2012年安徽普高专升本公共课统考《高等数学》试题答案解析.pdf

1 安徽省 2012 年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 高等数学 注意事项：注意事项： 1试卷共 8 页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。 2答题前将密封线内的项目填写完整。 一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字 一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字 母填在题后的括号内。共 母填在题后的括号内。共 10 10 小题，每小题 小题，每小题 3 3 分，共 分，共 30 30 分）分） 1.若函数 + = 0 , sin 0 , 3 ) ( x a x x x e x f x 在 0 = x 在处连续，则 = a （ c ） a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 解：由 ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( f f f = = + 得 2 3 1 = = + a a ,故选 c. 2.当 0 x 时，与函数 2 ) ( x x f = 是等价无穷小的是（ a ） a. ) 1 ln( 2 x + b. x sin c. x tan d. x cos 1 解：由 1 1 ln( lim 1 ln( ) ( lim ) 2 2 0 ) 2 0 = + = + x x x x f x x ,故选 a. 3.设 ) (x f y = 可导，则 ) ( x e f =（ d ） 参见教材 参见教材 p15,例 p15,例 19.19. 当 1 x 时，与无穷小量 ) 1 ( x 等价的是（ ） a. 3 1 x b. ) 1 ( 2 1 x c. ) 1 ( 2 1 2 x d. x 1 参 见 教 材参 见 教 材 p26 ， 5. 2 sin2 0 ( ) 320 x x f x x xxkx x x x x x . 12设曲线 2 2 + = x x y 在点 m 处的切线斜率为 3,则点 m 的坐标是 ) 0 , 1 ( . 解： 1 2 + = x y ，由 1 3 1 2 = = + = x x y ，从而 0 = y ，故填 ) 0 , 1 ( . 13设函数 x x y arctan = ，则 = y 2 2 ) 1 ( 2 x + . 解： 2 1 arctan x x x y + + = , 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 1 1 x x x x x y + = + + + + = . 14 = + dx x x 2012 ) 1 (ln c x + + 2013 ) 1 (ln 2013 . 解： c x x d x dx x x + + = + + = + 2013 ) 1 (ln ) 1 (ln ) 1 (ln ) 1 (ln 2013 2012 2012 . 参见教材 参见教材 p46，15p46，15求下列函数的二阶导数（4） 2 arctan ) 4 ( 2 x x y + = 参见教材 参见教材 p46, 16p46, 16已知直线 x y 2 = 是抛物线 b ax x y + + = 2 上点 ) 4 , 2 ( 处的切 线，求 . ,b a 参见冲刺试卷 参见冲刺试卷 9,1 9,1 题题：函数 x x y = 2 ) arcsin(ln 的定义域为 ( ) a 2 0 2 2 1 ln 1 0 2 1 1 6 15 = + + dx xe x 0 1 = e . 解： e dx xe e dx xe x x = = + + + 0 0 1 . 参见教材参见教材 p128,例例 10计算 + 0 dx xe x 【解】【解】 1 lim 1 ) ( 0 0 0 = + = = = + + + + x x x x x x x e e x e xe e xd dx xe . 16幂级数 = 1 5 ) 2 ( n n n n x 的收敛域为 ) 7 , 3 . 解：由 1 5 2 2 1 5 lim 5 ) 2 ( 1 5 ) 2 ( lim ) ( ) ( lim 1 1 1 n ,且二次方程 0 4 2 = + + x y y 无实根的概率为 2 1 ,则 = 解：解：由于 x ) 0 )( , ( 2 n 方程 0 4 2 = + + x y y 有实根,则 4 0 4 16 = x p p ,故 =4. 参见教材参见教材 p277, 等于 则 则 上服从均匀分布 在 设随机变量 , 3 ) 3 2 ( , ) 0 )( , 0 ( . 3 = x d x 4 ) ( 2 ) ( 3 3 ) ( 3 3 2 ) ( d c b a 9 22求由方程 xy y x = 确定的隐函数的导数 dx dy . 解：两边取对数得 y x y x ln ln ln + = , 两边求导得 y y x y y x y + = + 1 1 ln , 从而 ) 1 ( ) ln 1 ( = x x y x y dx dy . 23计算定积分 2 2 2 2 1 1 dx x x 解：令 t x sec = ,则 , tan sec tdt t dx = 当 2 = x 时, 4 = t 当 2 = x 时, 3 = t . 所以原式= 3 4 2 tan sec tan sec dt t t t t = 3 4 cos tdt = = | 3 4 sin t = ) 2 3 ( 2 1 . 参见模考试卷参见模考试卷 1, 22设函数 ) (x f y = 由方程 ) ln( ln y x x y + = 所确定，求 . dx dy 参见冲刺试卷参见冲刺试卷 4, 21求 ) 1 sin 1 ( lim 2 x x x x 解：解：令 x t 1 = ，则 3 0 2 sin lim ) 1 sin 1 ( lim t t t x x x t x = 2 0 3 cos 1 lim t t t = t t t 6 sin lim 0 = 6 1 = 10 24求微分方程 0 2 = x e y y 的通解. 解：原方程可整理为 x e y y = 2 这是一阶线性微分方程,其中 x e x q x p = = ) ( , 2 ) ( . 所以原方程的通解为 + = c dx e x q e y dx x p dx x p ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 c dx e e e dx x dx + = . ) ( 2 c dx e e x x + = ) ( 2 c e e x x + = x x ce e 2 + = 25计算二重积分 d yd x 2 ,其中d 是由直线 2 2 2 = = = xy x y x 和 、 所围成的区 域. 解：区域 d 如图阴影部分所示. 故 d yd x 2 = x x y y x x 2 2 2 2 1 d d 参见教材参见教材 p115,例例 33求 1 2 2 . 1 dx x x 【解】【解】 运用第二换元积分法， 令 sec ,sec tan xt dxttdt = ， 当 2 x = 时， 2 3 t = ； 当 1 x = 时，t = ，则 1 22 2 2 33 sec tan ( 1) sec ( tan )3 1 dxtt dtdt tt x x = 参见冲刺试卷参见冲刺试卷 11,24 题题求微分方程 y e dx dy x 4 3 + = 满足初始条件 3 | 0 = = x y 的特 解. y y=2x xy=2 x o 1 2 4 2 11 = 2 1 2 2 2 2 d 2 1 | y y x x x = 2 1 4 )d 4 4 ( 2 1 x x | 2 1 5 ) 2 5 2 ( x x = 5 2 10 = . 26设矩阵 = 3 2 0 0 3 1 1 0 1 a ， , 2 3 1 = b 且满足 x b a b ax + = + 2 ,求矩阵 x. 解：由 x b a b ax + = + 2 可得 b e a e a b e a x e a ) )( ( ) ( ) ( 2 + = = 因 0 2 4 2 0 0 4 1 1 0 0 | | = = e a ,所以 e a 可逆, 参见参见教材教材 p162,例 例 4 4计算二重积分 2 2 d x dxdy y ，其中 d 由直线 2, yyx = 及双曲线 1 xy = 所围成. 【解解】画出区域d的图形，如图 57， 如图三个顶点分别为 1 (,2),(1,1),(2,2) 2 abc 由积分区域的形状可知，采用先x后 y 的积分次序较好， 即先对x积分. 22 22 3 1 222 11 1 11 () 3 y y y d y xx dxdydydxxdy yyy = 2 2 2 54 1 1 111 1127 ()() 33 2464 ydyy yy =+= o x y y=x y x 1 = 2 1 图 57 12 因此 b e a x ) ( + = = 2 3 1 2 2 0 0 2 1 1 0 2 = 2 5 0 27设行列式 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 ) ( + + + + = x x x x x d ,求 ) (x d 在 0 = x 处的导数. 解： 1 3 2 7 3 1 2 7 3 2 1 7 3 2 1 7 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 ) ( + + + + + + + = + + + + = x x x x x x x x x x x x d 2 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) 7 ( 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 ) 7 ( + = + + + + = x x x x x x x x ) 2 3 )( 7 ( ) 2 )( 1 )( 7 ( 2 2 + + = + = x x x x x x x x . 故 ) 3 2 )( 7 ( ) 2 3 )( 7 2 ( ) ( 2 2 + + + + = x x x x x x x d . 从而 14 ) 0 ( = d . 本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同. 本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同. 参见教材 参见教材 p200,例 p200,例 1,p201,例 1,p201,例 8, p202,例 8, p202,例 9,(2),p204 9,(2),p204 填空题 填空题 2. 2. 参见冲刺试卷参见冲刺试卷 9,28 题题已知 = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 2 0 2 0 2 0 1 0 2 b a ，若 x 满足 ax- ba=b+x求 x 13 28已知离散型随机变量 x 的密