内容简介：: 换的复合与矩阵的乘法【知识网络】 1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 2、变换的复合二阶方阵的乘法。 3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。【典型例题】例 1：（ 1） 42 31 40 11结果是 ( ) A、 182 132B、 218 213C、 132 182D、 213 218答案： A。解析：根据矩阵乘法的法则。（ 2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是 ( ) A、不满足交换律 ,但满足消去律 B、不满足交换律和消去律 C、满足交换律不满足消去律 D、满足交换律和消去律答案： B。解析：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。（ 3） 11 1010 1120 0111 01( ) A、 43 21B、 42 31C、 41 32D、 12 43答案： A。解析： 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 21 1 0 2 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 3 1 1 3 4 。（ 4）若011x 3=0111，则答案：析： 011x 3=011x 011x 011x=0112x 011x=0113x=0111， 3x=1 x = 31，考察 y=(31)x 的图象和性质得：（ 5）设 A=22 22，则。答案： 0 10。解析： A= ， 66c o s - s i n 0 1446 6 - 1 0s i n c o 例 2：已知矩阵32521M ，向量 161 求 3M 。答案： M= 1 25 32， 6 45 14， 2M= 4 2430 52， 2 4 1 3 8 83 0 5 2 1 6 8 6 2 例 3：设 A= 55s i n c o 1 255c o s s i 1 2， E= 1 00 1， *，求使的最小正整数 n 的值。答案： c o s ( ) - s i n ( ) c o s ( ) - s i n ( ) 1 01 2 1 2 1 2 1 20 1s i n ( ) c o s ( ) s i n ( ) c o s ( )1 2 1 2 1 2 1 2n 2 , , 2 4 ,12n k k z n k k z ,又因为 *，所以当 1k 时，4n 。例 4：求出曲线 221依次经过矩阵 A= 2 00 1， B= 0 0作用下变换得到的曲线方程。答案：由已知 2 00 10 0= 0 0任取曲线 221上一点00( , )P x y，它在矩阵应的变换作用下变为 ( , )P x y ，则有000 0x 故002， P 在曲线 221上， 22001，因此 22 14，从而曲线 221在矩阵用下变成椭圆 22 14x y。【课内练习】 1 若 c o s s i n c o s - s i n b- s i n c o s s i n c o s - b ，则 a 的值为（） A、 ) B、 ) C、 ) D、 ) 答案： D。解析：由矩阵的乘法法则知 c o s c o s s i n s i n c o s ( )a 。 2 已知 A= ， B= 1 00 ， P= ，则矩阵示的几何意义是（） A、点 ( , ) x 轴反射后，再绕原点逆时针旋转角所得的坐标 B、点 ( , ) y 轴反射后，再绕原点逆时针旋转角所得的坐标 C、点 ( , )原点逆时针旋转角后，再对 x 轴反射所得的坐标 D、点 ( , )原点逆时针旋转角后，再对 y 轴反射所得的坐标答案： A。解析：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除 C、 D 选项，矩阵 B 把点 P 变换为关于 x 轴对称的点。 3 设 *31 022 ,0 11322 ，则 n 的最小值为（） A、 3 B、 6 C、 9 D、 12 答案： D。解析：31 c o s - s i n c o s - s i n 06 6 6 6220 113 s i n c o s s i n c o 6 622 2,6n k k z ，即 12 ,n k k z，又 *， n 的最小值为 12。 4 将点 (2,4)先经矩阵 1 00 2变换后，再绕原点逆时针旋转 90角所得的点坐标为答案： ( 8,2) 。解析：由题意知 c o s 9 0 - s i n 9 0 1 0 2 0 - 1 1 0 2 0 - 2 2 80 2 4 1 0 0 2 4 1 0 4 2s i n 9 0 c o s 9 0 。 5 设 A= 1 23 4， B= 4 2k 7，若 A，则 k= 。答案： 3。解析： 4 2 1612+4k 34k， 10 16k+21 2k+28，由 A 知 k=3。 6 将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于 y 轴对称的变换，再将它做关于直线 y=x 对称的变换，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为。答案： 10 22 0。解析：由题意知，所求的二阶变换矩阵为： A= 2 0 2 0 10 1 1 0 0 1 0 2111 0 0 1 - 1 00 0 - 2 022 。 7 若矩阵 A= 3 13把直线 : 2 7 0l x y 变换成另一直线 : 9 9 1 0l x y ，则a= ,b= 。答案： 0; 1。解析：取 l 上两点 (0,7)和（），则 3 a 0 7b 1 3 7 9 1a ， 3 a 3 . 5 1 0 . 5b 1 3 0 3 . 5 b ，由已知 ( 7 , 9 1), (1 0 3 l 上，代入得 a=0,b= 1。 8 求证 1 0 1 0 1 0 1 00 0 0 3 0 0 0 - 1 ，并从几何变换的角度给予解释。证明：左边 = 1 00 0，右边 = 1 00 0，故等式成立。从几何变换的角度看， 1 0 1 00 0 0 3 表示的是先作3x x xy y y 的伸压变换，再作0x x 的投影变换；而 1 00 01 00 表示的是先作 x x xy y y 的反射变换，再作0x x 的投影变换，上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。 9 设 A= 5 4， B= 1 23 4，计算答案： 5 41 2 2 63 4 1 4 2 0 ， 1 23 45 72 4 2 3 1 3 。 10 已知曲线 1，将它绕坐标原点逆时针旋转 45角后，再在矩阵 1 00 2作用下变换得到什么曲线？曲线方程是什么？答案：由已知，复合变换矩阵为 M= 221 0 c o s 4 5 - s i n 4 5 2 s i n 4 5 c o s 4 52 2 任取曲线 1上一点00( , )P x y，它在 , )P x y ，则有 0022 2x ，故 00002222x y xx y y ，即 002 2 242 2 24 ，上，001因此 222 8 16，即 22182，从而曲线 1在用下变为双曲线，曲线方程为 22182。【作业本】 A 组 1 点通过矩阵210 011M 和 310 012M 的变换效果相当于另一变换是 ( ) A. 210031 B. 210061 C. 610021 D. 610 01答案： D。 2 A= oc o s 4 0 -s 0s 0 c o s 4 0， B= oc o s 2 0 -s 0s 0 c o s 2 0，则（） A、13 22B、13 2231 22C、13 22D、13 答案： C。解析： oc o s 6 0 - s i n 6 0s i n 6 0 c o s 6 013 22。 3 设矩阵 A= 1 32 ， B= 2 31 ，，则矩阵 C= （） A、 16 9 2B、 16 2C、 16 93 2D、 16 93 2答案： D。解析： b 1 3 2 3 a - 5 b 2 3c d 2 - 5 - c + 2 d 3 c - 5 d 1 - 1a a b ，223 5 3213 5 1 ， 1 6 , 9 , 3 , 2a b c d 。 4 已知 A= ，则（ *）。 1222 1O 1 22133 4 co s co 。 5 将向量 24依序作如下变换：横、纵坐标分别缩短到原来的 12；绕原点顺时针旋转 45；沿 x 轴方向移到 y 的 4 倍，所到向量为答案：7 2222。解析：由题意知352 2 1 12 2 0 01 4 2 2222 2 2 20 1 1 4 1 42222 0 0 - 222222 =3 5 72 2 224 4 242 2 2 4 4 2 。 6 根据下列条件求 X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论 X =2111- 2110 X =2110 2111 X =2111- 2110= 2112 2(1 1102 1(1=41-11- X =2110 2111-= 2112 2011 11)1(2 101)(1=41141-11-411阵乘法不满足交换律。 7 两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解，从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？（ 1）（ 2）答案：（ 1）可以看作是矩形作一次伸压变换，对应的矩阵 1 00 2，再作绕原点逆时针旋转 90 角的旋转变换，对应的矩阵为 0 0。（ 2）可以看做是应的矩阵 2 00 1，再作一次伸压变换，对应的矩阵为 1 00 3。 8 设矩阵 F= 0 2 2 00 0 1 1表示四边形 M= 1 3 3 0 0 - 10 1 0 2 1 0 ，四边形过用后得到的新四边形对应的矩阵 F =新四边形的面积。答案：由 0 ，再横、纵坐标分别伸长到原来的 3倍和 2倍，再进行切变变换。在这一过程中把四边形倍，所以新四边形的面积为 2 6 12 . B 组 1 设 A、 B、 C 都是二阶矩阵，下列叙述恒成立的是（） A、若，则 B、若 C，则 A=B C、若，则 A=0 或 B=0 D、若（ C=E，则 A（ =E 答案： D。解析：根据矩阵求法的运算律知。 2 若矩阵 A 将一点 P 先对直线作反射变换，再向 y 轴作投影变换，则矩阵 A 为（） A、 1 00 0B、 0 10 0C、 0 01 0D、 0 00 1答案： C。解析： A= 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 0 。 3 设圆 22: 2 3 2 2 0C x y x y 先绕原点逆时针旋转 30后，再对直线反射则所得的图形的方程为（） A、 22( 2 ) 6 B、 22( 2 ) 6 C、 226 D、 22( 2 ) ( 2 ) 6 答案： A。解析：由已知，变换对应的矩阵为 M= 3 1 1 3 - 0 1 2 2 2 21 0 1 3 3 1 2 2 M 0321 ，即圆心 C 经变换后得到的 C 点坐标为 (0,2)。 4 已知 A(0,0),B(2,0),C(1,2)对它先作 M= 2 00 1对应的变换，再作 N= 1 00 3对应的变换，则变换作用后所得图形的面积为 _. 答案： 12。解析：变换后成了，其中 ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , ( 2 , 6 ) ，故12 。 5 已知 A= 5 17 3， B= 3 5，若 A，则 t= 。答案： 7。解析： 15 021+3t 8t， 8 05 t+ 3 5 t+ 1 5， 7t 。 6 根据下列条件求 X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论 X =（2111- 2110）2110 X =2111-（2110 2110）答案： X =（2111- 2110）2110=41-11- 2110=63-11- X =2111-（2110 2110） =2111- 4110=63-11-63-11-=63-11阵乘法满足结合律。 7 将直线 : 3 4 0l x y 以直线 0为反射轴作反射变换得直线1l，再将直线1时针旋转 30得直线2l，试求2 答案：由已知，这个复合变换对应的矩阵为 A=13 -c o s 3 0 - s i n 3 0 0 - 1 22- 1 0s i n 3 0 c o s 3 0 31- 设2 , )与在 l 上对应的点为00( , ) 0013 ，所以000013223122x y xx y y ，从而003232 00( , )l 上， 333 4 022x y x y ，即2 4 0y 。 8 已知 0 10 2可以用来表示向量其中 O (0， 0),P(1,2)，那么，矩阵 200 10 10 2= 0 20 2既可以表示这两个矩阵对应的变换的复合矩阵，也可以看作将点 (0,0

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