北京大学2000年研究生入学考试概率统计与线_第1页
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北京大学 2000 年研究生入学考试：概率统计与线性规划试题 一、 （8 分）假设事件 A 与 Bi（i=1,2,.,n)相互独立，其中 B1,B2,.,Bn 两两不相容。证明 A 的补集与 B1+B2+.+Bn 相互独立。 二、 （10 分）已知随机变量 X 的分布函数为 试求将 X 标准化之后得到的变量 Y（即 Y(X)/ ，其中 和 分别表示 X 的期望和标准差）的分布函数。 三、 （12 分）设（X,Y)的联合密度函数为 其中，c 是某个待定常数。 试求：1、P XY1X0; 2、X 与 Y 是否相互独立。 四、 （8 分）在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松（Poisson)分布，根据以往大量的随机观测平均每小时有 36.73 人候车，请问一小 时内最可能在此车站候车的人数是多少？ 五、 （12 分）设总体服从区间0,上（0）的均匀分布，X1,X2,.,Xn 是从中抽取的一个简单随机样本。 试求：1、 的最大似然估计； 2、 的一个置信度为 1- 的置信区间 ( 0)。 六、 （10 分）某个厂家生产的 10 件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了 n 次，结果没有抽到次品，并由此接受这 10 件产品中没有 次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误？为了使得甲犯该类型错误的最大概率不超过 60%，他至少需要抽取多少次？ 八、(6 分) 试证明：若线性规划有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 九、(12 分) 线性规划的目标函数是 Max z，在用标准的单纯型法求解的过程中，得到下表(其中 a,b 是常数，部分数据有缺失)： C 2 5 8 0 0 0 Cb Xb B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X6 20 0 3 0 X2 B A 1/2 X4 8 -2 -1 1 Cj-Zj -2 1) 在答卷纸上画出此单纯型表，并在所有空格中填上适当的数( 其中可含参数 a,b)。 2) 判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。 (1)此解为最优解？请写出相应的基解和目标函数值。 (2)此解为最优解，此规划又有无穷多最优解？ (3)此规划有无界解？ (4)此解不是最优解，且能用单纯型法得到一下一个基解。 十、(12 分) 某地区有三个煤矿，专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单位：元/吨)： 。 已知三个煤矿的产量分别为 25000 吨，18000 吨，17000 吨；四个城镇的需求量分别为 12000 吨，15000 吨，18000 吨，24000 吨。若不能满足需求， 各城市的最低需求分别为 8000 吨，10000 吨，120
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