扬州市2010—2011学年度第二学期第三次调研测试试题题目

扬州市 20102011 学年度第二学期第三次调研测试试题 高 三 数 学 201105 全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分 160 分，考试时间 120 分钟） ，第 二部分为选修物理考生的加试部分（满分 40 分，考试时间 30 分钟） 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 3选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试 第 一 部 分 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上） 1 已知集合 ，则 1,02ABxAB 2 已知 ，那么复数 .()2iziz 3 已知 ，则 4cos5cos 4 已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 等于na231,a8967a 5 “直线： 与直线： 平行”的充要条件是01)(yx 0yx 6 从 这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 1,2345 7 已知点 是双曲线 上的点，该点关于实轴的对称点为 ，则 =P2xyQOP 8 不等式 的解集是 0)(1 9 用半径为 cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔21 接部分忽略不计） ， 则该容器盛满水时的体积是 10 若函数 在（0，1 ）内有极小值，则实数 b 的取值范围是bxxf36)(3 11 函数 ，在区间 上单调递增，则实数 的取值()cos)(2)f(,) 范围为 12 直线 与曲线 有 3 个公共点时，实数 的取值范围是ykx|ln2|xyek 13 已知实数 ，直线 与抛物线 和圆0p340p2xpy 从左到右的交点依次为 则 的值为 22()xy,ABCD、 、 、 A 14 设函数 的定义域为 D，如果存在正实数 ，使对任意 ，都有 ，f kxxkD 且 恒成立，则称函数 为 D 上的“ 型增函数” 已知 是定()(xk()fx()f 义在 R 上的奇函数，且当 时， ，若 为 R 上的0x|2a()fx “ 型增函数” ，则实数 的取值范围是 201a 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15 （本小题 14 分） 已知 ， ，且 / 设函数 13(,sincos)2ax(1,)byab()yfx （1）求函数 的解析式 )yf （2）若在锐角 中， ，边 ，求 周长的最大值ABC()3f3BCAB 16 （本小题 14 分） 在正三棱柱 中，点 是 的中点，1D 1BC （1）求证： 平面 ；A1B （2）试在棱 上找一点 ，使 1M1AB D C 1B1 A1 CB A 数学试题第 3 页（共 15 页） 17 （本小题 15 分） 某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部 1580 元，零售价为每部 1880 元为 促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过 180 元统计表明：在促销期间，礼物价值每增加 15 元（礼物的价值都是 15 元的整数倍，如 礼物价值为 30 元，可视为两次增加 15 元，其余类推） ，销售量都增加 11% （1）当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？ （2）试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？ 18 （本小题 15 分） 已知椭圆 C： ，点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点，直 21(0)xyab 线 AB 与圆 G： （ 是椭圆的焦半距）相离，P 是直线 AB 上一动点，过点 224c P 作圆 G 的两切线，切点分别为 M、N （1）若椭圆 C 经过两点 、 ，求椭圆 C 的方程；(1,)3(,1)2 （2）当 为定值时，求证：直线 MN 经过一定点 E，并求 的值（O 是坐标原点） ；c P （3）若存在点 P 使得PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围 y x N M B A O P 19 （本小题 16 分） 已知定义在 上的函数 和数列 满足下列条件： ， ，当R()fxna10a21a 时， ，且存在非零常数 使 恒成立*nN1nnafk11()()nnnffk （1）若数列 是等差数列，求 的值； （2）求证：数列 为等比数列的充要条件是 n ()fxk) （3）已知 ， ，且 （ ） ，数列 的前 项是 ，()fxk1)2alnba*NnbnS 对于给定常数 ，若 的值是一个与 无关的量，求 的值m ()nS k 20 （本小题满分 16 分） 已知定义在实数集上的函数 ，其导函数记为 ，且满足*(),nnfxN()nfx ， 为常数， 2212121()()ffxa12,a12x （1）试求 的值； （2）记函数 ， ，若 的最小值为 6，求实数 的13()()ln()Fbfxf 0,xe()Fb 值； （3）对于（2）中的 ，设函数 ， （ ）是函数()xbg12(,)(,)AyBx12x 图象上两点，若 ，试判断 的大小，并加以证明()gx210(yx012, 扬州市 20102011 学年度第二学期第三次调研测试试题 高 三 数 学 第二部分（加试部分） （总分 40 分，加 试时间 30 分钟） 注意事项： 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内解答 过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效 21B（4-2 矩阵与变换，本题满分 10 分） 数学试题第 5 页（共 15 页） 已知矩阵 将点 变换为 ，且属于特征值 的一个特征向量是 ，求矩阵A(1,0)(2,3)31 21C （4-2 极坐标与参数方程，本题满分 10 分） 椭圆中心在原点，离心率为 ，点 是椭圆上的点，若 的最大值为12(,)Pxy23xy ，求椭圆的标准方程10 22 （本题满分 10 分） 某次考试共有 8 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有一个是正确的；评分标 准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得 5 分，不选或选错得 0 分 ”某考生每道题都给 出一个答案，已确定有 5 道题的答案是正确的，而其余 3 道题中，有一道题可判断出两个 选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜， 试求该考生： （）得 40 分的概率； （）所得分数 的数学期望 23 （本题满分 10 分） 已知 展开式的各项依次记为 1()2nx1231(),(),()naxxax 设 123 1(),nFa （）若 的系数依次成等差数列，求 的值；,xx （）求证：对任意 ，恒有 .12,0,112|()|()nFx 扬州市 20102011 学年度第二学期第三次调研测试试题 高三数学参考答案 1 2 3 41i72532 5 6 72 8a53 ),()1, 9 10 11 12 （0，1）30cm(0,)24,3 13 14162016a 注：第 13 题过程 设 ， ，则 ， （ ） ，则 ，1(,)Axy2(,)Dy1|ABy2|12y12|yABCD 由 得 ，得 ， ，2 340,pxy22870p18p2 12|6ABCD 15解：(1) 因为 / ，所以 ， 3ab13sincos22yx 分 所以 6()2sin()3fx 分 (2) ，()si()2sin3fAA ， 8 分3sin20, 又 ， BC 解法一：由正弦定理知， 得 ，2sinBCRA32sin ， ，2sinACi 的周长为 10 分B 232sni32sii()3BB 12132sin(coi) in6 分 ， ，则 ， 023B62B2363 数学试题第 7 页（共 15 页） 所以 ， 周长的最大值为 14sin()16BABC3 分 解法二：由余弦定理知， ， ， 1022cosabA2()3bc 分 ， ， 13 22()3()34cbc2()1 分 ， ，2c23abc 周长的最大值为 14ABC 分 16 （1）证明：连接 ，交 于点 , 连接 .1AB1OD 、 分别是 、 的中点，ODC 3 分1AC 平面 ， 平面 ，1BO1ABD 平面 6 分1D （2） 为 的中点 7 分M1C 证明如下： 在正三棱柱 中， ，四边1AB1BC 形 是正方形1 为 的中点， 是 的中点， ， MCD1DBCM 9 分 ， 1B1BC 又 ，12 O M D C 1B1 A1 CB A ， 11 分12CBMD1BMD 是正三角形， 是 的中点，AC 平面 平面 , 平面 平面 ， 平面 ，1A1BCADBC 平面 DB 平面 ，M1C 13 分A ，1 平面 BD 平面 ，1A1 14 分M 17解：设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为 m 部， （1）原来利润为 元， 1 分(1805)30m 当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润为 ， 3 分2(8053)(%)1.7 ，即当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润变为原来1.271.089m 不赠送礼物时的 倍 4 分 （2）当赠送礼物的价值为 15x 元时，销售的总利润为 元，则()fx = ， （ 且 ） ，()18051)(1%)xfx5(201.m,N12x 8 分 ， 11 分()(.09).xffxm 令 ，得 ， 13 分1)1x 且 ，,xN2 当 时， ；当 时， ，9()(fxf912x(1)(fxf 数学试题第 9 页（共 15 页） 故当赠送礼物的价值为 150 元时，可以获得最大利润 15 分 18解：（1）令椭圆 ，其中 ，21mxny21,mnab 得 ，所以 ，即椭圆为 3 392714n,942194xy 分 （2）直线 ，:xyABab 设点 ，则 中点为 ，0(,)P,OP0(,)2xy 所以点 所在的圆的方程为 ，,MN22000()4yx 化简为 ， 5 分2200xy 与圆 作差，即有直线 ，24c 20:4cMNxy 因为点 在直线 上，所以 ，0(,)PxyAB1ab 所以 ，所以 ， 20()()04bca204xyc 得 ，故定点 ， 8 分 22,cxyb2(,)Eab 220(,)(,)4cOPExa 9 分 （3）由直线 AB 与圆 G： （ 是椭 22cxy 圆的焦半距）相离， 则 ，即 ， ，2abc224()abc2224()()acac 得 460e 因为 ， 所以 ， 11 分01e2035e 连接 若存在点 使 为正三角形，则在 中，,ONMPPMNRtOPN ，2Prc 所以 ， ，ab22()ab ，得222()()cc42310e 因为 ，所以 ， 1401e235 分 由， ，235e 所以 15510 分 19解:（1）由已知 )(1naf， )()(11nnakaff ),432(，得nak ,432 由数列 是等差数列，得 n11n)( 所以， 1n)(1nk， ),432(，得 k 4 分 （2）充分性证明：若 ，则由已知 01a，fxk 得 ，1()nnaf1na 所以， 是等比数列 6 分 必要性证明：若 na是等比数列，设公比为 ，则有 ，q1naq*N 由 及 得11()()nffka1()nnf211()nnka 又 ，20 所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，1na21k 所以 ，() nfk 数学试题第 11 页（共 15 页） 当 时， 8 分2n 0122()nnafkka 若 ， ， （ ）1k()an 对 也成立 数列 是公差为 的等差数列，不可能是等比数列，所以 ，na()0f 1k ， ， （ ）1k 1nnkfa2 对 也成立 所以 ， 1()nnkaf 1()()nfafakk 由数列 是等比数列知， ，即 ，n ()01f()f 即 对任意非零实数都成立()fak 综上可得：数列 为等比数列的充要条件是 10 分n ()fxk1) （3）由（）知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，即 ，a2 12nak 是一个常数，1lnbk 故数列 是等差数列，设公差为 ，d 依题意 ，1 1 ()(2)2nSbnb ， 1(1) 1()()(2)()2mndmdmdnbdSnb 当且仅当 或 时， 是一个与 无关的常数，10bd 12d(1)mnS 不成立，1 2()dm 所以 ，即 ，0blnk 16 分4k 20解：（1） ， ， 1 分22()fx()fx 依题意， ，得， 4 分 21121a2a （2） , ， 5 分()3ln,Fxbx 3()Fbx(0,e 若 ， ， 在 上单调递减，e ()a(), 的最小值是 ，由 得， （舍去） ； 7 分()Fx()Fe()6 9be 若 ， ，令 得 ， 3be3bx()0x3 当 时, , 在 上单调递减; (0)x()0F(),b 当 时, , 在 上单调递增; 3(eb()x()3,e 所以 的最小值是 ，由 得， 9 分)Fx3Fb6b （3） ，结合图象猜测 (ge102x 只需证 ， ，故只需证012x21012()xxyege ， 2112xxe 即证： ，且 ， 12 分1 221()0xxe2 12()0xxee 设 ， ，当 时， ，2()xhe()h2()0hx 在 上是增函数， ， ，即2,12x1()hx ，11()0xxee 15 分 设 ，则 ，当 时， ，1()()xx1()()xe1x()0x 数学试题第 13 页（共 15 页） 在 上是减函数， ， ，即()x1,12x12()x 2 12)0xee 综上所述， 1612 分 理科附加题: 21 B解：设 ，由 得， ， 5 分abAcd1203cac 由 得， ，所以13cabcd0bd 所以 10 分230A 21 C解：离心率为 ，设椭圆标准方程是 ，12 2143xyc 它的参数方程为 是