省， 21，9 分）如图（1） ，ABC 与EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，BAC DEF90，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋转， 当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）. （1）问：始终与AGC 相似的三角形有 及 ； （2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由） ； （3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？ 【解】 （1）HGA 及HAB； （2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy 所以， 81yx （3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12BC AGAC，AGGH 又 AHAG，AHGH 此时，AGH 不可能是等腰三角形； 当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC 此时，GC= ，即 x=92 当 CG 时，由（1）可知AGCHGA 所以