Hardy型不等式的研究 数学专业毕业论文.doc

hardy型不等式的研究research of hardy inequality摘要: 本文首先利用下列权函数:,得到新的加权hardy不等式:.下列是经典hardy不等式的特殊形式:,我们所得的结果正是对上述经典hardy不等式特殊形式的加强,其中,是p=8的hardy不等式的最佳常数.我们第二个工作是对下述经典积分型hardy不等式进行推广:其中,.获得了:,其中,.关键词: hardy不等式(离散型); hardy积分不等式; holder不等式; bernolli不等式; 权函数; 权系数research of hardy inequalityabstract: in this paper , by using the following weight function:.we get the new hardy inequality of weight coefficient: .the following formula is the special form of classic hardy inequality: .and is the hardy inequalitys optimal constant of p=8.the result we get is just a reinforcement of this special form of classic hardy inequality.the second job we do is a promotion to the classic integral type of hardy inequality:.assuming.then we obtain .and we define .key words : hardy inequality ; hardy integral inequality ; holder inequality ; bernolli inequality; weight function ; weight coefficientclassification : o178目 次摘要i目次iv1 hardy离散型不等式11.1 hardy离散型不等式简介11.2 加权hardy离散型不等式研究动态22 hardy积分型不等式32.1 hardy积分型不等式简介42.2 加权hardy积分型不等式研究动态53 hardy不等式的一个加强改进93.1 主要定理及其推论的称述93.2 主要引理93.3 主要定理及其推论的证明114 hardy积分型不等式的推广13参考文献16附录18学位论文数据集19 181 hardy离散型不等式1.1 hardy离散型不等式简介著名的hardy不等式表述为1:.（1.1）其中,（）,是最佳常数.自从1920年hardy首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作2-7.1988年,杨必成、朱匀华8对p=2建立了（1.1）的加强的不等式 2000年,黄启亮9对p=3/2建立了（1.1）的加强不等式 2000年,罗健英10对p=3建立了（1.1）的加强不等式 2005年,隆建军11对p=5建立了（1.1）的加强不等式. 2009年,赵利彬12关于p =7的hardy不等式的一个加强不等式1.2 加权hardy离散型不等式研究动态设,则 .（1.2）仅当时等号成立. .（1.3）仅当时等号成立,特别时,得到carleman不等式13.1998年,杨必成14在附加条件下,将（1.3）式改进为: .（1.4）令然后将原其中k换成n,得到15: .（1.5） .（1.6）特别地,时,得到16: .（1.7）2000年,rakotondratsimba,y. 17考虑了二维离散hardy不等式:,其中.2005年,马雪雅18对离散形式的经典hardy不等式进行推广,其中,得出以下结论:设,且,则下列两个命题等价:第一,存在常数,使得对任何非负单调递减的数列有下列不等式:第二,存在常数,使得对任意,有2006年,高明哲等19通过引入可变单位向量的概念并利用gram矩阵建立了holder不等式的一个改进,由此给出离散hardy不等式的一个很强的结果:设,且.如果,那么,其中,是可变单位向量.2 hardy积分型不等式2.1 hardy积分型不等式简介设,在上非负可积,则,等号成立当且仅当时,其中是最佳常数.自从1920年hardy首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作,以下对目前已经得出的部分结论进行阐述.1971年boyd20利用hardy不等式证明了下述结果:设在上非负可测,使得,则.其中是最佳常数.1979年, kokilasvili,v.m. 21证明了成立的充要条件是,其中,.1984年, kufner,a. 22证明了如下结论:设在上非负可测函数,则,其中, ,若.1992年, 匡昌继证明了,其中,.当时,当时,.1999年, pachpatte,b,g还利用fubini定理其多元形式.2.2 加权hardy积分型不等式研究动态令.,则oguntuase等23-24就,分别为的共轭指数,求出.设在上非负递增,为非负权函数,.则成立的充要条件是,其中, .1972年, muckenhoupt b25得出定理:设是上的非负局部可积函数,则对所有可测函数,不等式 ,成立的充分必要条件是:存在常数,使得对任意有,或者,1990年, arinomuckenhoup26在研究hardy-littlewood极大算子在lorentz空间中的加权有界性时,将问题转化为加权hardy不等式对所有非增函数成立时权函数的特征刻划,得出定理:设是上的非局部可积权函数,则对所有非负非增可测函数不等式成立,当且仅当存在常数,使得对,有.1989年, 丁勇证明了加权弱型hardy不等式:设,.在上非负可测,记,.1997年, burenkov,v.i.等27证明了差分型加权hardy不等式:设,是上非负权函数,使得,.若存在,使得,在上可测,则常数,使得 1999年, peter,w.等28证明了三维加权混合范数hardy不等式:,则.2004年, 杨必成29应用权函数的方法,建立一个hardy型积分不等的若干推广:设,.若,则有,进一步还有,2006年, 高明哲等30通过引入可变单位向量的概念并利用gram矩阵建立了holder不等式的一个改进,由此给出积分型hardy不等式的一个很强的结果:设,且,如果,那么,其中,是可变单位向量.2009年, 王文杰,何乐平31通过引入参数并利用holder不等式进行加强,从而建立了一些新的不等式:设,使,则有其中,而.3 hardy不等式的一个加强改3.1 主要定理及其推论的称述对于p=8的情形,目前还没有（1.1）式加强结果,本文对p=8建立（1.1）式的加强不等式,获得了:定理3.1.1 如果且,那么 推论3.1.1 如果且,那么 ,其中,是p=8的hardy不等式的最佳常数.3.2 主要引理引理3.2.1 （bernoulli不等式）设:（1）如果； . （3.1）（2）如果. . （3.2）引理3.2.2 .（3.3）其中, .证明: 令r=8/7,s=8,则,再令,则由holder不等式得 .（3.4）其中, =,又由于 .（3.5） 引理3.2.3 ,（3.6）当且仅当n=1等号成立.证明:由及bernoulli不等式知,当时有 （3.7）于是,当时（3.8）当时（3.8）中的.bernolli不等式及得 （3.9）引理3.2.4 设 ,（3.10）则当时有 .（3.11）证明: 先证,所以在,其次,由lagrange微分中值定理, 使3.3 主要定理及其推论的证明定理3.1.1的证明 由引理3.2.2、引理3.2.3、引理3.2.4得.（3.12）故有（3.12）及引理3.2.1得定理获证. 推论3.1.1的证明 易知为单调递增函数,且有上确界,即,故,从而.4 hardy积分型不等式的推广hardy积分型不等式32的表述:设,在上非负可积,则 （4.1）仅当时等号成立,其中是最佳常数.下面的目的是将不等式(4.1),推广到两个变量的情况,即:定理4.1 设是上的非负可积函数,为常数,令 （4.2）则 .（4.3）证明: 设,定义 .（4.4）则当,时,.分部积分产生: .（4.5）其中,故由（4.4）和（4.5）,得到 .（4.6）对指数和利用holder不等式,于是有.（4.7）将（4.7）带入（4.6）的右端,得到 .（4.8）利用不等式33 .（4.9）有 （4.10）从（4.4）,（4.8）和（4.10）,得到 （4.11）对（4.11）积分产生 （4.12）对（4.12）左端分部积分,利用（4.4）,得到 （4.13）利用holder不等式,有 .（4.14）利用（4.13）和（4.14）,得到 .（4.15）从（4.4）,（4.9）和（4.15）,有 （4.16）从（4.4）,（4.12）和（4.16）,得到（4.17）令,因和是任意的,故由（4.17）产生,即定理得证.参考文献1 hardy g h, little wood j e ,polya g p, inequalities , cambridge universitpress ,1952. 239-242.2 hardy g h , a note on two inequalities, london math, soc, 1936, 11:167-171.3 mitrinovic d s, pecaric j e and fink a m, classcal and new inequalities in analy-sis, kluwer academic publishers,1993.4 hardy g h, littlewood j e and polye g, inequalities, cambridge universitypress,1952. 5 christopher olutunde imoru, on some integral inequalities related to hardys,canad math bull, 1977,20: 307-312. 6 chan l y, some extensions of hardys inequalities, canad math bull, 1979.7 pachpatte b g, on a new class of hardy type inequalities, proc. royal. soc. edinb, 1987,105(a), 265-274.8 杨必成, 朱匀华,关于hardy不等式的一个改进, 中山大学学报(自然科学版),1998,37(1),41-44.9 黄启亮, 关于p=3/2的hardy 不等式的一个加强改进, 广西师范大学学(自然科学报),2000,18(1):21-23.10 罗健英, 关于p=3的hardy不等式的一个加强改进, 西南民族学院学报(自然科学版),2000,(04):25-28.11 隆建军,关于 p=5的hardy不等式的一个加强改进, 沙洋师范高等专科学校学报(自然科学版),2005,(05):46-48.12 赵利彬, 关于p =7的hardy不等式的一个加强改进, 佳木斯大学学报 (自然科学版) 2009 ,09,.27(5).13 陈计,叶中豪, 初等数学前沿, 南京: 江苏出版社,1996.14 yang bicheng and l.debnath, on a new generalization of hardy-hilberts inequa-lity and its applications, math anal appl ,1999, 233,484-497. 15 匡继昌, 常用不等式, 山东科学技术出版社,2004.16 alzer.h, on carlemans inequality, portugal.math,1993, 50(3): 331-334.17 rakotondratsimba.y., two-dimensional discrete hardy inequalities, acta math. hungar, 2000,86(3):213-236.18 马雪雅, 关于非增序列的加权hardy不等式,数学杂志, 2005, 25(6) .19 高明哲, hardy不等式的改进, 南京大学学报数学半年刊,2006.11, 23 (2).20 david.w.boyd, on the exponent of an osculatory packing , canad.j.math. 1971, 23:355-363 .21 kokilasvili,v.m, characterization of the besov-lipschitz and triebel-lizorkin spaces the case q1 soobsc, akad.nauk gruzin,1979, ssr96(1):37-40.22 kufner,a, discreteness and simplicity of the spectrum of a quasilinear sturm- liou ville -type problem on an infinite interval , pokroky mat.fyz. astronom,1984, 29(1): 29-40.23 james adedayo oguntuase and christopher olutunde imoru, new generalizations of hardys integral inequality, math.anal. appl, 2000, 241(1):73-82 .24 heining.h.p, fourier inequalities wish nonradial weightscanad, journal of math,1993, 45(1):104-116.25 muckenhoupt b, hardys inequality with weights, studia math 1972, 44(1).26 arino m and muckenhoupt b, maximal function on classical lorentz spaces and hardys inequality with weights for nonincreasing functions,trans amer math soc, 1990,32