2011《走向高考》高三数学 7-1至7-5教师讲义手册课件（全国版）（打包5套） 文 新人教A版
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2011《走向高考》高三数学 7-1至7-5教师讲义手册课件（全国版）（打包5套） 文 新人教A版,走向,高考,高三,数学,教师,讲义,手册,课件,全国,打包,新人
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命题预测： 1 “ 直线与圆 ” 是每年高考的必考内容 ， 分析近年高考题不难发现多以选择 、 填空题的形式为主 ， 主要考查直线的倾斜角 、 斜率等基本概念 ， 求不同条件下的直线方程以及直线方程的应用 、 直线与圆的位置关系等 这些也是今后考查的重点内容 2 对于在试题中没有出现的知识点 ， 如直线与直线之间的距离 ， 在最值条件下求直线的方程等 ， 今后可能会出现在试卷中 ， 但不是单纯的直线试题 ， 而是直线与其它知识相结合的试题 如直线与圆锥曲线的综合题 3 “ 线性规划 ” 是新教材增加的内容 ， 高考主要考查有关线性规划的基础知识 、 基本技能 考查重点是二元一次不等式表示平面区域 ， 难点是把实际问题转化成线性规划问题 ， 并给出解答 由于线性规划在实际中有广泛的应用 ， 依据新课标强化应用意识的精神 ， 在今后的高考中 ， 线性规划将是高考的热点且主要以选择题和填空题的形式出现 ， 难度适中 4 近几年对圆的考查主要以选择题 、 填空题的形式出现 ， 一类是以圆为载体 ， 研究与圆有关的动点轨迹方程；另一类是以其它曲线 (如三角形 、 四边形 )为载体 ， 给定条件求圆的方程 预测今后仍以上述形式出现 ， 但新教材将圆从圆锥曲线中分离出来 ， 并与直线集中在一起作为一章 ， 重点研究圆的方程 今后可能出现圆的方程应用方面的试题 备考指南： 1 把握重点内容 应用本章知识主要解决四类问题： (1)求直线和圆的方程； (2)运用坐标公式求距离 、 角度 、 面积及圆的切线 、 弦长等问题； (3)直线与圆 (圆锥曲线 )的综合题； (4)线性规划问题 2 重视数学思想方法的应用 在解决上述问题过程中 ， 数形结合 、 函数与方程 、 等价转化 、 分类讨论等数学思想 ， 坐标法 、 向量法 、 参数法 、 消元法 、 配方法 、 待定系数法 、 换元法等数学方法都会得以充分体现 ， 因此复习时要重视数学思想方法的渗透和应用 3 重视基础知识 由于本章内容高考主要考查一些基本问题 ， 所以在复习中应重基础 、 重方法 ， 不应搞难度过大的题目 但要求对基本概念 、 基本公式的理解要深刻 ， 因为高考对斜率公式 、 距离公式以及对称的考查较为灵活 . 基础知识 一 、 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点 ， 反过来 ， 这条直线上点的坐标都是这个方程的解 ， 这时 ， 这个方程叫做这条 ， 这条直线叫做这个 直线的方程 方程的直线 二 、 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中 ， 对于一条与 如果把 方向旋转到和直线 时所转的 记为 ， 那么 就叫做直线的 ， 当直线和 规定直线的倾斜角为 0 ， 因此直线的倾斜角范围是 任意一条直线都有 倾斜角 逆时针 重合 最小正角 倾斜角 0 ， 180 ) 唯一的 三 、 直线的斜率：倾斜角不是 90 的直线 ， 它的 叫 这 条 直 线 的 斜 率 ， 用 k 表示 ， 即 k 90 ) 倾斜角与斜率之间的互化：若已知直线的倾斜角 ，求斜率 k， 则 k 若已知直线的斜率 k，求直线的倾斜角 ， 则 倾斜 角的正切 四 、 已知两点 A( B( 且 x1 则过此两点直线的斜率 k ；当 直线斜率不存在 直线 或 或 其中 为直线的倾斜角 任意一条直线的倾斜角都 存在 ， 但直线的斜率 存在 ， 当倾斜角为 90 时 ， 直线的斜率 存在 (1， k) (唯一未必 不 五 、 直线方程的五种形式 (填表 )： 名称 方程形式 已知条件 适用范围 点斜式 过一点 且斜率为 . 不垂直 轴 斜截式 已知在 及斜率 . 不垂直 轴 y k(x (k x y b b k x 名称 方程形式 已知条件 适用范围 两点式 已知两点 ， 不垂直 截距式 已知 x， . 不垂直 不过 . 一般式 过坐标平面上的两点 任意 C 0() (x1 y1a、 b() 坐标轴 坐标轴 原点 除一般式 ， 其它四种形式均有条件限制 ， 使用时务必注意 一 、 忽视倾斜角的范围易出错 1 直线 y 1 0 的倾斜角的范围是_ 二 、 忽视直线斜率不存在产生的混淆 2 已知经过点 (1,2)并且与点 (2,3)和 (0， 5)的距离相等的直线方程为 _ 答案： x 1或 y 4x 2 0 三 、 “ 截距 ” 与 “ 距离 ” 是两个不同的概念 ， 它们可能是正实数 ， 也可能是负实数或零 ， 而距离则是大于或等于零的实数 3 过点 P(3,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 答案： 2x 3y 0或 x y 5 0 回归教材 1 (教材 若直线方程为 x ， 倾斜角为， 则 的大小为 ( ) A 0 B 45 C 90 D 135 解析： 直线 x 垂直于 故选 C. 答案： C 2 过点 A( 2， m)和 B(m,4)的直线的斜率为 1， 那么 ( ) A 1 B 4 C 1或 3 D 1或 4 解析： 由题意知 m 2， m 1， 故选 A. 答案： A 3 下列四个命题中真命题的是 ( ) A 经过定点 P0(直线都可以用方程 y y0k(x 示 B 经过任意两个不同点 P1( P2(直线可以用方程： (y (x 0表示 C 不过原点的直线都可以用 1表示 D 经过定点 A(0， b)的直线都可以用方程 y 答案： B 4 如图 ， 方程 y 表示的直线可能是 ( ) 解析： 直线的斜率为 a， 与 0， )， 同号 ， 易知应选 B. 答案： B 5 (教材 若直线 2,3)和 (6， 5)两点 ， 则直线 _， 倾斜角为 _ 1 135 . 答案： 1 135 【 例 1】 已知两点 A( 1,2)， B(m,3)， 求： (1)直线 ； (2)求直线 (3)已知实数 m ， 求直线 的范围 分析 已知两点坐标 ， 可直接根据斜率和倾斜角的定义来求解 由于过 A， m1， 故应进行讨论 解答 (1)m 1时 ， 直线 倾斜角 (2)当 m 1时 ， x 1， 当 m 1时 ， y 2 拓展提升 求斜率一般有两种方法：其一 ， 已知直线上两点 ， 根据斜率公式 k 求斜率；其二 ，已知倾斜角 或 的三角函数值 ， 根据 k 此类问题常与三角函数知识联系在一起 ， 要注意准确 、 灵活地运用三角公式及正切函数图象 (2009福建福州 5月 )设直线 2x 1的倾斜角为 ，若 m ( ， 2 2， )， 则角 的取值范围是_ 求直线 y 2 0的倾斜角的取值范围 反思归纳： 直线倾斜角 的取值范围为 0 180 ， 而这个区间不是正切函数的单调区间 ， 因此在由斜率的范围求倾斜角的范围时 ， 一般要分成 ( ， 0)与0， )两种情况讨论 直线垂直 【 例 2】 ( 3,0)， B(2,1)，C( 2,3)， 求： (1) (2) (3) 解析 (1)因为直线 (2,1)和 C( 2,3)两点 ，由两点式得 即 x 2y 4 0. (2)设 的坐标为 (x， y)， 则 ( 3,0)， D(0,2)两点 ， 由截距式得 1， 即 2x 3y 6 0. (3) ， 则 2， 由斜截式得直线 y 2x 2. 总结评述 直线方程有多种形式 ， 一般情况下 ， 利用任何一种形式都可求出直线方程 (不满足条件的除外 ) 但是如果选择恰当 ， 解答会更加迅速 本题中的三个小题 ， 依条件分别选择了三种不同形式的直线方程 ， 应该掌握 根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点 ( 4,0)， 倾斜角的正弦值为 (2)直线过点 ( 3,4)， 且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点 (5,10)， 且到原点的距离为 5. 解析： (1)由题设知 ， 该直线的斜率存在 ， 故可采用点斜式 设倾斜角为 ， 则 (0)， 故所求直线方程为： y (x 4) (2)由题设知截距不为 0， 设直线方程为 从而 1， 解得 a 4或 a 9. 故所求直线方程为： 4x y 16 0或 x 3y 9 0. (3)依题设知 ， 此直线有斜率不存在的情况 当斜率不存在时 ， 所求直线方程为： x 5 0； 当斜率存在时 ， 设其为 k， 则 y 10 k(x 5)， 即 y (10 5k) 0. 故所求直线方程为 3x 4y 25 0. 综上知 ， 所求直线方程为 x 5 0或 3x 4y 25 0. 总结评述： 求直线方程时 ， 一方面应依据题设条件灵活选取方程的形式；另一方面应特别注意直线方程各种形式的适用范围 ， 即注意分类讨论 【 例 3】 过点 P(2,1)作直线 x、 、(1)求 |得最小值时直线 (2)求 |得最小值时直线 分析 由题意知求直线方程应选择适当的形式 ， 本题 (1)可用点斜式 ， 也可用向量知识来做 ， (2)可用斜截式也可用点斜式来做 解答 (1)方法 1：设直线 y 1 k(x 2)(k0) 显然 令 y 0， 得点 A(2 ， 0)； 令 x 0， 得点 B(0,1 2k) 当且仅当 k 1时取等号 ， 所求直线 y 1 1(x 2)即 x y 3 0. 此时 a b 3， 因此 x y 3 0 总结评述 要依据求解目标的需要适当选择方程的形式 在考例 3的基础上 ， 求 | |最小值时 ， 直线 解： 如图所示 ， 直线 l与 x， 这时斜率必为负值 设直线 y 1 k(x 2)， 则有 A(2 ， 0)与 B(0,1 2k)(k 0) 1 求直线方程时要注意判断斜率存在；每条直线都有倾斜角但不一定每条直线都存在斜率 2 利用一般式方程 C 0(A、 )求它的方向向量时为 ( B， A)不可记错 ， 但同时注意方向向量是不唯一的 3 利用前四种直线方程求直线方程时 ， 要注意这四种直线方程都有适用范围 ， 利用它们都不能求出垂直于 基础知识 平面中两条直线的位置关系包括平行 、 相交 、 重合三种情况 一 、 两直线平行 对于直线 y y . 对 于直 线 0， 0. 两平行 线 0和 0的距离为 d . b1121 2二 、 两直线相交 1 两直线垂直 对于直线 y y l2k1 . 对 于直 线 0， 0. 1 . 1 0 2 两条直线的夹角 线 叫做 记为 1. 计算公式： 线 叫做 记为 2. 计算公式： (1 2 ) 1与 2中不超过 90 的角 ， 叫做 记为 . 计算公式： 三 、 两直线重合 两条直线重合的充要条件是它们对应的方程完全相同 四 、 点与直线的位置关系 设点 P( 直线 l： C 0， 则 1 点在直线上： C 0. 2 点在直线外： C0. 3 点到直线的距离 d . 五 、 直线系 与 C 0平行的直线方程 (包括原直线 )： y 0(为待定系数 ). 若所求直线过 P( ， 且与 C 0平行 ， 则方程为： A(x B(y 0. 与 C 0垂直的直线方程为： 0(为待定系数 ). 若所求直线过 P( ， 且与 C 0垂直 ， 则方程为： B(x A(y 0. 过 0与 0的交点的直线方程为： ( ( 0( R， 且不包含直线 0) 易错知识 一 、 判定两直线的位置关系时忽视特殊情况而失误 1 已知直线 (2m 3)x (m)y 4m 1与直线2x 3y 5 0平行 ， 则 m _. 二 、 忽视各种直线系的限制条件而失误 2 已知点 P(1,1)和直线 l： 3x 4y 20 0， 则过点 _；过点 P与 _ 答案： 3x 4y 1 0 4x 3y 7 0 3 已知直线 l1 x y 2 0， x 3y 3 0， 则经过 x y 1 0平行的直线方程是 _ 答案： 15x 5y 16 0 三 、 求点到直线的距离及两平行线间的距离失误 4 两平行线 3x 4y 5 0与 6x 30 0间距离为d， 则 a d _. 答案： 10 5 已知直线 x y 5 0与 x 2y 0的交点 (1)若点 A(5,0)到 ， 则 _ (2)点 A(5,0)到 _ 答案： (1)x 2或 4x 3y 5 0 (2) 回归教材 1 (教材 已知直线 ， 且直线则直线 ( ) A 0 B 135 C 90 D 180 解析： 因为直线 ， 则直线 又 0 . 答案： C 2 (教材 直线 y 2与直线 x y 2 0的夹角是 ( ) 解析： 直线 y 2与直线 x y 2 0的斜率分别为 0， 1. 答案： A 3 已知点 A(1,2)， B(3,1)， 则线段 ( ) A 4x 2y 5 B 4x 2y 5 C x 2y 5 D x 2y 5 即 4x 2y 5 0. 答案： B 4 过点 A(4， a)和点 B(5， b)的直线与直线 y x 则 |值为 ( ) A 6 B. C 2 D 不能确定 答案： B 5 若原点到直线 y 7 0的距离为 5， 那么 a_. 【 例 1】 已知两直线 8y n 0和 2x 1 0， 试确定 m、 使 (1)(m， 1)； (2) (3)且 1. 命题意图 考查两条直线平行与垂直的充要条件 . 分析 两直线的位置关系与方程系数的关系是解本题的关键 . 解答 (1) 8 n 0， 且 2m m 1 0， m 1， n 7. (2)由 mm 8 2 0， 得 m 4. 即 m 4， n 2时 ， 或 m 4， n 2时 ， (3)当且仅当 m2 8m 0， 即 m 0时 ， 又 1， n 8. 即 m 0， n 8时 ， 1. 总结评述 若直线 1x 0与 0， 则 10；而 10. 解题中为避免讨论 ， 常依据上面结论去操作 (2009安徽 ， 7)直线 1,2)且与直线 2x 3y4 0垂直 ， 则 ( ) A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 答案： A 解析： 与直线 2x 3y 4 0垂直的直线可设 为 3x 2y c 0, 将点 ( 1,2)代入解得 c 1， 3x 2y 1 . (2009广州一模 )已知过 A( 1， a)、 B(a,8)两点的直线与直线 2x y 1 0平行 ， 则 ( ) A 10 B 2 C 5 D 17 答案： B 解析： 由平行直线斜率相等得： 2 a 2. 【 例 2】 等腰直角三角形 ， 斜边中点是 M(4,2)， 一条直角边所在的直线方程是 y 2x， 求另外两边所在的直线方程 解析 设斜边所在直线 k， 由题意 ， 斜边与直角边夹角为 45 ， 所以 ， 解得 k 3或 k 当 k 3时 ， 斜边方程为 y 2 3(x 4)， 即 3x y 14 0. 另一条直角边所在方程： x 2y 2 0. 当 k 时 ， 同理可得另两边所在的直线方程： x 3y 2 0， x 2y 14 0. 总结评述 应用平面几何知识求几何图形各边所在直线时 ， 经常使用夹角与到角公式 ， 要注意采集已知条件中所含信息以便于选用公式 ， 切忌不考虑图形特点盲目使用两公式的做法 如果不能确定是哪条直线到哪条直线的角 ， 可先用夹角公式进行运算再对运算结果用图形或借助题目其它条件进行检验和取舍 (2008全国 ， 11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0与 x 7y 4 0， 原点在等腰三角形的底边上 ， 则底边所在直线的斜率为 ( ) A 3 B 2 答案： A 解析： 设底边所在直线的斜率为 k， 由等腰三角形的底角相等及到角公式得 已知直线 x 2y 0与 3x 4y10 0的交点 ， 且与直线 5x 2y 3 0的夹角为 ， 求直线 分析： 先求 再利用 l与 求 通过点斜式可得 解得 2， 1) 设所求直线 y 1 k(x 2) 故所求的直线 即 7x 3y 11 0或 3x 7y 13 0. 拓展探究： 本题也可用直线系方程求解 设 l： (x 2y) (3x 4y 10) 0， 求出斜率 ， 再用夹角公式求得 ， 即得 【 例 3】 已知点 P(2， 1)， 求： (1)过 的直线 (2)过 最大距离是多少 ？ (3)是否存在过 的直线 ？ 若存在 ，求出方程；若不存在 ， 请说明理由 解析 (1)过 ， 而 2， 1)， 可见 ， 过 P(2， 1)垂直于 此时 其方程为 x 2. 若斜率存在 ， 设 y 1 k(x 2)， 即 y 2k 1 0. 此时 x 4y 10 0. 综上所述 ， 可得直线 x 2或 3x 4y 10 0. (2)作图可证过 距离最大的直线是过 由 l 得 kl 1. 由直线方程的点斜式得 y 1 2(x 2)， 即 2x y 5 0， 即直线 2x y 5 0是过 距离最大的直 (3)由 (2)可知 ， 过 的直线 ， 因此不存在过 的直线 (2008浙江嘉兴质检 )点 (0,1)到直线 y 2x 2的距离为 ( ) 答案： A (2007西安八校联考 )若点 P(a,3)到直线 4x 3y 1 0的距离为 4， 且点 x y 3 0表示的平面区域内 ， 则 ( ) A 3 B 3 C 7 D 7 命题意图： 本题主要考查点到直线的距离公式和线性区域是一个小综合题 ， 也代表了今后的高考趋势 答案： A 又 2a 3 3 0， 所以 a . 【 例 4】 求直线 a： 2x y 4 0关于直线 l： 3x 4y 1 0对称的直线 分析 先解直线 求出交点 则 再寻求直线 解得 a与 (3， 2)且点 方法一：设直线 k， 又知直线 ， 直线 则 解得 k . 直线 y ( 2) (x 3)， 即 2x 11y 16 0. 方法二：在直线 (2,0)， 设点 的坐标为 B( 即 2x 11y 16 0. 方法三：设直线 (x， y)， 关于 直线 则 Q(直线 a： 2x y 4 0上 ， 化简得 2x 11y 16 0， 即为所求的直线 拓展提升 解对称问题要抓住两类：点对称和轴对称 ， 若两点 A、 对称 ， 则 两个图形 对称 ， 则 的对称点必在 反之也成立 若两点 A、 则 若两个图形 则 2上 ， 反之也成立 在直线 l： 3x y 1 0上求一点 P， 使点 (1,7)和 B(0,4)的距离之和最小 分析： 求出点 B(0,4)关于直线 的坐标 ， 直线 直线 . 解答： 把 A(1,7)， B(0,4)代入直线 l： 3x y 1 0的左边 ， 3 1 7 1 0,3 0 4 1 0， A、 设点 (m， n)， 则 1， 即 3 1， m 3n 12 0. 又由于线段 的中点坐标为 且在直线 即 B的交点坐标为 (2,5)， 所以 ， 所求点 2,5) 规纳总结： 当两个定点在直线 在直线 到两定点的距离之和最小 ， 而当两定点位于直线的异侧时 ， 在直线 到两定点的距离之差最大 解决方法都是转化为求点关于直线 1 两直线 0， 与 0的位置关系可由系数比来确定 当系数不为 0时 ， 有： 2 注意 “ 夹角 ” 与 “ 到角 ” 的区别 3 直线系方程主要掌握： 过两直线 1x ( 0(不含 与直线 y y kxm(mb)； 过定点 (直线系方程 y k(x x4 直线 a， 则应具有下列几何性质： 若 a与 则 l是 a、 a与 则 b l且 a、 b与 若点 则 一定在直线 并且 l， 设 P(x， y)是所求直线上一点 ， 则 的坐标适合 基础知识 一 、 二元一次不等式 C0(或 则包含此点 x C0所表示的平面区域 ， 不包含此点 x 将 C(7,9)代入得 1. (2)z (y 5)2表示可行域内任一点 (x， y)到定点M(0,5)的距离的平方 ， 过 易知垂足 故 总结评述 充分理解目标函数的几何意义 ， 诸如两点间的距离 (或平方 )、 点到直线的距离 、 过已知两点的直线斜率等 . (2009湖南名校一模 )已知点 P(x， y)在不等式组 表示的平面区域内运动 ， 则 z 的取 值范围是 ( ) 答案： B 两点连线的斜率 由图可知 ， 当 2,0)时 ， ， 当 P取 (0,1)时 ， 2. (2009陕西 ， 11)若 x， 目标函数 z 21,0)处取得最小值 ， 则 ( ) A ( 1,2) B ( 4,2) C ( 4,0 D ( 2,4) 答案： B 解析： 可行域为 (如图 )当 a 0时 ， 显然成立 当 a 0时直线 2y z 0的斜率 k 1， a 2. 当 a 0时 ， k 2， a 4. 综合得 4 a 2， 故选 B. 【 例 3】 (2009江苏启东二模 )某家具厂有方木料90五合板 600准备加工成书桌和书橱出售 已知生产每张书桌需要方木料 五合板 2生产每个书橱需要方木料 五合板 1出售一张书桌可获利润80元 ， 出售一个书橱可获利润 120元 (1)如果只安排生产书桌 ， 可获利润多少 ？ (2)如果只安排生产书橱 ， 可获利润多少 ？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大 ？ 解析 (1)设只生产书桌 可获利润 所以当 x 300时 ， 80 300 24000(元 )， 即如果只安排生产书桌 ， 最多可生产 300张书桌 ， 获得利润24000元 (2)设只生产书橱 可获利润 则 所以当 y 450时 ， 120 450 54000(元 )， 即如果只安排生产书橱 ， 最多可生产 450个书橱 ， 获得利润54000元 (3)设生产书桌 书橱 利润总额为 z 80x 120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ， 即可行域 作直线 l： 80x 120y 0. 即直线 l： 2x 3y 0. 把直线 直线经过可行域上的点 M， 此时 z 80x 120 解得点 100,400) 所以当 x 100， y 400时 ， 80 100 120 400 56000(元 ) 因此 ， 生产书桌 100张 、 书橱 400个 ， 可使所得利润最 大 。 (2009山东 ， 16)某公司租赁甲 、 乙两种设备生产A、 甲种设备每天能生产 件和 0件 ， 乙种设备每天能生产 件和 0件 已知设备甲每天的租赁费为 200元 ， 设备乙每天的租赁费为 300元 现该公司至少要生产 0件 ， 40件 ， 所需租赁费最少为 _元 答案： 2300 解析： 设需租赁甲型设备 乙型设备 租赁费为 z 200x 300y. 如图可知 (4,5)处取到最小值 ， z 4 200 5 300 2300. 1 二元一次不等式与半平面的对应关系；比如：二元一次不等式 C 0当 A 0时表示直线 l： C 0右侧的平面；当 A 0时表示直线 l： C 0左侧的平面 避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化 2 在通过求直线的截距 的最值间接求出 要注意：当 b 0时 ， 截距 取最大值时 ， 距 取最小值时 ， b 0时 ， 截距 取最大值时 ， 距 取最小值时 ， 基础知识 一 、 曲线方程的定义 在直角坐标系中 ， 如果某曲线 C(看作适合某条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x， y) 0的实数解建立了如下的关系： 1 曲线上的点的坐标 ； 2 以这个方程的解为坐标的点 ；那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 (图形 ) 都是这个方程的解 都是曲线上的点 二 、 曲线方程的两个基本问题 曲线方程的两个基本问题 ， 一是 ， 二是 已知曲线求方程的五步法 (建系设点 、 列等式 、 代换 、 化简 、 证明 )中 ， 建立适当的坐标系是前提 ， 由条件列出等式是求方程的关键 ， 最后一步可以省略不写 ， 但遇到特殊情况要加以说明 因此 “ 五步 ” 即 “ 四步一说明 ” 根据已知条件，求出 表示平面曲线的方程 通过方程，研究平面曲线的 性质 由方程画曲线 (图形 )的步骤： 讨论曲线的对称性 (关于 ； 求截距； 讨论曲线的范围； 列表 、 描点 、 画线 三 、 交点与曲线系方程 求两曲线的交点 ， 就是解这两条曲线方程组成的方程组 过曲线 f1(x， y) 0和 f2(x， y) 0的交点的曲线系方程是 f1(x， y) f2(x， y) 0( R) 易错知识 一 、 忽视特殊情况致误 1 求过点 (0,1)的直线 ， 使它与抛物线 2 错解： 设所求过点 (0,1)的直线为 y 1， 则它与抛物线方程联立为 消去 1)2 2x 0， 整理得 (2k 2)x 10. 直线与抛物线仅有一个交点 ， 0， 解得 k 所求直线为 y x 1. 分析： 此解法共有三处错误： 第一：设所求直线为 y 1时 ， 没有考虑 k 0与斜率不存在的情形 ， 实际上就是承认了该直线的斜率是存在的 ， 且不为零 ， 这是不严密的 第二：题中要求直线与抛物线只有一个交点 ， 它包含相交和相切两种情况 ， 而上述解法考虑不全面 ， 原因是对于直线与抛物线 “ 相切 ” 和 “ 只有一个交点 ” 的关系理解不透 第三：将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程 ， 要考虑它的判别式 ， 所以它的二次项系数不能为零 ， 即 k0， 而上述解法没作考虑 ， 表现出思维不严密 正解： 当所求直线斜率不存在时 ， 即直线垂直 因为过点 (0,1)， 所以 x 0， 即 它正好与抛物线 2 当所求直线斜率为零时 ， 直线为 y 1平行 它正好与抛物线 2 一般地 ， 设所求的过点 (0,1)的直线为 y (k0)， 则 (2k 2)x 1 0， 解得 k ， 所求直线为 y x 1. 综上 ， 满足条件的直线为： y 1， x 0， y x 1. 回归教材 1 (教材 到两坐标轴距离之和为 6的点的轨迹方程为 ( ) A x y 6 B x y 6 C |x| |y| 6 D |x y| 6 解析： 由条件及绝对值的几何意义可知选 C. 答案： C 2 如图所示 ， 曲线的方程是 ( ) A |x| y 0 B x |y| 0 解析： 曲线的方程为 x y(y0)或 x y(y0)， 等价于 x |y| 0. 答案： B 3 若曲线 y x 2和 y x 则 ( ) A m R B m ( ， 1) C m 1 D m (1， ) 4 4(2 m) 0m 1， 故选 D. 答案： D 4 已知 lg(x 2)、 y|、 6x)成等差数列 则点P(x， y)的轨迹方程为 _ 2y| lg(x 2) 6x) x 2) 416x(x 2) 5 (教材 长度为 2、 则线段 的轨迹方程是 _ 解析： | | a， 答案： 【 例 1】 如果曲线 (x， y)0， 则以下说法正确的是 ( ) A 曲线 (x， y) 0 B 方程 F(x， y) 0的曲线是 l C 坐标不满足方程 F(x， y) 0的点不在曲线 D 坐标满足方程 F(x， y) 0的点在曲线 命题意图 考查 “ 曲线的方程 ” 和 “ 方程的曲线 ”的概念的理解 . 分析 从 “ 曲线的方程 ” 和 “ 方程的曲线 ” 两方面判断 . 解答 直接法：原说法写成命题形式即 “ 若点 M(x， y)是曲线 则 (x，y) 0” ， 其逆否命题即 “ 若 (x， y) 0， 则 ， 此即说法 C. 特值方法：作如图所示的曲线l， 考查 (x， y) 1 0的关系 ， 显然 A、 B、 选 C. 总结评述 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法 等价转换和特值方法 . 其中特值方法应引起重视 ， 它的使用依据即 “ 方程的曲线上的点的纯粹性和完备性 ” ， 简言之 ， 即 “ 多一点不行 ， 少一点不可 ” 设方程 f(x， y) 0的解集非空 ， 如果命题 “ 坐标满足方程 f(x， y) 0的点都在曲线 是不正确的 ， 则下面命题中正确的是 ( ) A 坐标满足 f(x， y) 0的点都不在曲线 B 曲线 f(x， y) 0 C 坐标满足 f(x， y) 0的点有些在 有些不在曲线上 D 一定有不在曲线上的点 ， 其坐标满足 f(x， y) 0 解析： “ 坐标满足方程 f(x， y) 0的点都在曲线 不正确 ， 就是说 “ 坐标满足方程 f(x， y) 0的点不都在曲线 是正确的 ， 这意味着一定有这样的点 ( 虽然 f( 0， 但 (C， 即一定有不在曲 线 上的点 ， 其坐 标满 足 f(x， y) 选 D. 答案： D 总结评述： “ 都 ” 的否定是 “ 不都 ” ， 而不是 “ 都不 ” ， 故不能选 A， 而 是等价的 ， 也不能选 本题还易错选 C， 选错的原因是没有弄清 “ 不都 ” 包含有 “ 都不 ” 的情况 ， 举例说 ， f(x， y) 0只有一个解 ， 那么满足f(x， y) 0的点就不会出现 “ 有些在 的情况 ， 至于题目的条件 “ 设 f(x， y) 0的解集非空 ” ， 会使问题更加严密 . 判断方程表示什么曲线 ， 就要把方程变形 ， 一般变形的方法有：配方法 、 因式分解法或化成我们熟悉的形式 ，然后再根据方程 、 等式等 “ 数 ” 的性质进行判断 . 【 例 2】 (2004黄冈三模 )方程 (4) 0曲线形状是 ( ) 命题意图 本题考查曲线与方程之间的关系 . 解答 由题可得 或 x y 1 0表示直线 x y 1 0和其右上方的圆 4 0， 故选 C. 答案 C 方程 (4)2 0表示的图形是 ( ) A 四条直线 B 两个点 C 四个点 D 四条直线 解析： 方程等价于 4且 4， 即 x 2且 y 2， 即 故方程表示四个点 ， 选 C. 答案： C 【 例 3】 过定点 A(a， b)任作互相垂直的两直线 且 点 ， 点 ， 求线段 分析 题中给出了 3个条件 A(a， b)， 点 M、点 N， 从不同的角度去分析三个条件之间的联系 ， 将有不同的解法 解答 方法 1： (直接法 )当直线 设P(x， y)， 则 M(2x,0)， N(0,2y)， 整理化简 ， 得 220(x ) 当直线 此时 也满足上述方程 所求点 20. 方法 2： (相关点法 )设 P(x， y)， M()， N(0， (a)2 (b)2 x y. 化简得 0. 所求点 20. 方法 3： (参数法 )(1)当 设 依题意 0， . y b k1(x a)， y b (x a)， 在 中令 y 0， 得 a 在 中令 x 0， 得 b 设 的坐标为 (x， y)， 则 消去 得 220(x (2)当 ， 其坐标满足方程 ， 所求 的轨迹方程为 22. (2007福建 ， 20)如图 ， 已知 F(1,0)， 直线 l： x 1， 过 垂足为点 Q， 且 的轨迹 分析： 本题采用直接法 ， 设出点 根据已知条件列出方程及限制条件 . 解答： 设点 P(x， y)， 则 Q( 1， y)， 由 得 (x 1,0)(2， y) (x 1， y)( 2， y)， 化简得 C： 4x. 总结评述： 求轨迹与求轨迹方程不同 ， 前者求方程之后需指明是何种曲线 ， 以及相关变量允许取值的范围 1 视曲线为点集 ， 曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标 (x， y)所满足的方程 ， 则曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系 2 求曲线的方程是解析几何的基本内容 ， 必须正确理解各种方法在什么情况下使用 ， 常用方法：定义法 、 待定系数法 、 直接法 、 代入法 、 参数法 3 求曲线的方程与求轨迹是有区别的 ， 若是求轨迹则不仅要求出方程 ， 而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 ， 在何处 ， 即图形的形状 、 位置 、 大小都需要说明 、 讨论清楚 基础知识 一 、 圆 1 圆的定义 在平面内 ， 到 的距离等于 的点的 叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是 和 3 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2(r 0)， 其中 为圆心 ， 为半径 定点 定长 集合 圆心 半径 (a， b) r 4 圆的一般方程 F 0表示圆的充要条件是 ， 其中圆心为 ， 半径为 r . 4F 0 5 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法 ， 大致步骤为： (1)根据题意 ， 选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a， b， ， E， (3)解出 a、 b、 、 E、 6 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种： 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 点 M( 点在圆上： (a)2 (b)2 点在圆外： (a)2 (b)2 点在圆内： (a)2 (b)2 二 、 直线与圆的位置关系 1 位置关系有三种： 、 、 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d r相交 ， d r相切 ， d r相离 相离 相切 相交 2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法： 运用弦心距 (即圆心到直线的距离 )、 弦长的一半及半径构成直角三角形计算 (2)代数方法： 运用韦达定理及弦长公式 说明： 圆的弦长 、 弦心距的计算常用几何方法 3 P(圆 r2(r 0)上 ， 则以 三 、 圆与圆的位置关系的判定 设 (x (y (0)， (x (y (0)， 则有： | ； | ； | | ； | |r1 ； | | 相离 外切 相交 内切 内含 易错知识 一 、 忽视圆的一般方程的充要条件产生的混淆 1 已知圆的方程为 2y ( 1， 2)作圆的切线有两条 ， 则 二 、 误用判别式产生的混淆 2 直线 y 1与曲线 y 有公共点 ， 则 _ 答案： 0,1 三 、 求过一定点的圆的切线时 ， 因未事先判断点与圆的位置关系而失误 3 圆 4x 0在点 P(1， )处的切线方程为_ 答案： x y 2 0 四 、 概念理解错误而失误 4 已知直线 c 0与圆 O： 1相交于A、 且 | 回归教材 1 方程 (a 2)2a 0表示圆 ， 则 ( ) A a 1 B a 2 C a 1或 2 D a 1 解析： a 2， a 1或 a 2. 经验证当 a 1时方程表示圆 故选 A. 答案： A 2 点 P(5a 1,12a)在圆 (x 1)2 1的内部 ， 则 ( ) 解析： 点 x 1)2 1的内部 (5a 1 1)2 (12a)2 1|a| 答案： D 3 (教材 圆 (x 1)2 1的圆心到直线 y 的距离是 ( ) 答案： A 4 两圆 6x 4y 9 0和 6x 12y 19 0的位置关系是 ( ) A 外切 B 内切 C 相交 D 外离 解析： 由题意可知两圆的圆心 3,2)， ， 6)， 两圆的半径分别为 2， 8. 2 8 10， | 故两圆外切 答案： A 5 (教材 圆心为 (1,2)且与直线 5x 12y7 0相切的圆的方程为 _ 解析： 圆心 (1,2)到直线 5x 12y 7 0的距离 d 所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 4. 答案： (x 1)2 (y 2)2 4 【 例 1】 一个圆与 圆心在直线 x 3y 0上 ， 且在直线 y ， 求此圆的方程 分析 因题中涉及圆心及切线 ， 故设标准形式解题较简单 解答 方法一： 所求圆的圆心在直线 x 3y 0上 ， 且与 设所求圆的圆心为 C(3a， a)， 半径为 r 3|a|， 又圆在直线 y ， 圆心 C(3a， a)到直线 y d 有 ( )2 即 27 9 a 1， 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9或 (x 3)2 (y 1)2 9. 方法二：依题设所求圆的方程为 (x 3a)2 (y a)2 9 可得 280， 则 4a， 圆在直线 y ， 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9或 (x 3)2 (y 1)2 9. 拓展探究 本题确定一个圆需三个独立条件 ， 题中显然给了三个条件： (1)圆与 (2)圆心在直线 x3y 0上； (3)在直线 y ， 因此 ， 可求圆的标准方程 解题时要注意半径是正数 ， 即应设 r3|a|， 但是由题意知：圆与 圆心在直线 x 3y 0上 ， 表明圆心的横 、 纵坐标同号 (2009辽宁 ， 4)已知圆 x y 0及 x y 4 0都相切 ， 圆心在直线 x y 0上 ， 则圆 ( ) A (x 1)2 (y 1)2 2 B (x 1)2 (y 1)2 2 C (x 1)2 (y 1)2 2 D (x 1)2 (y 1)2 2 答案： B 解析： 由圆心在直线 x y 0上 不妨设为 C(a， a) C： (x 1)2 (y 1)2 . (2009江西南昌一模 )过点 P(4,2)作圆 4的两条切线 ， 切点分别为 A、 B， 则 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 5 B (x 4)2 (y 2)2 20 C (x 2)2 (y 1)2 5 D (x 4)2 (y 2)2 20 答案： A 解析： 由题意知所求圆以 圆心为(2,1) r 故圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5. 【 例 2】 (1)已知实数 x、 2x 2 y0， 求 x (2)已知实数 x、 x 3)2 2， 求 最小值 探究 若实数 x， 求二元函数f(x， y)的最大值可用三角换元或数形结合等 解析 (1)原方程化为 (x 1)2 (y )2 4表示一个圆的方程 (为参数 ， 0 2)， (2)方法 1： (x 3)2 2， 6x 7 (坐标系与参数方程选做题 )在平面直角坐标系 直线 (参数 t R)， 圆 (参数 0,2)， 则圆 圆心到直线 _ 命题意图： 考查参数方程与普通方程互化 ， 及直线和圆的基本知识 解析： 直线和圆的方程分别是： x y 6 0， (y 2)2 22， 所以圆心 (0,2)， 其到直线的距离为： 已知实数 x、 2y 0. (1
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