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全国各地 高考 数学试卷 详解 37

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上海市教育考试院 保留版权 数学（文） 2008第 1页（共 10页） 得 分 评 卷 人 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷 (文史类 ) 考生注意： 1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 . 2. 本试卷共有 21道试题，满分 150分考试时间 120分钟 . 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 . 一 . 填空题（本大题满分 44分）本大题共有 11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1 不等式 11 x 的解 集是 . 2 若集合 2 满足 2 ，则实数 a = . 3 若复数 z 满足 )2(i （ i 是虚数单位），则 z = . 4 若函数 )(反函数为 1 ，则 )( . 5 若向量 a 、 b 满足 1a ， 2b ， 且 a 与 b 的夹角为3，则 = . 6 若直线 01 过抛物线 2 的焦点，则 实数 a . 7 若 z 是实 系 数方程 022 一个虚根，且 2z ，则 p . 8 在 平面直角坐标系中 ，从五 个点： )0,0(A 、 )0,2(B 、 )1,1(C 、 )2,0(D 、 )2,2(E 中任取 三 个， 这三点能 构成三角形的概率 是 _（结果用分数表示） . 9若函数 )2)()( )R( 数 是偶函数，且它的值域为 4, ， 则该函数的解析式 )( . 数学（文） 2008第 2页（共 10页） 得 分 评 卷 人 10已知总体的各个体 的值 由小到大依 次为 2， 3， 3， 7， a ， b ， 12， 20， 且总体的 中位数为 若要使 该总体的方差最小，则 的 取 值分别是 . 11在平面直角坐标系中 ，点 、 的坐标分别为 ），（ 10 、 ），（ 24 、 ），（ 62 . 如果 ),( 成的区域（含边界）上的点，那么 当 取到 最大 值时， 点 P 的坐标是 . 二 . 选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4 题，每题都给出 代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分 12. 设 P 是椭圆 1162522 的点 . 若 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，则 21 等于 答 ( ) (A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10. 13. 给定空间中的直线 l 及平面 . 条件 “ 直线 l 与平面 内两条相交直线 都 垂直 ”是“ 直 线 l 与平面 垂直 ” 的 答 ( ) (A) 充分非必要条件 . (B) 必要非充分条件 . (C) 充要条件 . (D) 既非充分又非必要条件 . 14. 若数列 首项为 1，公比为23 项的和为 a ，则 a 的值 是 答 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) 21. (D) 45. 15. 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C 、 D 的定 圆 所 围成 的 区域（含边界）， 、 是该 圆的四等分点 . 若 点 ),( 点 , 满足 且 ， 则称 P 优于 P . 如果 中 的点 Q 满足：不存在 中 的其它点优 于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣 弧 答 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . C A 数学（文） 2008第 3页（共 10页） 得 分 评 卷 人 三 . 解答题（本大题满分 90分） 本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 16.（本题满分 12分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1111 中， 1中点 . 求直线 平面 成角的 大小 （结果用反三角函数值表示） . 解 数学（文） 2008第 4页（共 10页） 得 分 评 卷 人 17.（本题满分 13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 小区的 两个 出入口设置在点 A 及点 C 处 . 小区里有两条笔直的小路 且 拐弯处的转角为 120. 已知 某人 从 C 沿 到D 用了 10分钟，从 D 沿 到 A 用了 6分钟 . 若 此人 步行 的 速度为 每 分钟 50米 ， 求 该 扇形的半径 长（精确到 1米） . 解 数学（文） 2008第 5页（共 10页） 得 分 评 卷 人 18.（本题满分 15分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 5分，第 2 小题满分 10分 已知函数 62c o s)(,2s 直线 )R( t 与 函数 )( )(M、 两点 . （ 1） 当4求 |值； （ 2）求 | 2,0大值 . 解 （ 1） （ 2） 数学（文） 2008第 6页（共 10页） 得 分 评 卷 人 19.（本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 8分 已知函数|212)(. （ 1）若 2)( 求 x 的值； （ 2）若 0)()2(2 于 2,1t 恒成立，求 实数 m 的 取值 范围 . 解 （ 1） （ 2） 数学（文） 2008第 7页（共 10页） 得 分 评 卷 人 20.（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分， 第 2小题满分 6分，第 3小题满分 7分 已知 双曲线 12: 22 （ 1）求双曲线 C 的渐近线方程； （ 2） 已知点 M 的坐标为 )1,0( . 设 P 是双曲线 C 上的点， Q 是点 P 关于原点的对称点 . 记 . 求 的取值范围； （ 3） 已知点 、 的坐标分别为 )1,0()1,2()1,2( 、 ， P 为双曲线 C 上在第一象限内的点 . 记 l 为经过原点与点 P 的直线， s 为 直线 l 所得线段的长 . 试将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数 . 解 （ 1） （ 2） 数学（文） 2008第 8页（共 10页） （ 3） 数学（文） 2008第 9页（共 10页） 得 分 评 卷 人 21.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2 小题满分 6分，第 3小题满分 8分 已知数列 11a ， 22a ， 3 ， 23 nn n 是正整数），与 数列 11b ， 02b ， 13 b ， 04b ， nn 4 （ n 是正整数） . 记 332211 . （ 1）若 6412321 ，求 r 的值； （ 2）求证： 当 n 是正整数时， nT n 412 ； （ 3） 已知 0r ，且 存在正整数 m ，使得在 , 212112 T ， 1212 有 4项为 100. 求 r 的值，并指出哪 4项 为 100. 解 (1) 证明 （ 2） 解 （ 3） 数学（文） 2008第 10页（共 10页） 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海数学试卷 (文史类 )答案要点及评分标准 说明 果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分 坚 持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 解答 一、（第 1题至第 11题） 1. )2,0( . 2. 2 . 3. 1 i . 4. )R(2 5. 7 . 6. 1 . 7. 4 . 8. 54. 9. 42 2 x . 10. 11. 5,25 . 二、（第 12题至第 15题） 题 号 12131415代 号D C B D 三、（第 16题至第 21题） 16 解 过 E 作 ，交 F ，连接 面 ， 是直线 平面 成的角 . 4分 由题意，得 121 1 121 5 8分 ， 55t a n F. 10分 故 直线 平面 成角的 大小是55 12分 数学（文） 2008第 11页（共 10页） 17. 解 法一 设 该扇形的半径 为 r 米 . 由题意，得 500（米）， 300（米）， 60 4分 在 ， 222 60c o ， 6分 即 22221)3 0 0(5 0 02)3 0 0(5 0 0 , 9分 解得 445114900 r（米） . 答：该扇形的半径 长约为 445米 . 13分 解法二 连接 作 ，交 H . 2分 由题意，得 500（米）， 300（米）， 120 4分 在 ， 120c o 213 0 05 0 023 0 05 0 0 22 2700 ， 700米） ， 6分 14112c o D. 9分 在直角 ， 350米），1411 445114900c o s H A ） . 答：该 扇形的半径 长约为 445米 . 13分 18. 解 （ 1） 642c o i n| 2分 2332. 5分 （ 2） | 62co in c o 8分 62t. 11分 数学（文） 2008第 12页（共 10页） 2,0t， 6,662 t， 13分 |最大值为 3 . 15分 19. 解 （ 1）当 0x 时， 0)( 当 0x 时，12)( . 2分 由条件可知 2212 01222 2 解得 212 x . 6分 02 x ， 21 x . 8分 （ 2）当 2,1t 时， 02122 122 22 m， 10分 即 1212 42 012 2 t ， 12 2 13分 5,1721,2,1 2 ， 故 m 的 取值 范围 是 ),5 . 16分 20. 解 （ 1）所求渐近线方程为 022,022 3分 （ 2） 设 P 的坐标为 00, 则 Q 的坐标为 00 , . 4分 1,1, 0000 12020 23 20 x. 7分 20 x, 的取值范围是 1, . 9分 （ 3） 若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点， 则 直线 l 的斜率 22,0k. 11分 由计算可得，当 21,022 112)( ； 当 22,2122 112)( . 15分 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数是 数学（文） 2008第 13页（共 10页） 21,112,210,112)(2222 16分 21. 解 （ 1） 12321 )6(87)4(65)2(4321 . 2分 64448 r ， 4r . 4分 证明 （ 2） 用 数学归纳法证明：当 ， nT n 412 . 当 1n 时， 12T 1197531 4 ，等式成立 . 6分 假设 时等式成立，即 kT k 412 ， 那么当 1， )1(12 kT 1112912712512312112 8分 )88()48()58()48()8()18(4 44 k )1(4 k ，等式也成立 . 根据 和可以断定 ： 当 ， nT n 412 . 10分 解 （ 3） mT m 412 ( 1m ). 当 212,112 ， 4 m ； 当 412,312 ， nT 14 ； 当 612,512 ， nT 54 ； 当 812,712 ， 4 ； 当 1012,912 ， 44 当 1212,1112 ， 44 13分 14 m 是奇数， 14 ， 4 ， 44 m 均为负数， 这些项均不可能 取到 100. 15分 1 0 04454 解得 24m ， 1r ， 此时 298297294293 , 100. 18分 数学（文） 2008第 14页（共 10页） 1不等式 11x 的解集是 【答案】 (0,2) 【解析】由 1 1 1 0 2 . 2若集合 |2A x x ， |B x x a 满足 2，则实数 a= 【答案】 2 【解析】由 2 , 2 2A B A B a 只 有 一 个 公 共 元 素. 3若复数 2 )z i z (，则 z= 【答案】 1i 【解析】由 2 2 ( 1 )( 2 ) 11 ( 1 ) ( 1 )i i iz i z z ii i i . 4若函数 ()2( ) lo gf x x ，则 () 【答案】 2x 【解析】令2l o g ( 0 ) ,y x x则 且 2, ( ) 2 x x R 5若向量 a ， b 满足 12， 且 a 与 b 的夹角为3，则 【答案】 7 【解析】 2| | ( ) ( ) 2a b a b a b a a b b a b 22| | | | 2 | | | | c o s 73a b a b | | 7 6若直线 10ax y 经过抛物线 2 4的焦点，则实数 a 【答案】 解析】 直线 10ax y 经过抛物线 2 4的 焦点 (1,0),F 则 1 0 1 7若 z 是实系数方程 2 20x x p 的一个虚根，且 2z ，则 p 【答案】 4 【解析】设 z a ,则方程的另一个根为 z a ,且 2222z a b ， 由韦达定理直线 2 2 , 1 ,z z a a 2 3 , 3 , 所以 ( 1 3 ) ( 1 3 ) 4 .p z z i i 8在平面直角坐标系中，从五个点： ( 0 0 ) ( 2 0 ) ( 1 1 ) ( 0 2 ) ( 2 2 )A B C D E， ， ， ， ， ， ， ， ，中 数学（文） 2008第 15页（共 10页） 任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分 数表示） 【答案】 45【解析】 由 已知得 A C E B C D、 、 三 点 共 线 , 、 、 三 点 共 线 , 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为 33352 9若函数 ( ) ( ) ( 2 )f x x a b x a （常数 ， ）是偶函数，且它的值域为 4， 则该函数的解析式 () 【答案】 224x 【解析】 22( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2f x x a b x a b x a a b x a 是偶函数，则其图象关于 2 0 2 ,a a b b 22( ) 2 2 ,f x x a 且值域为 4， ， 22 4,a 2( ) 2 4 .f x x 10已知总体的各个体的值由小到大依次为 2， 3， 3， 7， a， b， 12， 20， 且总体的中位数为 要使该总体的方差最小，则 a、 【答案】 1 0 1 0 【解析】 中位数为 1, 根据均值不等式知，只需 时， 总体方差最小 . 11在平面直角坐标系中，点 A B C， ， 的坐标分别为 ( 0 1) ( 4 2 ) ( 2 6 )， ， ， ， ， 如果 ()P x y， 是 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点 P 的坐标 是 【答案】 5,52【解析】 作图 知 取到最大值时，点 P 在线段 : 2 1 0 , 2 , 4 ,B C y x x ( 2 1 0 ) ,x y x x 故当 5 ,52时 , 取到最大值 . 二、选择题（本大 题满分 16分）本大题共有 4题，每题都给出代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分 数学（文） 2008第 16页（共 10页） 12设 p 是椭圆 22125 16上的点若12椭圆的两个焦点， 则12F等于（ ） A 4 B 5 C 8 D 10 【答案】 D 【解析】 由 椭圆的第一定义知12 2 1 0 P F a 13给定空间中的直线 条件“直线 内两条相交直线都垂直” 是“直线 垂直”的（ ） 充分非必要条 件 必要非充分条件 C充要条件 既非充分又非必要条件 【答案】 C 【解析】 “直线 内两条相交直线都垂直” “直线 垂直” . 14若 数列 ，公比为 32a的无穷等比数列，且 a， 则 a 的值是（ ） 1 2 12 54【答案】 B 【解析】由111231 21 22153| | 1| | 1 222 或. 15如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 边界）， A、 B、 C、 点 ()P x y， 、点 ()P x y ， 满足 且 ，则称 如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 D ） B C D 【答案】 D 【解析】由题意知，若 ,则 的 左上方 , 当 A 上时 , 左上 的 点不在圆上 , 不存在其它 优于 A . A B C D O x y 数学（文） 2008第 17页（共 10页） 三、解答题（本大题满分 90分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 16 (本题满分 12分 ) 如图，在棱长为 2的正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， 直线 果用反三角函数值表示） 16. 【解 】过 F ，连接 面 4分 由题意，得 1 C 1 1 , 5 C B D F . 5t a n F .故直线 17（本题满分 13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 区的两个出入口设置在点 处，小区里 有两条笔直的小路 C， ，且拐弯处的转角为 120 已知某人从 C 沿 到 D 用了10分钟，从 D 沿 到 A 用了 6分钟若此人步行的速度为每分钟 50米，求该扇形的半径 确到 1米） 17. 【解法一】设该扇形的半径为 由题意，得 00（米）， 00（米）， 060 4分 在 中， 2 2 0 22 c o s 6 0 ,C D O D C D O D O C 6分 即 222 15 0 0 3 0 0 2 5 0 0 3 0 0 ,2r r r 解得 4900 44511r （米） . 【解法二】连接 .D 1 C 1A 1 B 1A C 1A 1 B 1A ） 2008第 18页（共 10页） 由题意，得 00（米）， 00（米）， 0120C D A 2 2 2 02 2 2, 2 c o s 1 2 015 0 0 3 0 0 2 5 0 0 3 0 0 7 0 0 ,2A C D A C C D A D C D A D 在 中 00（米） .2 2 2 11c o s 4A C A D C D A C A D . 在直角 11, 3 5 0 , c o s 0 ,14H A O A H H A 中 （ 米 ） 4900 445c o s 1 1 A O （米） . 13分 18（本题满分 15分）本题共有 2个小题，第 1个题满分 5分，第 2小题满分 10分 已知函数 f(x)=g(x)=26x，直线 ()x t tR 与函数 ( ) ( )f x g x， 的图象分别交于 M、 （ 1）当 4t时，求 值； （ 2）求 02t ，时的最大值 18、【解】（ 1） s i n 2 c o s 24 4 6 231 c o s 5分 （ 2） s i n 2 c o s 26M N t t 33s i n 2 c o s 222 .3 s i n 26t 0 , , 2 , ,2 6 6 6 13分 最大值为 3 . 15分 19（本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 8分 数学（文） 2008第 19页（共 10页） 已知函数|1( ) 2 2 （ 1）若 ( ) 2，求 x 的值； （ 2）若 2 ( 2 ) ( ) 0t f t m f t 对于 12t ， 恒成立，求实数 19、【解】（ 1） 10 0 ; 0 , 22x xx f x x f x 当 时 ， 当 时. 由条件可知， 212 2 , 2 2 2 1 0 ,2x x 即解得 2 1 6分 22 0 , l o g 1 2x x .（ 2）当2 211 1 , 2 , 2 2 2 0 ,22t t 时 10分 即 242 1 2 1 222 1 0 , 2 1 13分 2 1 , 2 , 1 2 1 7 , 5 , 故 5, ) 20（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 6分， 第 3小题满分 7分 已知双曲线 2 2 12： （ 1）求双曲线 C 的渐近线方程； （ 2）已知点 M 的坐标为 (01)， 设 P 是双曲线 C 上的点， Q 是点 P 关于原点的对称点 记 M P M Q 求 的取值范围； （ 3）已知点 D E M， ， 的坐标分别为 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0 1 ) ， ， ， ， ， P 为双曲线 C 上在第一象限内的点记 l 为经过原点与点 P 的直线， s 为 截直线 l 所得线段的长试将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数 20、【解】（ 1）所求渐近线方程为 220 , 0y x y x .（ 2）设 00, 00,， 0 0 0, 1 , 1 M Q x y x y 2 2 20 0 031 2 y x 7分 0 2x 的取值范围是 ( , 1. 9分 （ 3）若 上第一象限内的点， 数学（文） 2008第 20页（共 10页） 则直线 l 的斜率 20, 11分 由计算可得，当 2212( 0 , , 1 ;21k s k 时当 221 2 2 1, , 1 s k 时 15分 l 的斜率 2222211 , ( 0 , ,122 1 1 21 , , 21（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分分，第 2小题满分分， 第 3小题满分 8分 已知数列 1a，2 2a ，33 2（ n 是正整数），与数列 1 1b ， 2 0b ， 3 1b ， 4 0b ， 4 （ n 是正整数） 记1 1 2 2 3 3n n nT b a b a b a b a （ 1）若1 2 3 1 2 64a a a a ，求 r 的值； （ 2）求证：当 n 是正整数时，12 4； （ 3）已知 0r ，且存在正整数 m ，使得在12 1，12 2， ，12 12中有 4项为 100 求 r 的值，并指出哪 4项为 100 21、【解】（ 1） 1 2 3 1 2.a a a a 1 2 3 4 2 5 6 4 7 8 6r r r r 48 4 . 4 8 4 6 4 , 4 .【证明】（ 2）用数学归纳法证明：当12, 4 T n 时 当 n=1时， 1 2 1 3 5 7 9 1 1 4,T a a a a a a 等式成立 假设 n= 12 4, 那么当 1时， 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 5 1 2 7 1 2 9 1 2 1 11 2 1 k k k k k k a a a a a a 8分 4 8 1 8 8 4 8 5 8 4 8 8k k k r k k k r k 数学（文） 2008第 21页（共 10页） 4 4 4 1 , 等式也成立 . 根据和可以断定：当12, 4 T n 时 .【解】（ 3） 12 4 1 1 , 1 2 2 4 1 ;1 2 3 , 1 2 4 4 1 ;1 2 5 , 1 2 6 4 5 ;1 2 7 , 1 2 8 4 ;1 2 9 , 1 2 1 0 4 4 ;m mn m m T mn m m T m m m T m rn m m T m rn m m T m 当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，1 2 1 1 , 1 2 1 2 , 4 4 m m T m 当 时 . 4m+1是奇数， 4 1 , 4 , 4 4m r m r m 均为负数， 这些项均不可能取到 100. .此时， 2 9 3 2 9 4 2 9 7 2 9 8, , ,T T T 00. 18分 上海市教育考试院 保留版权 数学（理） 2008第 1页（共 10页） 得 分 评 卷 人 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷 (理工农医类 ) 考生注意： 1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 . 2. 本试卷共有 21道试题，满分 150分考试时间 120分钟 . 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 . 一 . 填空题（本大题满分 44分）本大题共有 11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1不等式 11 x 的解集是 . 2若集合 2 满足 2 ，则实数 a =_. 3若复数 z 满足 )2(i （ i 是虚数单位），则 z =_. 4若函数 )(反函数为 21 )( （ 0x ），则 )4(f . 5若向量 a 、 b 满足 1a ， 2b ，且 a 与 b 的夹角为3，则 =_. 6函数 s 的最大值是 . 7在平面直角坐标系中，从六个点： )0,0(A 、 )0,2(B 、 )1,1(C 、 )2,0(D 、 )2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示 ). 8设函数 )(定义在 R 上的奇函数 . 若当 ),0( x 时， ，则满足 0)( x 的取值范围是 . 9已知总体的各个体的值由小到大依次为 2， 3， 3， 7， a ， b ， 12， 20，且 总体的中位数为 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是 . 数学（理） 2008第 2页（共 10页） 得 分 评 卷 人 10某海域内有一孤岛 . 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为 短轴长为 椭圆 . 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上 . 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的 仰角分别为 21 、 ，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11方程 122 的解可视为函数 2 图像与函数的图像交点的 横坐标 . 若方程 044 各个实根 )4(, 21 k 所对 应的点 (ii , )（ i = k,2,1 ）均在直线 的同侧，则实数 a 的取值范围是 . 二 . 选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4 题，每题都给出 代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4分，不选、选 错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分 12. 组合数 Z,1( 恒等于 答 ( ) (A) 1111 (B) 11)1)(1( (C) 11 (D) 1113. 给定空间中的直线 l 及平面 . 条件 “ 直线 l 与平面 内无数条直线都垂直 ” 是 “ 直 线 l 与平面 垂直 ” 的 答 ( ) (A) 充要条件 . (B) 充分非必要条件 . (C) 必要非充分条件 . (D) 既非充分又非必要条件 . 14. 若数列 首项为 1，公比为23 项的和为 a ，则 a 的值是 答 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) 21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C 、 D 的定圆所围成的区域（含边界）， 、 是该 圆的四等分点 . 若点 ),( 点 , 满足 且 ， 则称 P 优于 P . 如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优 于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣 弧 答 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . C A 数学（理） 2008第 3页（共 10页） 得 分 评 卷 人 三 . 解答题（本大题满分 90分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 16.（本题满分 12分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1111 中， 1中点 . 求直线 平面 成角的大小（结果用反三角函数值表示） . 解 数学（理） 2008第 4页（共 10页） 得 分 评 卷 人 17.（本题满分 13分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 小路 已知某人从 C 沿 到 D 用了10分钟，从 D 沿 到 A 用了 6分钟 . 若此人步行的速度为每分钟 50米，求该扇形的半径 长（精确到 1米） . 解 数学（理） 2008第 5页（共 10页） 得 分 评 卷 人 18.（本题满分 15分）本题共有 2个小题，第 1小题满 分 6分，第 2小题满分 9分 已知双曲线 14: 22 P 是 C 上的任意点 . （ 1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （ 2）设点 A 的坐标为 )0,3( ，求 |最小值 . 证明 （ 1） 解 （ 2） 数学（理） 2008第 6页（共 10页） 得 分 评 卷 人 19.（本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2 小题满分 8分 已知函数|212)(. （ 1）若 2)( 求 x 的值； （ 2）若 0)()2(2 于 2,1t 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 解 （ 1） （ 2） 数学（理） 2008第 7页（共 10页） 得 分 评 卷 人 20.（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2 小题满分 5分，第 3小题满分 8分 设 )0(),( 平面直角坐标系 的点， l 是经过 原点与点 ),1( b 的直线 是直线 l 与抛物线 2 )0( p 的异于原点的交点 . （ 1）已知 2,2,1 求点 Q 的坐标； （ 2）已知点 )0(),( 椭圆 14 22 ，1. 求证：点 Q 落在双曲线 144 22 ； （ 3）已知动点 ),( 足 01. 若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上，试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 . 解 （ 1） 证明 （ 2） 数学（理） 2008第 8页（共 10页） 解 （ 3） 数学（理） 2008第 9页（共 10页） 得 分 评 卷 人 21.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 7分，第 3小题满分 8分 已知以 1a 为首项的数列 足： 3,1 （ 1）当 11a ， 3,1 ，求数列 通项公式； （ 2） 当 10 1 a ， 3,1 ，试用 1a 表示数列 100项的和 100S ； （ 3）当0 1 （ m 是正整数），正整数 时，求证：数列2 , ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 成等比数列当且仅当 . 解 （ 1） （ 2） 证明 （ 3） 数学（理） 2008第 10页（共 10页） 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海数学试卷 (理工农医类 )答案要点及评分标准 说明 果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分 坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部 分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 解答 一、（第 1题至第 11题） 1. )2,0( . 2. 2 . 3. 1 i . 4. 2 . 5. 7 . 6. 2. 7. 43. 8. ),1()0,1( . 9. 10. co t 2211 . 11. ),6()6,( . 二、（第 12题至第 15题） 题 号 12131415代 号D C B D 三、（第 16题至第 21题） 16 解 过 E 作 ，交 F ，连接 面 ， 是直线 平面 成的角 . 4分 由题意，得 121 1 121 5 8分 ， 55 . 10分 故 直线 平面 成角的 大小是55 12分 17. 解 法一 设 该扇形的半径 为 r 米 . 连接 2分 由题意，得 500（米）， 300（米）， 60 4分 数学（理） 2008第 11页（共 10页） 在 ， 222 60c o ， 6分 即 22221)3 0 0(5 0 02)3 0 0(5 0 0 ， 9分 解得 445114900 r（米） . 答：该扇形的半 径 长约为 445米 . 13分 解法二 连接 作 ，交 H . 2分 由题意，得 500（米）， 300（米）， 120 4分 在 ， 120c o 213 0 05 0 023 0 05 0 0 22 2700 ， 700米） ， 6分 14112c o D. 9分 在直角 ， 350米），1411 445114900c o s H A ） . 答：该扇形的半径 长约为 445米 . 13分 18. 解 （ 1） 设 11, 双曲线上任意一点， 该双曲线的 两条 渐近线方程 分别是 02 02 2分 点 11, 两条 渐近线的距离分别是52 11 和52 11 ， 4分 它们的 乘积是54545252 21211111 点 P 到双曲线 C 的 两条渐近线的距离 的 乘积是一个常数 . 6分 （ 2）设 P 的坐标为 ),( 则 222 )3(| 8分 数学（理） 2008第 12页（共 10页） 14)3(22 54512452 x . 11分 2| x ， 13分 当5122|最小值为54， 即 |最小值为552. 15分 19. 解 （ 1）当 0x 时， 0)( 当 0x 时，12)( . 2分 由条件可知 2212 01222 2 解得 212 x . 6分 02 x ， 21 x . 8分 （ 2）当 2,1t 时， 02122 122 22 m， 10分 即 1212 42 012 2 t ， 12 2 13分 5,1721,2,1 2 ， 故 m 的 取值 范围 是 ),5 . 16分 20. 解 （ 1） 当 2,2,1 ， 解 方程 组,2,42得 ,16,8 即点 Q 的坐标为 16,8 . 3分 证明 （ 2） 由 方程 组,12得 ,1即点 Q 的坐标为 . 5分 数学（理） 2008第 13页（共 10页） P 是椭圆上的点， 即 14 22 114414 2222 因此 点 Q 落在双曲线 144 22 . 8分 （ 3）设 Q 所在抛物线 的 方程为 )(22 ， 0q . 10分 将 Q 代入方程，得 222 ， 即 22 22 . 12分 当 0， 2 ，此时 点 P 的 轨迹 落在 抛物线 上； 当21224121 ，此时 点 P 的 轨迹 落在 圆 上； 当 021124121222 时 点 P 的 轨迹 落在 椭圆 上； 当 0， 124121222 时 点 P 的 轨迹 落在双 曲线 上 . 16分 21. 解 （ 1）由题意得 n,3,3,13,2,23,1 . 3分 （ 2）当 10 1 a 时， 112 213 314 1315 2316 3317 ， 13 1113 kk 23 113 kk 33 1113 kk 6分 数学（理） 2008第 14页（共 10页） 6363663 311111110099987654321100 3363 13113 3111 83 11121 131 a. 10分 （ 3）当 时，12 ； 131113 333113 mm m 13 123 ； 16116 333313 mm m 19 2126 ； 1921219 393319 mm m 127 3129 . 12 1 ，m 31 123 ，2126 91 m ，3129 271 m . 综上所述， 当 时， 数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 是公比为比数列 . 13分 当 13 ， m 1,03123 ， m 13,333126 ， m 1,03316， 3,131333129 m . 15分 由于 0123 ma m， 0126 ma m， 0129 ma m， 故 数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 不 是 等比数列 . 所以，数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 成 等比 数列 当且仅当 . 18分 数学（理） 2008第 15页（共 10页） 1| 1x 的解集是 . 【答案】 (0,2) 【解析】由 1 1 1 0 2 . x|x 2、 B x|x a满足 A B 2，则实数 a . 【答案】 2 【解析】由 2 , 2 2A B A B a 只 有 一 个 公 共 元 素. z i(2 则 z . 【答案】 1i 【解析】由 2( 2 ) 11 iz i z z . f(x)的反函数为 f 1(x) x 0），则 f(4) . 【答案】 2 【解析】令 12( 4 ) ( ) 4 4 ( 0 ) 2f t f t t t t . a 、 b 满足 |a | 1， |b | 2，且 a 与 b 的夹角为 3 ，则 |a +b | . 【答案】 7 【解析】 2 2 2| | ( ) ( ) 2 | | | | 2 | | | | c o s 7 | | 73a b a b a b a a b b a b a b a b a b