高中数学 集合的含义及其表示课件（打包2套）苏教版必修1
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高中数学
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1 1 集合的含义及其表示 【课标要求】 1 了解集合的含义，体会元素与集合的 “ 属于 ” 关系 2 能选择自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 )描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 1了解集合相等的意义，体会集合中元素的“ 确定性 ” 、 “ 互异性 ” 和 “ 无序性 ” (重点 ) 2初步掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法 (难点 ) 【 核心扫描 】 1 集合中的元素的三个特性是指 、 2 元素与集合的两种关系为 和 ，符号表示为 和 . 3 集合的表示法主要有 和 两种， 有时还可以用 V e 表示集合 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 想一想： 0是空集吗？集合 是空集吗？ 提示 集合 0是以 0为元素的集合集合 是以 为元素的集合而空集是不含任何元素的集合，所以集合 0和 都不是空集 4 集合按含有限个元素和无限个元素可以分为 ，不含有任何元素的集合称为 ，记作 . 5 如果两个集合所含的元素 ( 即 A 中的元素 的元素， B 中的元素 ) ， 那么 称两个集合相等 有限集 无限集 空集 相同 都是 都是 2集合中元素的确定性，互异性和无序性的含义是什么？ 提示 确定性：对于给定一个元素 ， a A或 aA，二者必居其一 互异性：对集合 a和 b，则ab. 无序性：即对集合 集合 1,2,3和集合 2,1,3是两个相等的集合 1集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，其中互异性是重点，在求解集合中字母的取值时，一定要检验它是否满足集合中元素的互异性 2集合的描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共同特征的方式来表示集合的方法，它的一般形式为 x|p(x)，其中 p(x)表示元素共同特征 ) 名师点睛 3认识一个集合，首先要分清集合的表示法，其次是对描述法中代表元素的理解，另外，在不引起混淆的情况下，为了方便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素，比如整数构成的集合可写成 整数 ，但不能写成整数集 或 所有整数 等 题型一 有关集合的概念及元素的特性 【 例 1】 已知 A a 1,25a 1， 1，且 2 A，求 思路探索 注意到 a 2 1 1 ，由 2 A 知 a 1 2 或 2 a 2 5 a 1 2 ，解方程检验可得 a 值 解 2 A ，且 1 1 ， a 1 2 或 2 5 a 1 2 ， 解得 a 1 或 a 32. 当 a 1 时， A 2 ， 2,2 不符合元素的互异性，舍去 当 a 32时， A 52， 2 ，134 符合题意 a 的值为32. 规律方法 对于此类含有参数的集合问题， 一定要检验结果是否符合元素的互异性 【 训练 1】 已知 1,0， x，求实数 解 若 0 ，则 x 0 ，此时集合为 1,0,0 ，不符合集合中元素的互异性，舍去；若 1 ，则 x 1 ，当 x 1 时，集合为 1,0,1 ，舍去；当 x 1 时，集合为 1,0 ， 1 ，符合条件；若 x ，则x 0 或 x 1 ，由上面可知， x 0 和 x 1 都舍去综上所述， x 1. 题型二 元素与集合的关系 【例 2 】 已知集合 M x |x a b 2 ， a ， b Z ，判断下列对象是否是集合 M 中的元素， 并 说明理由 ( 1) x x 1 x 2 ， x 1 ， x 2 M ； ( 2) x x 1 x 2 ， x 1 ， x 2 M . 思路探索 检验 x 1 x 2 ， x 1 x 2 能否表示成 a b 2 的形式，若能则是 M 中元素，否则不是 M 中元素 解 ( 1) x M ，理由如下：设 a1，Z ，则 x ( 2 ( ，且 a2，Z ，所以 x M . ( 2) x M ，理由如下：设 a1，Z ， 则 x ( 2 2 ( 2 2 ( ，且 2 Z ，所以 x M . 规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性 【训练 2 】 已知集合 M x |x a ， b Z ，求证： ( 1) 若 k Z ，则 2 k 1 M ； ( 2) 若 p 、 q M ，则 M . 证明 ( 1) 2 k 1 ( k 1)2 M . ( 2) 设 p q a 1 ， a 2 ， b 1 ， b 2 Z , 则 ( ( ( a 1 a 2 b 1 b 2 )2 ( a 1 b 2 a 2 b 1 )2 M . 题型三 综合与创新题 【例 3 】 ( 14 分 ) 已知集合 A x |3 x 2 0 ( 1) 若 A 无元素，求实数 k 的取值范围； ( 2) 若 A 是单元素集，求 k 的值及集合 A . 审题指导 本题综合考查集合的 概念的意义及一元二次方程根的判别方法 【 题后反思 】 对于含参变量系数的方程要注意对系数分类讨论，注意理解集合元素的特征 【 训练 3】 已知集合 A x|2x 1 0，a R， x R (1)若 (2)若 解 ( 1) 当 a 0 时，原方程变为 2 x 1 0 ， x 12符合题意， 当 a 0 时，原方程为一元二次方程， 此时 4 4 a 0 ，即 a 1 ，方程的根为 x 1 符合题意 所以当 a 0 或 a 1 时， A 中只有一个元素 ( 2) A 中至多有一个元素，等价于 A 中有一个元素或 A 中没有元素 当 a 0 ， 4 4 a 0 ，即 a 1 时，原方程无实数根 由 ( 1) 知，当 a 0 或 a 1 时， A 中至多有一个元素 故 a 的取值范围为 a |a 0 或 a 1 误区警示 对集合中的参数理解不透，导致错误 【示例】 设 A x |x 2 k ， k Z ， B x |x 2 k 1 ， k Z ，C x |x 4 k 1 ， k Z a A ， b B ，则下列判断： a b A ； a b B ； a b C . 其中正确的是 _ 错解 思维突破 对于不同集合中的参数虽然属于同一范围，但不能确定它们就取相同值，在解题时一定要分开讨论，以免出错将集合 A ， B 中的 k 混为一谈设 a 2 k ， b 2 k 1. k Z ，则 a b 4 k 1 ， a b A ， a b B ， a b C ，事实上，集合 A 中的 不能决定集合 B 中 k 的取值，因此，开始设 a 2 k ， b 2 k 1 就错了 a A ， b B ， 可设 a 2 Z ，b 2 1 ， Z ，则 a b 2( 1 ， Z ， Z ， Z ， a b A ， a b B ，当 2 n ， n Z 时， a b 4 n 1 C ，当 2 n 1 ， n Z 时， a b 4 n 3 C ， 是错误的，正确答案是 . 正解 追本溯源 正确理解集合元素的特征是解决问题的关键 . 情境问题 我先自我介绍，而后请部分同学自我介绍一下 在介绍的过程中，同学们都不约而同地提及“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等词语，这些所涉及的范围与“学生 ” 相比，它们有什么区别，又有什么联系呢？ 数学建构 集合的含义： 一般地，由在一定范围内 不同的、确定的 对象的全体组成一个集合 构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素 数学建构 高一 (6)班学生； 高一 (6)班女生； 下列对象能构成集合的有哪些？不能构成集合的又有哪些？为什么？ 高一 (6)班喜欢数学的学生； 高一 (6)班高个子男生； 小结： 什么样的对象能构成集合？ 数学建构 集合的语言描述： 1用自然语言描述 高一 (6)班全体学生组成的集合； 2 用数学语言描述 高一 (6)班全体班干的集合； x|6)班学生 x|6)班男生 列举法 有限个元素 描述法 适用所有； ， ， ， 数学应用 例 1表示下列集合： 中国直辖市 方程 2x 3 0的解 不等式 2x 1 0的解集 中国国旗的颜色 方程 x 1 0的解呢？ 方程 x 3 0的实数解呢？ 空集 互异 用符号 表示 有限集常用列举法，确定、无序 无限集只能用描述法表示， x|P(x) 北京，上海，天津，重庆 北京，上海， 天津，重庆 数学建构 集合的分类 ： 元素的个数 有限集 无限集 空集 符号 描述法 列举或描述法 集合的表示法： 数学应用 小结：集合的确定性与无序性； 集合的相等 集合所含元素的个数； 例 2判断下列说法是否正确？说明理由 (1)所有的较小正数组成的集合； (2)1， ， ， ， 这些数组成的集合有 6个元素； (3)1， 3， 5， 7与 3， 1， 7， 5表示同一个集合； 23 641|212数学应用 例 3将下列用描述法表示的集合改为列举法表示： (1)(x， y)| x y 3， x N， y N (2)(x， y)| y 1， |x |2， x Z (3) x R | 2x 0 小结：常用数集的记法 数学建构 集合的表示形式： 字母表示 一般表达形式：集合 A，集合 P， 符号表示的特殊数集： 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 图形表示 数轴 文氏图 (1)若集合 A x 1 0 ，求实数 数学应用 例 4完成下列各题： (2)若 3 a 3， 2a 1， 4，求实数 a 小结：元素与集合的关系：属于 (aA)与不属于 (a A). 数学建构 小结：集合的确定性 元素的确定性 “不 属于 (a A) ” 两种关系，且二者必有一个存在，但不能同时存在 . 虽然集合的表达形式不惟一，但每一个集合所表达的对象是确定的 元素的确定性表现为：集合 之间只有 “ 属于 (aA) ” 与 数学应用 注： 读懂集合是完成有关集合问题的前提 1 已知集合 A x|x3 ， x R ， a ， b 2 ，则实数 a， b 与集合 2 15 3a A且 bA 数学应用 2用适当的方法表示下列集合： (1)(x， y)|2x 3y 12， x、 yN (2)y|y 2x 10， xZ， yN (3) xZ| Z (4)使 y 有意义的实数 x 43x2163用列举法表示下列集合 : (1) x x 1 0 (2) x 5的正约数 (3) x x 为不大于 10的正偶数 (4)(x， y) x y 2且 x 2y
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