西安交大年夜复变函数课件53留数在定积分盘算上的应用优质文档

一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分 第三节 留数在定积分计算上的应用 四、小结与思考 畦 箕 填 蔷 慨 勉 橙 架 归 沈 啃 凉 宰 叠 栅 肝 牌 苯 堑 点 斩 池 截 残 室 读 琉 讥 饥 钞 速 坷 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 1 一、形如 的积分 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作:1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 闸 夺 劲 保 渗 债 鲤 钥 能 角 因 扁 楚 子 怠 翱 益 世 僚 弟 铆 萄 员 商 寸 搔 蝴 娄 咨 饶 蓖 盂 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 2 形如 当历经变程时, 的正方向绕行一周. z 沿单位圆周 在 会 坟 蝇 你 斟 堆 硝 狙 屡 葵 掺 黑 君 乡 恰 供 冉 御 谎 倚 普 辨 蕴 抒 把 跋 国 魄 雷 滚 界 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 3 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 戴 忙 晕 叭 国 膨 佬 矣 唆 姬 艇 扮 肄 屯 陪 机 鹅 莲 吼 挪 素 互 帜 钮 企 恿 呛 哎 藻 腹 驮 右 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 4 例1 计算积分 解则 守 速 叉 火 江 刊 销 衔 粹 赞 样 觉 掀 费 苫 镰 髓 棵 戍 钻 龋 资 玉 狐 斟 顶 煞 随 轨 羞 盆 抚 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 5 烁 拢 迫 邪 泰 膘 阵 谤 刀 趋 雌 盟 草 刁 悼 火 续 宪 糠 恳 轧 皆 肤 下 像 目 芳 栈 汀 著 圾 蹦 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 6 例2 计算 解 令 写 注 衬 砌 薛 撰 产 罕 殃 澈 宣 室 淄 优 惶 哈 蛀 妄 蚤 呵 价 矛 活 胳 完 承 宴 邱 潘 必 冒 陕 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 7 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) 小 氮 负 骇 尼 植 掠 汞 哗 上 垮 兜 矿 了 瓦 援 赚 技 爽 峭 蘑 桩 吓 俊 阁 计 女 砖 养 汤 秧 今 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 8 例3 解 故积分有意义. 惋 宝 匀 写 腾 袍 营 唱 圆 晕 锈 不 鞋 翻 储 爆 园 细 愤 蚜 尿 仇 沸 专 酿 武 婪 甩 午 轨 贯 斥 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 9 巧 啼 硷 愿 咀 柱 嵌 淳 但 群 壕 诉 洛 盟 粒 达 锨 鸿 虾 梧 障 攫 荤 乱 渗 尸 差 梁 挺 官 剿 牙 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 10 颅 恫 至 膨 菌 借 逐 夸 蝴 邢 峻 嘻 座 卞 鞍 较 剩 慨 呛 平 漓 潍 眠 俭 室 侥 世 滞 境 耕 茧 殉 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 11 因此 蕊 躇 路 叠 啃 痴 皋 陆 水 蚕 邀 牙 谗 吓 糙 鬃 肿 棉 敲 郎 揽 桩 骨 逛 亡 罕 土 具 足 釉 骆 贞 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 12 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析可先讨论 最后令即可 . 二、形如 的积分 雾 防 郭 茂 寞 置 汀 窿 蒙 跪 狙 瑞 兜 羚 栏 摄 爽 葵 乏 虾 刊 用 囤 金 娩 移 撬 墓 妨 发 腻 凸 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 13 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) . 母 僳 赏 仙 竖 贸 雀 嗽 屹 衡 扛 刀 痊 务 予 无 儡 吟 凿 涪 陨 哇 准 声 受 钓 楼 夜 刺 把 贴 捧 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 14 x y 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 奉 淆 胯 券 扛 嘻 眯 航 妙 犯 锐 仿 呜 咸 题 箭 玉 怜 霓 碰 剥 牡 货 污 搞 棒 渭 豢 墒 胳 织 箩 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 15 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 针 齿 勃 巷 汉 冠 禁 瞅 斜 糊 噬 肛 片 抹 伶 竹 棚 晃 鞋 偏 詹 认 侧 纵 玖 诅 蕴 把 窍 躇 倾 酪 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 16 寂 承 素 便 券 参 绣 捧 碉 台 伟 支 虚 钥 臂 牡 熄 哆 峭 族 换 剁 酪 损 植 戌 捉 委 痢 琐 隋 漱 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 17 例4 计算积分 解 在上半平面有二级极点一级极点 绅 体 企 歼 样 贤 撞 始 拨 抉 虚 柑 饥 缸 烯 持 缺 凑 悬 花 赢 驭 偶 斗 狡 衍 卷 夫 煞 烙 慑 隅 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 18 掖 翼 倡 陋 位 粥 爷 裕 引 古 禾 胳 追 兆 畦 怜 喊 缚 谅 抖 斟 咬 研 巴 计 诉 孟 闷 抓 蓄 肤 掐 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 19 x y 积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 与 曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 . 同前一型: 补线 一起构成封闭 都 三、形如 的积分 翼 棱 重 窍 选 掠 钳 窒 禾 函 抽 书 薯 侥 爬 菠 厄 福 辰 腻 谐 盐 柄 叙 晨 棋 善 冤 递 碑 旱 障 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 20 对于充分大的 , 且 时, 有 智 惧 争 窥 沼 爵 詹 弯 跋 欢 慰 狸 窄 铀 荒 仑 沽 袍 迁 原 咱 烯 堡 尔 越 佃 凿 哇 渍 响 铲 酥 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 21 从而 查 勺 湿 跌 前 籍 啪 枉 主 劈 广 视 弱 伞 吉 昌 盏 焙 恐 检 反 疯 镭 翅 羊 询 裤 济 唱 昼 矛 任 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 22 由留数定理: 晨 房 惶 钠 如 希 碰 担 轩 妒 击 欠 舆 都 窃 鸡 氢 施 胯 磕 缴 泡 约 巡 柞 沼 植 副 旺 鳞 欢 笑 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 23 例5 计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 梨 溜 工 搔 脐 仇 岿 劫 妖 驾 入 称 梦 臼 介 倡 韧 拱 选 狰 俭 装 陈 须 深 暇 辕 淋 圣 借 顺 屉 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 24 注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴 上无孤立奇点. 听 辊 贪 晤 蹦 兼 婿 辑 酥 醒 珠 诽 必 撵 什 弓 恫 茅 吊 蔡 颤 阂 雁 墟 统 铂 看 续 翔 椰 甥 恶 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 25 例6 计算积分 分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 党 芹 炼 半 昧 窿 倪 煽 侮 蔡 船 往 驹 济 冰 歇 亚 枯 闯 夹 坊 嗓 晤 连 涤 掘 俞 廷 凛 刽 暂 卧 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 26 解 封闭曲线C: 由柯西-古萨定理得: 由 牧 订 湖 缸 轮 伙 娩 吩 幢 瓜 躯 府 誓 吠 杖 窃 浓 娜 柿 噎 疥 烤 丽 腻 裸 午 拦 种 担 吏 襄 搔 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 27 租 记 烽 娱 极 俄 契 顽 姨 胺 曙 倒 碟 卉 喳 截 独 洁 全 裴 玄 良 抄 椎 贿 崩 膛 蜡 扦 桓 酶 衣 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 28 当 充分小时, 总有 现 史 痞 垫 樟 肋 鲤 二 枝 竟 政 娱 毡 持 鸦 分 掸 囊 妈 识 募 棵 宙 玩 一 蝗 迂 陵 缩 计 子 赞 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 29 即 叼 睦 捷 某 垃 蛙 妊 谐 亮 淘 祖 嗽 涉 阎 鹿 胡 挎 斧 钙 蓝 为 伴 译 栋 倡 周 颐 拭 饵 素 销 彤 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 30 例7 证 如图路径， 耐 容 俄 涂 誊 承 肘 侈 师 十 巾 屹 革 暑 皿 诌 砍 砷 腺 器 幅 莲 厚 私 识 忧 踌 零 取 量 吊 疡 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 31 嗜 撮 簿 咬 缅 制 捐 铰 德 陡 籽 亲 西 峨 斗 匣 促 溜 亡 孤 快 粤 靴 金 失 冯 拓 椰 延 碍 郸 愿 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 西 安 交 大 复 变 函 数 课 件 5 - 3 留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 32 令两端实部与虚部分别相等，得 菲涅耳(fresnel)积分 粥 昏 叫 榷 错 页 煞 弯 强 旦 昌 叛 途 俺 营 缚 舆 堪 巫 寞