广西桂林百色梧州北海崇左五市2017届高三5月联合模拟数学（理）试题含答案

2017 年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合 模拟考试理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2|A x y x， | l n ( 1 )B x y x ，则 （ ） A 0, ) B (0,1) C ( 1, ) D ( , 1) 的四个命题：1p： | | 5z ；2p： 2 34 ；3p： z 的共 轭复数为 2 i；4p： z 的虚部为 1 ，其中真命题为（ ） A2p，3p，2p，4p， 4， 2， E 为线段 的点，则 E 的最小值为（ ） A 12 B 15 C 17 D 16 017 年第一季度五省 况图，则下列陈述正确的是（ ） 2017 年第一季度 量和增速均居同一位的 省只有 1 个； 与去年同期相比， 2017 年第一季度五个省的 量均实现了增长； 去年同期的 量前三位是江苏、山东、浙江； 2016 年同期浙江的 量也是第三位 A B C D ) 2 s i n ( 0 1 )f x x 在区间 0,3上的最大值为 1，则 （ ） A 14B 13C 12D a ， 3 ，3 1lo g c o s 5c ，则（ ） A b c a B C D c a b 该程序运行后输出的 B （ ） A 15 B 29 C 31 D 63 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 1a ， 3b ， 30A，B 为锐角，那么角 :A B C 的比值为（ ） A 1:1:3 B 1:2:3 C 1:3:2 D 1:4:1 该几何体的表面积是（ ） A 20 4 5 B 12 4 5 C 20 2 5 D 12 2 5 中，平面 平面 与 均为等腰直角三角形，且 90B A C B C D ， 2，点 P 是线段 的动点，若线段 存在点 Q ，使得异面直线 30 的角，则线段 长度的取值范围是（ ） A 2(0, )2B 6(0, )3C 2( , 2)2D 6( , 2) 为双曲线 22 115右支上一点， M ， N 分别是圆 22( 4 ) 4 和22( 4 ) 1 上的点，设 | | | |N 的最大值和最小值分别为 m ， n ，则 |（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 示一个两位数，十位数和个位数分别用 a ， b 表示，记 ( ) 3f a b a b a b ，如(1 2 ) 1 2 3 1 2 9f ，则满足 ()f ab 的两位数的个数为（ ） A 15 B 13 C 9 D 7 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 ） x ， y 满足不等式组 1 2 ,1 1, 则 11yz x 的最大值是 s in c o ， ( , )2，则 分别与曲线 21， x x 交于 A ， B ，则 |最小值为 满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1；圆心到直线 l ： 20的距离为 d 当 d 最小时，圆 C 的面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 22且1a， 4 ，4 n 项和为 （）求数列 （）设数列2n 的前 n 项和为证： 3 好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第 y （单位：万件）之间的关系如表： x 1 2 3 4 y 12 28 42 56 （）在图中画出表中数据的散点图； （）根据（）中的散点图拟合 y 与 x 的回归模型，并用相关系数甲乙说明； （ ）建立 y 关于 x 的回归方程，预测第 5 年的销售量约为多少？ 附注：参考数 据： 4 21( ) 3 2 . 6 ， 5 ， 41418 参考公式：相关系数 12211( ) ( )( ) ( )x y x y y， 回归方程 y a 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1122211( ) ( )()i i x y y x y n x x x n x ， a y 正三棱柱1 1 1 B C中，点 E ， F 分别是棱12B （）证明：平面 平面11 （）若 2C，求二面角 C 的余弦值 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 22e以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为 8，面积为 23 （）求椭圆 C 的方程； （）若点00( , )P x 上一点，直线 l 的方程为003 4 1 2 0x x y y ，求证：直线 有且只有一个交点 ) ln nf x m ，曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切 线方程为 1 （）求实数 m ， n 的值； （）若 1， ()2， ( ) ( )2f a f ， ( ) ( ) 1b f b a f ，试判断 A ，B ， C 三者是否有确定的大小关系，并说明理由 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 3 co s ,3 （ 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 c o s ( ) 33 （）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 等式选讲 已知函数 1( ) | |2f x x a a （ 0a ） （）若不等式 ( ) ( ) 1f x f x m 恒成立，求实数 m 的最大值； （）当 12a时，函数 ( ) ( ) | 2 1 |g x f x x 有零点 ，求实数 a 的取值范围 2017 年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试理科数学试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 14. 43 三、解答题 17.（）解：根据题意，等差数列 公差为 d ，422且1a， 4 ，4 0a， 即 11113 2 ( ) ,( 3 ) 1 6 ,a d a da a d 解得1 2a， 2d ， 所以数列 1 ) 2 2 ( 1 ) 2na a n d n n （）证明：由（）知1 2，则 2( 1 )222n n n n ， 122nn nb n 1 2 32 3 4 12 2 2 2 ，（ *） 2 3 11 2 3 1 2 2 2 2 2 ，（ *） 1 2 3 11 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 ， 11 2 1 111( 1 )1 1 1 1 1 1 1222 2 3 312 2 2 2 2 2 212nn n n n n nn n 3 ）作出散点图如图： （）由（）散点图可知，各点大致分 布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得： 52x ， 692y ， 41418 ， 4 21( ) 3 2 . 6 ， 4 2130 ，4 4 41 1 15( ) ( ) 4 1 8 1 3 8 7 32i i i i ii i ix x y y x y x y ，44 22 2 2115( ) 3 0 4 ( ) 5 2 . 2 42x x n x ， 41442211( ) ( ) 730 . 9 9 9 62 . 2 4 3 2 . 6( ) ( )x y x y y y 与 x 的相关系数近似为 明 y 与 x 的线性相关程度相当大， 可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系 （）由（）知： 52x， 692y， 41418 ， 4 2130 ， 4 21( ) 5 ， 1221735y n x n x， 6 9 7 3 5 22 5 2a y b x ， 故 y 关于 x 的回归直线方程为 73 25， 当 5x 时， 73 5 2 7 15y ， 所以第 5 年的销售量约为 71 万件 19.（）证明：取线段 中点 G ，取线段 中点 M ，连接 则 12M G E C B F， 又 / / / /M G F， 平行四边形，故 /G C ，平面11 平面 平面11平面 C ， 平面11 /G ， 平面11 平面 平面 平面11 （）以 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 M ，则 (1, 0, 0)A ，( 1,0,0)C ， ( 1, 0, 2)E ， (0, 3,1)F ， ( 2 , 0 , 0 ) ， ( 1, 3 , 1) ，( 2 , 0 , 2 ) ， 设平面 一个法向量1 1 1( , , )m x y z， 则有 0,0,m F 即 11 1 12 0 ,3 0 ,xx y z 令1 1y，则 (0 ,1, 3 )m ， 设平面 一个法向量2 2 2( , , )n x y z， 则有 0,0,n F 即 222 2 22 2 0 ,3 0 ,y z 令2 1x ，则 (1, 0,1)n ， 设二面角 C 的平面角 ， 则 | | | 3 | 6c o s | c o s , |4| | | | 22 ）依题意，设椭圆 C 的方程为 22 1 ( 0 )xy ，焦距为 2c ， 由题设条件知， 48a ， 2a ， 12 2 2 32 ， 2 2 2 4b c a ， 所以 3b ， 1c ，或 1b ， 3c （经检验不合题意舍去）， 故椭圆 C 的方程为 22143 （）当0 0y 时，由 2200143，可得0 2x ， 当0 2x ，0 0y 时，直线 l 的方程为 2x ，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 (2,0) 当0 2x ，0 0y 时，直线 l 的方程为 2x ，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 ( 2,0) 当0 0y 时，直线 l 的方程为001 2 34 y ，联立方程组00221 2 3 , 消去 y ，得 2 2 2 20 0 0 0( 4 3 ) 2 4 4 8 1 6 0y x x x x y 由点00( , )P x 上 一点，得 2200143，可得 22004 3 1 2 于是方程可以化简为 220020x x x x ，解得0 将0入方程001 2 34 y 可得 0，故直线 l 与曲线 C 有且有一个交点00( , )P x y， 综上，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点，且交点为00( , )P x y ）2( ) 由于 (1 ) 0 ,(1 ) 1,m n 所以 1m ， 0n （）由（）知 ( ) x x （ i） l n l nl n l n 1 022 2a b a b a , 而 ，故 （ ii）l n l nl n ( 1 )2a b b b a 1 ( ) l n l n l a b b a a b 设函数 ( ) ( ) l n l n l x x a x x a a x a ， (0, )x ， 则 ( ) l a x x x a ，2()( ) a x x x a 当 时， ( ) 0，所以 ( ) ,+ )a 上单调递增； 又 ( ) ( ) 0g x g a，因此 () ( , )a 上单调递增 又 ，所以 ( ) ( ) 0g b g a，即 0，即 （ l n l n l n l b a a a 1 ( l n l n )22a b a bb a a 设 ( ) l n l a x ah x x a x a ， (0, )x 则 1 1 1( ) l n l 2 2ah x x ，有2( )x 当 时， ( ) 0，所以 () , )a 上单调递增，有 ( ) ( ) 0h x h a 所以 () , )a 上单调递增 又 ，所以 ( ) ( ) 0h b h a，即 0，故 综上可知： A C B ）因为直线 l 的极坐标方程为 c o s ( ) 33， 即 13( c o s s i n ) 322 ，即 3 2 3 0 曲线 C 的参数方程为 3 co s3 （ 是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 ， 可得 22193 （）设点 ( 3 c o s , 3 s i n )P 为曲线 C 上任意一点，则点 P 到直线 l 的距离 | 3 2 c o s ( ) 2 3 | 3 c o s 3 s i n 2 3 | 422d ， 故当 c o s ( ) 14 时， d 取最大值为 3 2 2 32 ） 1( ) | |2f x m x m a a ( ) (