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高考 数学 一轮 课件 优化 方案 新人 理科 第三 积分 微积分 基本 定理 打包

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内容简介：

第 3课时 定积分与微积分 基本定理 1定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念 如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x0 1 xna， b等分成 每个小区间 1， 任取一点 i(i 1,2， 基础知识梳理 ， n)，作和式 ， i 1 i ) x i 1 an f ( i ) 当 n 时，上述和式无限接近 ，这个 叫做函数 f(x)在区间 a， b上的定 基础知识梳理 某个常数 常数 积分，记作 ，即 x) l i i 1 an f ( i ) 基础知识梳理 在 x )d x 中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量， f ( x )d x 叫做被积式 a与 b a， b 函数 f(x) x 基础知识梳理 ( 2 ) 定积分的几何意义 当函数 f ( x ) 在区间 a ， b 上恒为正时 ，定积分 x )d x 的几何意义是由直线 x a ， x b ( a b ) ， y 0 和曲线 y f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积 ( 图 1 中阴影部分 ) 基础知识梳理 基础知识梳理 一般情况下 ， 定积分 x )d x 的几何意义是介于 x 轴 、 曲线 f ( x ) 以及直线 x a 、x b 之间的曲边梯形面积的代数和 ( 图 2 中阴影所示 ) ， 其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值 ， 在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 (3)定积分的基本性质 kf(x) f1(x) f2(x) . f(x) 基础知识梳理 kab f ( x )d x ( k 为常数 ) ab f 1 ( x )d x ab f 2 ( x )d x ac f ( x )d x cb f ( x )d x ( 其中 a c b ) 基础知识梳理 你能从定积分的几何意义解释性质 吗？ 【 思考 提示 】 如图所示，设在区间 a， b上恒有 f(x)0， a， b)内的一点，那么从几何图形上看，直线 x 此，大曲边梯形的面积 1， S 定积分表示就是性质 . 基础知识梳理 2 微积分基本定理 如果 f ( x ) 是区间 a ， b 上的连续函数 ， 并且 F ( x ) f ( x ) ， 那么 x )d x ，这个结论叫做微积分基本定理 ， 又叫做牛顿 莱布尼兹公式 为了方便 ， 常把 F ( b ) F ( a ) 记成 ，即 x )d x F ( b ) F ( a ) F(b) F(a) 答案 ： A 三基能力强化 1 下列值等于12的积分是 ( ) A 01x d x B 0212d x C 012d x D 022d x 三基能力强化 2 ( 教材习题改编 ) 曲线 y c o s x (0 x 32) 与坐标轴所围成的面积是 ( ) A 2 B 3 4 答案 ： B 三基能力强化 3 设 f ( x ) x 0 )2x( x 0 )，则- 11f ( x )d ) A - 11x B - 112xd x C - 10x 012xd x D - 102xd x 01x 答案 ： D 三基能力强化 4 12 (2 x 2 1x )d x _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案： 143 l n 2 答案 ： 1 三基能力强化 5 已知- 1a (2 x 1 ) d x 2 ， 则a _ _ _ _ _ _ _ _ . 求函数 f(x)的定积分，关键是求出函数 f(x)的一个原函数 F(x)，即满足 F(x) f(x)正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 课堂互动讲练 考点一 求已知函数的定积分 课堂互动讲练 例 1 求下列函数的定积分： ( 1 ) 02(4 3 x )d x ； ( 2 ) 12(e2 x1x)d x ； ( 3 ) 02s i x . 【 思路点拨 】 (1)(2)先利用定积分的性质将被积函数化简再求 (3)先化简，再求定积分 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 02(4 3 x )d x 02(4 x3)d x 02(3 x2)d x 02x d x 0 0 120 (24 0) (23 0) 12(22 0) 16 8 2 22. 课堂互动讲练 ( 2 ) ( l n x ) 1x， (12e2 x) e2 x， 12(e2 x1x)d x 12e2 xd x 121xd x 12e2 x|21 ln x |21122l n 2 l n 1 122l n 2 . 课堂互动讲练 【 规律总结 】 计算简单定积分的步骤 (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到 F(x)，使得 F(x) f(x)； (4)利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值 课堂互动讲练 1分段函数的定积分 (1)分段函数在区间 a， b上的定积分可分成几段定积分的和的形式 (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细 课堂互动讲练 考点二 求分段函数的定积分 课堂互动讲练 2 奇偶函数在对称区间上的定积分 ( 1 ) 若 f ( x ) 为偶函数 ， 且在关于原点对称的区间 a ， a 上连续 ， 则- x )d x 20 x )d x . ( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数 ， 且在关于原点对称的区间 a ， a 上连续 ， 则- x )d x 0. 课堂互动讲练 例 2 ( 1 ) 求函数 f ( x ) 0 x 1 )x ( 1 x 4 )2x 14 ( 4 x 5 )在区间 0 , 5 上的定积分 ( 2 ) 求12|3 2 x |d x . 【 思路点拨 】 (1)f(x)在 0,5上的定积分，可按照 f(x)的分段标准，分成 0,1， (1,4， (4,5三段的定积分的和； 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 |3 2 x |3 2 x 1 x 322 x 3 32 x 2，可分为两段定积分，再求和 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 由定积分性质知 05f ( x )d x 01f ( x )d x 14f ( x )d x 45f ( x )d x 01x 14x d x 45(2x 1 4 ) d x 0231 (2xl n 2 14 x )|54141632332l n 2 14 5 (16l n 2 14 4) 16l n 210912. 课堂互动讲练 【 名师点评 】 分段函数在区间a， b上的定积分可分成几段定积分的和的形式 . 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可 课堂互动讲练 利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值 课堂互动讲练 考点三 定积分的几何意义 课堂互动讲练 例 3 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积 (2)y x 2， x ( 1 ) y 0 ， y x ， x 2 ； 【 思路点拨 】 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿 莱布尼兹公式计算 课堂互动讲练 (2)曲线所围成的平面区域如图 (2)所示： S 课堂互动讲练 y x ， y x ， x 1 围成； y x ， y x 2 ， x 1 和 x 4 围成 01 x ( x ) d x ， 14 x ( x 2) d x ， S 012 x d x 14( x x 2 ) d x 201x d x 14x d x 14x d x 142d x 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【名师点评】 用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式 S f ( x ) g ( x ) | d x 中的 f ( x ) 或 g ( x ) 是分段函数时，面积要分块计算 利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求 课堂互动讲练 考点四 定积分在物理中的应用 课堂互动讲练 例 4 ( 解题示范 ) ( 本题满分 10 分 ) 一物体做变速直线运动 ， 其 v t 曲线如图所示 ， 求该物体在12s 6 s 间的运动路程 【 思路点拨 】 从图上可以看出物体在 0t1时做加速运动， 1t3时做匀速运动， 3t6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说 0t6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 v ( t ) 2 t ( 0 t 1 )2 ( 1 t 3 )13t 1 ( 3 t 6 )， . . 课堂互动讲练 【名师点评】 本题在求12s 6s 间的运动路程时，第一段面积不需要都计算进去，只要计算 12， 1 上的就可以了，这一点在计算时易弄错 (本题满分 10分 )物体 (速度 m/s)、加速度为 a(t) 6t(s)在一直线上运动在此直线上与物体 体 的正前方5 v 10t 1(s， m/s)的速度运动 (1)求物体 (2)两物体何时相遇？相遇地与物体 课堂互动讲练 高考检阅 解 ： (1)设物体 v(t)， 依题意有 v(0) 2， 2分 课堂互动讲练 v ( t ) a ( t ) 6 t ，且 v ( t ) v ( 0 ) 0 t )d t0t(6 t )d t 3 t2| 3 v ( t ) 3 2. 5 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 设 t 时刻两物体相遇，则有 0t(3 2 ) d t 5 0t( 1 0 t 1 ) d t ， 即 ( 2 t )|5 (5 t )| t 0 ， 5 t 5 0 ， ( t 5 ) ( 1) 0 ， t 5 ( s ) . 8 分 两物体运动 5 s 时相遇相遇地与物体 A 的出发地的距离为 s 05(3 2 ) d t ( 2 t )|50 53 2 5 1 3 5 ( m ) . 10 分 规律方法总结 1 定积分的概念应注意的问题 ( 1 ) 积分值仅与被积函数及积分区间有关 ， 而与积分变量的字母无关 ， 即 x )d x t )d t )d . ( 2 ) 定义中区间的分法和 i 的取法都是任意的 规律方法总结 ( 3 ) 在定积分的定义中 ， x )d x 限定下限小于上限 ， 即 a b ， 为了方便计算 ，人们把定积分的概念扩大 ， 使下限不一定小于上限 ， 并规定 ： x )d x x )d x ， x )d x 0. 2求定积分的常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分 (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分 “对区间的可加性 ”，分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 - 1 - 2 (原创题 )用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是 ( ) Ax) |x)Cx)x)x)x)析： 选 正确 3设函数 f(x) 导函数 f (x) 2x 1，则 12f( x)值等于 ( ) 析： 选 f(x) f (x) 2x 1，所以 f(x) x，于是12f( x)12 (x) 1312156. 4若等比数列 首项为 23，且 14 (1 2x)公比等于_ 解析： 本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解由已知得 - 2 - (x 41 18，故 1823 27 q 3. 答案： 3 f(x) 32x 1，若f(x)2f(a)成立，则 a_. 解析：(32x 1)(x)| 14， 所以 2(32a 1) 4，即 32a 1 0， 解得 a 1或 a 13. 答案： 1 或 13 6设 y f(x)是二次函数，方程 f(x) 0 有两个相等的实根，且 f (x) 2x 2. (1)求 y f(x)的表达式； (2)求 y f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积 解： (1)设 f(x) c(a 0)， 则 f (x) 2b.又 f (x) 2x 2， 所以 a 1， b 2，即 f(x) 2x c. 又方程 f(x) 0有两个相等实根， 所以 4 4c 0，即 c 1. 故 f(x) 2x 1. (2)依题意，所求面积为 S01(2x 1)(13x)|10 13. - 1 - 1已知 f(x)为偶函数且06 f(x)8，则f(x)于 ( ) A 0 B 4 C 8 D 16 解析： 选 f(x)06f(x) 原函数为偶函数， 在 对应的面积相等故选 D. 2函数 y2)dt(x0)( ) A是奇函数 B是偶函数 C非奇非偶函数 D以上都不正确 解析： 选 2t |2 4x，为奇函数 3一物体的下落速度为 v(t) 位：米 /秒 )，则下落后第二个 4 秒内经过的路程是 ( ) A 249 米 B C D 450 米 解析： 选 48(6.5) (84 64 8