立体及其交线课件

第五章 立体及其交线 第一节 平面立体的投影 第二节 曲面立体的投影 第三节 平面与曲面立体相交 第四节 两回转体表面相交 常 见 的 基 本 立 体 平 面 立 体 曲 面 立 体 棱柱 棱锥 圆柱 圆锥 圆球 圆环 第一节 平面立体的投影 1 棱柱的投影 2 棱锥的投影 平面立体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥 棱锥体 平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。 棱柱体 是平面立体各表面投影的集合 -由直线段组成的封闭图形。 平面立体的投影 5 由两个底面 和六个侧棱面组 成。侧棱面与侧 棱面的交线叫侧 棱线，侧棱线相 互平行。 1. 六棱柱 1 棱柱的投影 （1）六棱柱的投影视图 -无轴投影图 7 (2) 棱柱表面上取点 a a (a) (b) b b 点的可见性 判别： 若点所在 的平面的投 影可见，点 的投影也可 见；若平面 的投影积聚 成直线，点 的投影也可 见。 c c c （1）三棱柱的视图 由两个底面和 三个侧棱面组成。 侧棱面与侧棱面的 交线叫侧棱线，侧 棱线相互平行。 2. 三棱柱 三棱柱的 两底面为水平 面，在俯视图 中反映实形。 其余三个 侧棱面都是铅 垂面，水平投 影积聚，与三 角形的边重合 。 点的可见性判别： 若点所在的平面 的投影可见，点的 投影也可见；若平 面的投影积聚成直 线，点的投影也可 见。 由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相同。 m k k k m 用相对坐标，量取坐标差 的方法在表面取点。 m （2）三棱柱表面的点 2 棱锥的投影 1.棱锥的组成 由一个底 面和若干侧棱 面组成。侧棱 线交于有限远 的一点锥 顶。 s B a s a c s b C A S b”(c” ) a”c b 棱锥处于图示位 置时,其底面ABC是水 平面，在俯视图上反 映实形。侧棱面SBC 为侧垂面，另两个侧 棱面为一般位置平面 。 2.棱锥的投影三视图 s (c) s a a c b b c s b a 3.棱锥表面上取点 2 2 2 3 (3) 3 B C A S m m N 1 M 1 n n 1 二、平面立体的截交线 截平面 断面 断面的边界线是：截平面与立体表面的交线 截交线。 一、平面立体的截交线 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线 。 二、平面立体截交线的性质 三、平面立体截交线的求法 1. 平面与棱柱相交 作图方法: 1 求棱线与截平面 的共有点 2 连线 3 根据可见性处理轮廓线 12 12222 7 7 5 6 5 6 1 2 3 4 5 6 7 3 4 3 4 求截交线的实质是求两平面的交线 例题1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 例题2 求立体截割后的投影 7“ 11“ 8“ 8 7 11 1“2“ 10“ 5“ 6“ 9“ 4“ 3“ 9 6 1（3） 2（4） 10 5 1（2） 8 3（4） 10 （5） 9 11 （6） （7） 2平面与棱锥相交 例题3 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。 s a b cc”a” b” s Pv s” a b c 例题3 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。 s a b cc”a” b” s Pv s” (1) 求Pv与sa、sb、 sc的交点1、2、3为 截平面与各棱线的交点 、的正面投影 。 1 2 3 (2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。 1 1” 2” 2 3 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。 3” 具体步骤如下： a b c 1 2 3(4) 1” 3” 4” 1 2 4 3 例题4 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 y y 例题5 求立体切割后的投影 2 35 4 1 1 1 6 6 54 32 6 4 （5） 2 （3） 一、圆柱体的投影 二、圆锥体的投影 三、球体的投影 四、圆环的投影 第二节 曲面立体的投影 工程中常见的曲面立体,是回转体。 直母线生成的回转曲面称为直线回 转面如:圆柱面、圆锥面等。 回转曲面是由母线(直线或曲线)绕 定轴线作回转运动生成的。 曲母线生成的回转曲面称为曲线回 转面如:圆球面、圆环面等。 回转体的表面主要由回转曲面构成。 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。 回转体（面）的形成 回转面的术语 O O 顶圆 素线 赤道圆 喉圆 纬圆 底圆 母线 轴线 一、 圆柱体的投影 圆柱的形成 圆柱面上与轴 线平行的任一直 线称为圆柱面的 素线。 1.圆柱体的组成 由圆柱面和上 下两底圆组成。 圆柱面是由直 母线AA1绕与之平 行的轴线旋转而 成。 2.圆柱的投影 圆柱面的俯视 图积聚成一个圆 ，在另两个视图 上分别以两个方 向的外形轮廓线 的投影表示。 其上下底圆为 水平面,在俯视 图上反映实形， 在另两个视图上 分别积聚成为一 直线。 （1）分析圆柱轮廓线的投影一 （1）分析圆柱轮廓线的投影二 （2）圆柱投影对V面可见性的判别 前半面 可见 后半面 不可见 曲面的 可见性 的判断 轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据 （3）圆柱投影对W面可见性的判别 左半面 可见 右半面 不可见 曲面的 可见性 的判断 3.圆柱表面上取点 ( ) A (D) C c” 轮廓线的投 影是判断曲面 可见性的依据 ( ) B 利用积聚性先求出水平投影 a c 4.圆柱面上的曲线 曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影； 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。 利用积聚性 先求出侧面投影 注意求出特殊位 置的点（A、C） -特殊点 圆锥的形成 二、圆锥体的投影 圆锥面是由直母线 SA绕与它相交的轴 线OO1旋转而成。 1.圆锥体的组成 由圆锥面和底圆组成 。 S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线 称为圆锥面的素线。 S A O O1 2. 圆锥的投影 如图示位置，俯视图为一圆。另两个 视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥 底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向 的两条轮廓素线的投影。 (1) 圆锥的投影特点 轮廓线的投影 底圆的投影 (2) 圆锥可见性的判别V面 前半面 可见 后半面 不可见 曲面的可见 性的判断。 注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断 (3) 圆锥可见性的判别W面 左半面 可见 右半面 不可见 曲面的可见 性的判断。 3. 圆锥表面上取点 辅助素线法 辅助圆法 A a a 如何取圆的半径？ 圆锥表面上特殊位置的取点例： aa b b a b 4. 圆锥面上的曲线 求曲线上一系 列点的投影； 注意：特殊点 然后，再将这 些点的投影依次 光滑地连接起来 。 圆球的形成 三、 球体的投影 1. 圆球的形成 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线 旋转而成。 2. 圆球的投影 三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。 （1）圆球的投影特点 圆球的轮廓线的投影 （2）圆球可见性的判别 3. 圆球表面上取点 采用辅助圆法求圆球面上的点 圆的半径？ (c) (b) b b a a 圆球面上特殊点的求法 A为一般点； 例： c a (c) B、C为特殊点。 注意：特殊点 采用辅助圆法求圆球面上的线 4.圆球面上的曲线 一圆母线绕其所在平面内的一条轴 线作回转而成。 四、圆环的投影 1. 圆环的画法 2. 圆环的投影特点 主视图是 极限位置素线 和内、外环分 圆的投影； 俯视图是 上、下环面的 投影； 左视图与 主视图相同。 3. 圆环投影可见性的判别 由前向后看，此部分可见 由上向下看，此部分可见 圆环面上的辅助圆 m 1 2 4. 圆环表面上取点 m （n） 1 2 采用辅 助圆法求 圆环面上 的点或线 截交线 截平面截交线 截平面 第三节 平面与曲面体相交 1.截交线的性质： 截交线的形状取决于曲面立体表 面的形状及截平面与曲面立体轴 线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。 截交线是截平面与曲面立体表面 的共有线。 2.求平面与曲面立体截交线的一般步骤 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 先找特殊点，补充中间点。 3.具体的作图步骤 4.截交线上的特殊点 极限点 转向点 特征点 结合点 矩形椭圆圆 一、 平面与圆柱相交 截平面垂直于圆 柱轴线，截交线为 垂直于轴线的 圆 截平面平行于圆 柱轴线，截交线为 平行于轴线的 两条直线 截平面倾斜于圆 柱轴线，截交线为 椭圆 一、 平面与圆柱相交 例1 求圆柱被截切后的侧面投影 分析：截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。 作图方法: 1.求特殊点 1 1” 1 2 2” 2 3” 4” 3 4 2.适当求一般点 34 3.连线 4.处理轮廓线 作图方法: 表面取点法 注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45时， 截交线投影为圆。 例2 求圆柱截交线 解题步骤 1分析侧面投影为圆的一部分，截 交线的水平投影为椭圆的一部分； 2求出截交线上的特殊点、 ； 3求出若干个一般点、 ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 3 4 5 33“ 45 5 4 12 2“ 1“ 1 2 例3 求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影 该圆柱被侧平面截 切后,侧面投影为矩形; 被水平面截切后，水平 投影为圆。 轮廓线要不要？分析: 例4 求圆柱截交线 解题步骤 1分析 截交线为矩形、椭圆 及圆和直线的组合；截交线的 水平投影为已知，侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 2求出截交线上的特殊点、 、 、； 3求一般点； 4 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 3 3 1 1 2 2 4 4 5 5 3“ 2“ 5“ 1“ 4“ y y y y y y 例5 补画侧面投影 虚实分界点 二、 平面与圆锥相交 圆 椭圆 三角形 双曲线加直线段抛物线加直线段 截平面垂直于圆 锥轴线，截交线为 垂直于轴线的圆。 截平面倾斜且截平面 过锥顶，截交线为 两相交直线。 平面截圆锥（一） 截平面平行于圆锥轴 线，或截平面倾斜于 圆锥轴线，且 ，截交线为椭圆 。 截平面倾斜于圆 锥轴线，且= ，截交线为抛物 线。 平面截圆锥（二） 求圆锥截交线上点的方法 素线法 纬圆法 分析：截平面过锥顶,截交线为 三角形。 例题1求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影 作图： 例题2 求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正平面，截交线为 双曲线；截交线的水平投影和侧面投 影已知，正面投影为双曲线并反映实 形； 2求出截交线上的特殊点A、 B ； 3求出一般点C ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 a“ a a cb b“ b c“ c 最低点B最低点B 最高点A 一般点C 例题3 求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截 交线为椭圆；截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出一般点； 4光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 3 3 3 例题4 求圆锥截交线 a 2 3 1 4“5“ 1“ 1 a2“ 3“ 2 3 5 4 45 解题步骤 1分析 截平面为正垂 面侧平面，截交线为部 分椭圆和梯形的组合； 其水平投影为部分椭圆 和直线的组合，侧面投 影为部分椭圆和梯形的 组合； 2求出截交线上的特殊 点、 、 ； 3求出一般点、 4光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且 判别可见性； 5整理轮廓线。 圆 三、平面与圆球相交 截平面截圆球，截 交线为圆。 平面截圆球 纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬圆与截平面的交点。 求圆球截交线上点的方法 分析: 球面被侧平面截 切，侧面投影为圆；球 面被水平面截切，水平 面投影为圆。 轮廓线要不要 ? 轮廓线怎样处理 ? 例1 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影 例2 求圆球截交线 解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出若干个一般点A、B、C、 D； 4光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 1“ 2“ 1 2 3“ 4“ 3 4 5 6 5“6“ 7 8 7“ 8“ a“b“ c“ d“ b a c d 2 1 34 56 7 8 ab cd 2 2“ 1 例3 求圆球截交线 解题步骤 1分析 截平面为两个 侧平面和一个水平面， 截交线为圆弧和直线的 组合；截交线的水平投 影和侧面投影均为圆弧 和直线的组合； 2求出截交线上的特殊 点、 ； 3求出各段圆弧； 4判别可见性，整理轮 廓线。 3 33“ 1 2 四、立体的组合截切 例题1 求出物体切割后的投影 3 3 3 3“ 分析 复合回转体由圆锥、大小两圆柱组成； 作图 注意它们的连接关系，然后分别求出这些 基本回转体的截交线，并依次将其连接。 例题2 求作顶尖的水平投影 第四节 两回转体表面相交 两立体表面相交时，它们表面的交线称为相贯线。 1. 概述 立体与立体相交可分为三种情况： (1) 两平面立体相交。 (2) 平面立体与曲面立体相交。 (3) 两曲面立体相交。 1相贯线的性质及形状 相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯 线上的点是两立体表面的共有点; 由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的 空间折线或空间曲线； 不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同。 求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接， 并判可见性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的 交点，也称为贯穿点。 2求相贯线的方法 3判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧 面不可见，面上的交线就不可见。 2 曲面立体与曲面立体相交 两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的 空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共 有点。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲 面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。 一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊 情况为平面曲线或直线。 1.两回转体相交,交线为相贯线 相贯线 2.相贯线为二立体表面的公共线 3.相贯线一般为封闭的空间曲线 圆柱与圆锥 相贯线为二立体表面公共线 相贯线 相贯线 圆柱与圆柱 封闭的空间曲线 2 两回转体表面相交 一、曲面立体相贯线的性质图例 二、曲面立体相贯的三种基本形式 2 外表面与内表面相交； 1 两外表面相交； 3 两内表面相交。 三、求曲面立体相贯线的方法 1表面取点法 2辅助平面法 3辅助球面法 求曲面立体相贯线的方法有： 四、求相贯线的一般步骤 2求作相贯线上的特殊点。 3根据需要求出若干个一般点。 4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5整理轮廓线。 特殊点 分析: 1.相贯线水平投影不用求 2.相贯线侧面投影不用求 作图: 最前点 1 最后点 2 最低点 最左点 3 最右点 4 最高点 2.适当求一般点 3.连线 1 2 3 4 1 2 34 1 2 1.求特殊点 4 3 例1 求二圆柱的相贯线 1. 利用积聚性的表面取点法 圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交外表面与内表面相交 两内表面相交 例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影 a“(b“) ab c“ a b c d d“ (d)e“(f “) e f (e) (f ) g h y y g“(h“) g h c b (f ) 2、利用辅助平面法求相贯线 辅助面的选用原则 用水平面作为辅助平面求共有点 例5 求圆柱与圆锥的相贯线 yy PW1PV1 4“ yy 4 PV2PW2 3“ PV3PW3 5“ 1 11“ 2 2“ 2 4 5 3