1、3-3-2利用导数研究函数的极值

选修1-1 3.3.2利用导数研究函数的极值一、选择题1下列结论中，正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值答案B解析导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值故A，C，D项错2函数y13xx3有()A极小值1，极大值1B极小值2，极大值3C极小值2，极大值2D极小值1，极大值3答案D解析由y13xx3，得y3x23.令y0，即3x230，x1.当x1时，有ymax1313；当x1时，有ymin1311.3函数yx31的极大值是()A1 B0C2 D不存在答案D解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值4已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A极大值为，极小值为0B极大值为0，极小值为C极大值为0，极小值为D极大值为，极小值为0答案A解析由题意，得f(1)0，pq1f(1)32pq0，2pq3由得p2，q1.f(x)x32x2x，f(x)3x24x1(3x1)(x1)，令f(x)0，得x或x1，f，f(1)0.5设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A必有f(x0)0Bf(x0)不存在Cf(x0)0或f(x0)不存在Df(x0)存在但可能不为0答案C解析如：y|x|，在x0时取得极小值，但f(0)不存在6函数y2x2x3的极值情况是()A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值也有极小值答案D解析y3x22xx(3x2)，当x0或x时，y0，当x0，当x时取得极小值，当x0时取得极大值7函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A1个 B2个C3个 D4个答案A解析由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点8函数f(x)x的极值情况是()A当x1时，极小值为2，但无极大值B当x1时，极大值为2，但无极小值C当x1时，极小值为2；当x1时，极大值为2D当x1时，极大值为2；当x1时，取极小值为2答案D解析f(x)1，令f(x)0，得x1，函数f(x)在区间(，1)和(1，)上单调增，在(1,0)和(0,1)上单调减，当x1时，取得极大值2，当x1时，取得极小值2.9函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是()A1，1 B1，17C3，17 D9，19答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0得，x11或x21，f(3)17，f(0)1，f(1)3，f(1)1，f(x)在区间3,0上的最大值为3，最小值为17.10函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.又x(1,1)该方程无解，即函数f(x)在(1,1)上既无极值也无最值故选D.二、填空题11函数f(x)x33x27的极大值是_答案7解析f(x)3x26x，由f(x)0得，x0或x2，在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值，只有说法不正确13函数y的极大值为_，极小值为_答案13解析y，令y0得1x1，令y1或x1，当x1时，取极小值3，当x1时，取极大值1.14函数f(x)ex(sinxcosx)在区间上的值域为_答案解析f(x)excosx，0x，f(x)0，f(x)在上是增函数，f(x)minf(0)，f(x)maxfe，f(x)的值域为.三、解答题15求下列函数的极值f(x)x44x35.解析因为f(x)x44x35，所以f(x)4x312x24x2(x3)令f(x)4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递减不是极值单调递减极小值单调递增故当x3时函数取得极小值，且f(3)22.16(2009广州高二检测)设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间，的最大值和最小值解析(1)f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.从而，f(x)分别在区间(，1)，(，)上单调增加，在区间(1，)上单调递减(2)由(1)知f(x)在区间，的最小值为f()ln2.又f()f()lnlnln(1ln)0，则当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab最大值316ab因此，当x0时，f(x)取最大值，故b3，又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，于是有当x2时，f(x)取最小值，即16a329，a2.若a0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab极小值b16ab因此，当x0时，f(x)取最小值，于是b29，又f(2)16a29，f(1)7a29f(2)，故当x2时，f(x)取最大值；即16a293，a2.综上所述，或18已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求f(x)的导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(，2和2，)上都是单调递增的，求a的取值范围解析(1)由原式，得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)(x)，f(