高中数学人教b版选修1-1第三章《导数及其应用》名校好题汇编解析版

第03章 导数及其应用一、选择题：1. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】若函数在处的瞬时变化率为，且，则=（ ） A、2 B、4 C、 D、 【答案】B【解析】试题分析：由导函数的定义知：，所以答案为B考点：导函数的定义2. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】 曲线在点处的切线方程为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A【解析】试题分析：对求导得；由导数的几何意义得，代入直线的点斜式方程，化简得，所以答案为A考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义3. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如右图所示，则该函数的图象是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：由导函数图象知，函数在上为增函数；当时由小变大，则图象的增长趋势由缓到快，当时由大到小，则的图象增长趋势由快到慢，故选B考点：1、导数的几何意义；2、函数的图象【思路点晴】本题考查的是导数的应用，属于中档题；利用导函数的图象来判断原函数的图象时，记住口诀：“导函数看正负，原函数看增减”，导函数值越大，原函数增长或减小的趋势越快；由导函数图象知函数值在大于零，原函数为增函数；导函数在递增，即原函数切线的斜率递增，排除选项A、D；同理知原函数在上切线的斜率递减，排除C4. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：当时，有两个零点，不符合题意；当时，令，得函数的单调增区间为，单调减区间为；而，所以函数存在小于零的零点，不符合题意；当时，得函数的单调减区间为，单调增区间为；因为存在唯一的零点，且，所以极小值，即，而，因此满足题意考点：1、单调性；2、极值；3、分类讨论的思想【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于难题；本题中含参数，所以要分类讨论：当时，容易判断出不符合题意；当时，由于，时，；可知：存在使得，要使满足条件存在唯一的零点且，则必须使极小值，解出该不等式即可5. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】给出下列三个命题： 是增函数，无极值；在上没有最大值；函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.0【答案】A考点：导数相关的命题真假性判断。6. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】函数，为f (x) 的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af (a)f (b) Bf (a)f (b)Cf (a)f (b) Df (|a|)f (b) 。故选A。考点：单调性比大小。【方法点睛】比大小常用的方法是利用单调性，同时本题已知条件中有导数出现，所以考虑利用导函数判断单调性，但难点在于未知，因此求的值是解题的核心点。求导函数并将代入即可破题。7. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】 若函数对任意的都有恒成立，则（ ）A. B. C. D.与的大小不确定【答案】C考点：利用函数单调性比大小。【方法点睛】本题难度较大，但规律性比较强，只要练习几个题目，多思考即可突破。难点是如何依据已知条件及选项特征构造函数。对于的容易想到，然后求导可以判断函数g(x)的单调性并比大小；对于的可以想到,然后判断其单调性最后比大小即可。这些也要求我们应掌握一些常见的构造类型。8. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】函数的单调递减区间是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：易知定义域为R，可得导函数为。由得，所以函数的单调递减区间为。故选C。考点：利用导数求函数的单调区间。9. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：依题意知，.又因,则,所以曲线在点处切线的斜率为4。故选A。考点：导数法求切线斜率。10. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）A B C D【答案】D考点：导函数与函数的图像的关系。11. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】若函数对任意的都有恒成立，则（ ）A BC D与的大小不确定【答案】C【解析】试题分析：设，因为，所以,即函数在R上单调递增。又因,所以即。故选C。考点：利用函数单调性比大小。【方法点睛】本题难度较大，但规律性比较强，只要练习几个题目，多思考即可突破。难点是如何依据已知条件及选项特征构造函数。对于的容易想到，然后求导可以判断函数g(x)的单调性并比大小；对于的可以想到,然后判断其单调性最后比大小即可。这些也要求我们应掌握一些常见的构造类型。12. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D考点：利用导数求切线斜率范围，进而求切线的倾斜角范围。【思路点睛】求角的范围应先求出该角的某一三角函数的范围，作为切线的倾斜角，应先求出角的正切值，而其正切值是切线的斜率，同时某点的切线的斜率又是该点处的导数，因此本题应先求出导函数，然后求出导函数的值域即切线斜率（）的范围，从而求出角的范围。13. 【湖北省孝感高中20152016学年度高二上学期期中考试】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，存在，满足，即有负根，如图所示，当时，的图象可由的图象向左平移个单位得到，可知此时有负根一定成立；当时，的图象可由的图象向右平移个单位得到，观察图象可发现此时有负根的临界条件是函数经过点，此时有，解得，因此要保证有负根，则满足，故答案为C.考点：函数的性质及应用.【思路点睛】本题主要考察函数图象的性质、导数和解对数不等式，结合数形结合思想，函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，属于难题，本题表面上是函数的图象问题，实际上是利用导数求解函数的最值问题，巧妙厉害函数图象的交点与方程的解的关系，求解参数的取值范围，把几何问题转化为代数问题，数形结合一般都是认为把代数问题转化为几何问题来解决，其实也包含把几何问题转化为代数问题解决.二、填空题：1. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】曲线在点处的切线的倾斜角是_.【答案】【解析】试题分析：由题知，所以倾斜角为.考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义2. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】函数的单调增区间是_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，令导函数，解得，所以函数的单调增区间是.考点：1、导数的运算；2、函数的单调性3. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知曲线，点是曲线上的点，曲线在点处的切线是，与轴相交于点.若原点到切线的距离与线段的长度之比取得最大值，则点的坐标为_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以切线的方程为，即，令，得，所以点坐标为；原点到切线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以点的坐标为.考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义；3、最值问题【思路点晴】本题以数列知识为载体，综合考查了导数的运算、导数的几何意义，以及点到直线的距离公式、最值问题等，充分体现了命题人的智慧，属于难题；先根据导数的几何意义：在该点处的切线的斜率，求出切线方程，由点到直线的距离公式求得原点到切线的距离，代入表示出原点到切线的距离与线段的长度之比，结合基本不等式表示出最值即可4. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题12分）已知函数，.（1）求的值；（2）求函数的极大值.【答案】（1）的值为4；（2）函数的极大值为【解析】试题分析：（1）由函数解析式求出，而，所以的值为4；（2）由（1）知，易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为. 试题解析：（1）由函数得，而，所以的值为4；（2）由（1）知，令得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为.考点：1、求导运算；2、函数的单调性；3、函数的极值5. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】已知函数在处取得极大值，则的值为 【答案】3考点：函数的极值问题。三、解答题 1. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题12分）已知函数，.（1）求的值；（2）求函数的极大值.【答案】（1）的值为4；（2）函数的极大值为【解析】试题分析：（1）由函数解析式求出，而，所以的值为4；（2）由（1）知，易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为. 试题解析：（1）由函数得，而，所以的值为4；（2）由（1）知，令得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为.考点：1、求导运算；2、函数的单调性；3、函数的极值2. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题12分）已知函数在处有极值，其图像在处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间是（，0），（2，），单调递减区间是（0，2）；（2）实数的取值范围1.【解析】试题分析：（1）求出导函数，根据极值处导函数为零得，又切线与直线平行，得，两式联立即可求出函数的表达式；根据解析式列出单调性表格即可； （2）由（1）得在1，3的最小值是-4+，-4+141 试题解析：，由该函数在处有极值，故，即又其图象在处的切线与直线平行，故，即由，解得. ，（1） ，由得，.列表如下： 02+0-0+极大值极小值故的单调递增区间是（，0），（2，），单调递减区间是（0，2）.（2）由（1）可知列表如下：1(1,2)2(2,3)3-0+2-4+在1，3的最小值是-4+.-4+141.考点：1、导数的几何意义；2、极值；3、最值3. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】（本小题满分12分） 已知函数.(I)若在处取得极值， 求、的值；存在，使得不等式成立，求的最小值；(II)当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）【答案】(I) ;(II)【解析】试题分析：(I) 函数在处取得极值，所以,从而求出a、b的值；在存在，使得不等式成立，则只需利用导数求出函数的最小值,从而求出c的最小值；(II)当时，若在上是单调函数，即在上大于等于零或小于等于零恒成立，从而求出参数的范围。试题解析：（），定义域为 1分 在处取得极值， 即，所求值均为3分在存在，使得不等式成立，则只需 4分由 当时，函数单调递减；当时，函数 单调递增；当时，函数单调递减， 在处有极小值6分而又，因, ，故 。7分（）当 a = b 时，当时，则在上单调递增；8分当时， ，则在上单调递增；当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；11分综上可得，12分考点：存在性问题求参数范围；由单调性求参数范围。【方法点睛】存在性问题求参数范围。存在,使某不等式成立，求参数范围，常常将不等式化为，则问题等价于存在，使成立，从而转化为同时注意恒成立问题求参数范围与其区别及相似之处。4. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】（本题满分12分=5分+7分）设函数（1）若函数在时取得极小值，求的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）因函数在定义域内存在导函数，所以由在x=2时取得极小值可得，从而求出。因为导数等于零的点不一定是极值点，所以最后一定要验证此时函数是否取得极小值，否则容易出错；（2）函数在定义域内单调等价于或在定义域内恒成立，然后转化为函数求最值问题求解即可。试题解析：（1），即，即经检验可知满足题设5分（2）可得，函数的定义域为，7分由题知或在定义域内恒成立8分易知不可能恒成立，所以恒成立，即10分所以的取值范围是12分考点：函数的极值问题；由单调性求参数范围。5. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】（本题满分12分=5+7）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标【答案】（1）切线的方程为（2）的方程为，切点坐标为【解析】试题分析：（1）点在曲线上，所以先求出导函数并将x=2代入求出该点处的切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程；（2）题目中没有给出切点，所以先设出切点坐标（），用同（1）的方法表示出切线方程，然后将原点代入得到的一个方程，并结合求出值即可。考点：导数法求切线方程，注意题目中给出的点是否在曲线上。6. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二