数学与应用数学毕业论文-用矩阵秩研究空间直线、平面间的位置关系.doc

蒋春 用矩阵秩研究空间直线、平面间的位置关系用矩阵秩研究空间直线、平面间的位置关系蒋春（数学系 指导教师：杨忠鹏）摘要：判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系是解析几何课程中的重要知识，本文以矩阵秩为基本工具，结合线性方程组的理论去研究空间直线、平面间的位置关系，体现了高等代数与解析几何的结合。关键词：线性方程组 矩阵秩 平面 直线 位置关系 abstract: judging the location relationship of the plane to the plane ,the straight-line to the straight-line and the plane and the straight-line is an important knowledge in analytic geometry. studying their relationship with the theory of linear equations and the rank of matrix theory shows the combination of the higher algebra and analytic geometry. keywords: linear equations matrix order plane straight-line location relationship 1 引言 设实数域，是阶矩阵的集合，为矩阵的秩。 定义1.1 设是实数域上的一个线性空间，（）是中一组向量，是实数域的数，那么向量 称为向量组的一个线性组合，有时我们也说向量可以用向量线性表出。 定义1.2 一个向量组的一个部分组称为一个极大无关组，如果这部分组本身是无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都是线性相关。判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系是解析几何课程中的重要知识，用线性方程组解的理论和矩阵的秩去研究它们的关系，则体现高等代数与解析几何的完美结合。文献1、2、3，在本文定理的证明过程起到了关键的作用；在文献4的命题1中，讨论了两个平面的位置关系，但并没有给出证明过程，本文在定理3.1中将证明过程补充完整；在文献4的命题2中，给出了3个平面的八种位置关系，但并没有给出每一种位置关系如何用矩阵秩去判断，同时也没有给出证明过程，本文在定理3.2中给出每一种位置关系用矩阵秩的判断方法，同时补充了证明过程；在文献4的命题3中，讨论了两条直线的位置关系，但给出的直线方程是标准方程形式，同时也没有给出证明过程，本文在定理4.1中给出直线是一般方程形式，并以矩阵秩为工具，给出判断直线位置关系的方法，同时也给出了相应的证明过程；在文献5的定理1中，讨论了两条直线的位置关系，但给出的证明过程运用线性流形、子空间的知识，本文为使在内容上更加突出矩阵秩的作用，在定理4.1的证明过程也运用矩阵秩的相关知识，同时理4.1第的证明过程中也参考了该文献；在文献5的定理2中，讨论了直线与平面的位置关系，但并没有给出证明过程，本文在定理5.1中将证明过程补充完整；在文献6中用线性流形和方向子空间的知识讨论了多的平面间的位置关系，但并没有给出证明过程，本文在定理4.3中以矩阵秩为工具，给出多个平面间位置关系的判断方法，同时给出了相应的证明过程。本文工作是继承和发展该内容的具体情况。2 预备知识引理2.1 设空间两平面，的方程分别为：如果 ，那么平面与平面相交，它们的交线为一条直线。引理2.2 设空间两平面，的方程分别为：:；:两平面相交的充分必要条件是 ；两平面平行的充分必要条件是 ；两平面重合的充分必要条件是 。引理2.3 设线性方程组设数矩阵 ， 则当且仅当时方程组有解。并且时，方程组有唯一解；时，方程组有无数个解，并且基础解系含有解的个数等于，其中。引理2.4 设空间个平面，的方程分别设其矩阵， ；则当，个平面相交于一点；当，个平面相交于一条直线；当，个平面相重合。证明 设， ， 个平面方程构成的方程组为当，由引理2.3得方程组有唯一解，由于三维几何空间中一个点对应一个唯一的坐标，所以个平面相交于一点；当， 现设的极大无关组为，则线性无关，所以也是线性无关，则是的极大无关组，所以，由引理2.1、2.2得平面相交成一条直线，设为，对任意,若可以由线性表出，则有，由引理2.2得平面，重合，所以此时平面，仍然相交于直线；若可以由线性表出，则有，由引理2.2得平面，重合， 所以此时平面，仍然相交于直线； 若必须由线性表出,假设与相关，此时就不必由联合表出，所以，无关，同理，也无关，又也是线性无关，所以，两两无关，即， 又因为，由引理2.3得方程组有解， 所以，（否则方程组将无解）， 所以，由引理2.1、2.2得平面，两两相交于一条直线，又因为方程组有解，所以三条直线重合，即为一条直线，至此已证明当，个平面相交于一条直线；当，所以对任意的且，都有，由引理2.2得平面重合，由的任意性得个平面相重合。3 空间中平面与平面的位置关系3.1 空间两平面的位置关系定理3.1 设空间两平面，的方程分别为：:，:，设矩阵， 则当时，平面和平面重合；当时，平面和平面相交；当，时，平面和平面平行。证明 当，由引理2.4第可得平面和平面重合； 当，由引理2.4第平面和平面相交成一条直线；当，所以，由引理2.2平面和平面平行。3.2 空间三个平面的八种位置关系 定理3.2 设平面，的方程分别， ；设矩阵,现记的行向量，；的行向量，；则当时，三平面相交于一点；当，时，若对任意的, ，,使得 ，则三个平面两两相交围成一个三棱柱；当，时，若存在, ，,使得，则平面和平面平行，它们和另一个平面相交；当时，若对任意的, ，,使得，则三个平面两两相交于同一条直线；当时，若存在, ，使得 ，则平面和平面重合,与另一个平面相交；当，时，若对任意的, ，,使得 ，则三个平面平行（无重合情况）；当，时，若存在, ，,使得 ，则平面和平面重合,与另一个平面平行；当时，三平面重合。证明 设方程组当时，由引理2.4第得所以三平面相交于一点（图1a）。 当， ，若对任意的, ，使得，所以，由引理2.1、2.2得平面，相交成一条直线， 所以三个平面两两相交成一条直线，且都不同，又因为，由引理2.3得方程组无解，所以三个平面两两相交围成一个三棱柱（图1b）。当，时，又存在, ，使得，所以平面和平面平行，且，其中另外一个平面。所以， ，由引理2.1、2.2得平面，相交成一条直线，平面，相交成一条直线，所以平面和平面平行，他们和另一个平面相交（图1c）。当时，由引理2.3、2.4得方程组有解，且3个平面交于一条直线，又对任意的的, ，使得，此时定有（否则有，此时方程组无解），所以有，由引理2.1、2.2得平面和平面相交成一条直线，又由,的任意性和3个平面交于一条直线可得三个平面两两相交于同一条直线（图1d）；当时，由引理2.4第得3个平面交于一条直线，又存在, ，使得 ，由引理2.4第得平面和平面重合，所以平面和平面重合,与另一个平面相交（图1e）；当，时，又对任意的, ，,使得 ， 又因为，所以，由引理2.2得平面和平面平行，又由,的任意性，则三个平面平行（无重合情况）（图1f）；当，所以对任意的, ，所以，由引理2.2得平面和平面要么平行要么重合，又存在， , ，使得 ，所以 ，由引理2.2得平面和平面重合，又因为，由引理2.3知得方程组无解，所以平面和平面重合,与另一个平面平行（图1g）；当时，由引理2.4直接可得三平面重合（图1h）。3.3 空间多个平面的位置关系定理3.3 设平面，的方程分别,，设矩阵 ， 则当时，个平面重合；当，时，个平面中至少有两个平面平行，其余的与这两个平面平行或者重合；当（）时，个平面相交于一条直线；当，（）时，任两个平面的交线（若有的话）互相平行且至少有两条交线当（）时，个平面相交于一点；当，（）时，至少有三平面相交于一点且该点不属于其余平面中的一个。证明 设， ，；， 个平面方程构成的方程组为当，由引理2.4第得个平面重合；因为，所以对任意的,，所以，由引理2.2得平面和平面要么平行要么重合，又因为，所以存在，, ，使得 ，所以 ，由引理2.2得平面和平面平行，所以个平面中至少有两个平面平行，其余的与这两个平面平行或者重合；当时（），由引理2.4第得个平面相交于一条直线；当，（）时，因为，即，设的极大无关组为，其中，所以，所以 ，由引理2.1、2.2得平面和平面相交成一条直线，设为，对任意， 若可以由线性表出，则有，由引理2.2得 与平行（包括重合），所以平面与平面相交，设交线为，又因为在平面，上，在平面，上，且与平行，所以与不相交，且他们都在平面上，所以与平行（当且仅当与重合时，与重合）；若可以由线性表出，则有，由引理2.2得 与平行（包括重合），所以平面与平面相交，设交线为，又因为在平面上，在平面，上，且与平行，所以与不相交，且他们都在平面上，所以与平行（当且仅当与重合时，与重合）；若必须由线性表出，所以，由定理3.2的第、第得平面，要么两两相交构成三棱柱，要么两两相交于同一条直线，设平面，的交线，平面，的交线，平面，的交线，所以三条交线，都平行（当且仅当任两平面都相交于同一条直线时重合）；又因为的任意性以及是与的选择无关的直线，所以对任意的一个平面，与的交线都与平行，所以个平面中任两个平面的交线（若有的话）互相平行且至少有两条交线；当（）时，个平面相交于一点，由引理2.4第得个平面相交于一点；当，（）时，由引理2.3得方程组无解，又因为，所以存在且，使得，由引理2.4第得平面相交于一点，设为点，现假设该点属于其他每一个平面，则点在每一个平面上，即所有的平面至少相交于点，这与方程组无解相矛盾，所以该点不属于其余平面中的一个，综上所述可得至少有三平面相交于一点且该点不属于其余平面中的一。4 空间中直线与直线的位置关系定理4.1 设空间两直线， 设矩阵， 则若，两直线相交；若，两直线重合；若，则两直线平行；若，则两直线异面。证明 设两条直线方程的构成的方程组为若，由引理2.4第得4个平面相交于一点，所以两直线相交；若，由引理2.4第得4个平面相交于一条直线，两直线重合；若，由定理3.1第可得两直线平行；若，。由引理2.3可知方程组无非零解，而两平面的平面束方程分别为，这说明两个平面束没有公共的平面，即两直线异面。此证明过程参考文献5，定理1。5 空间中直线与平面的位置关系定理5.1 设直线和平面，设矩阵，则若，则直线与平面相交；若，则直线与平面平行；若，则直线在平面上。证明 设直线方程与平面方程构成的方程组为若，由引理2.3得方3个平面相交一点，所以直线与平面相交；若，由引理2.3得方程组无解，所以直线与平面平行；若，由引理2.3得方3个平面相交一条直线，则直线在平面上。结束语：本文通过对用矩阵秩的方法去判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系的主要内容的研究。通过对已有成果的总结并在此基础上给出了文献4中并未给出的两个平面的位置关系的判断方法的证明过程，和三个平面的八种位置关系用矩阵的秩的判断方法；也给出献5中作者没有给出的平面间的位置关系的判断方法和文献6中作者没有讨论的三个平面的八种位置关系。总的来说本文工作是继承和发展该内容的具体情况。致谢：本论文在杨忠鹏教授的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择、方法论证到具体写作和修改，无不凝聚着杨忠鹏教授的心血和汗水。在四年的本科学习和生活期间，也始终感受着杨忠鹏教授的精心指导和无私的关怀。在此杨忠鹏教授表示深深的感谢和崇高的敬意。同时也要感谢莆田学院数学系给了我实现人生梦想的平台，让我在这里更清楚的认识了自己，也找到了人生的下一个目标。参考文献：1 吕林根，许子道.解析几何m.第三版.北京：高等教育出版社；2001.6：118.2