量子力学复习题.pdf

1 第一章：第一章： 一、波粒二象性： 1、单缝衍射、双缝干涉证明光具有波动性， 黑体辐射、光电效应证明光具有粒子性。 2、波函数具有相位的不定性，即( ) r 与 ( ) i er 描述的是同一个量子态。 3、使用电子的平面波函数解释双缝干涉实 验，例题见第一章作业。 4、结合 Bohn 的统计诠释，解释什么是波粒 二象性。 波粒二象性是指物质同时具备波的特性及 粒子的特性。在测量中，微观粒子体现出不 可分割的特性，体现了粒子性，但粒子在空 间上的分布却由波函数来描述，根据 Bohn 的统计诠释， 粒子在空间某点附近出现的概 率正比于该点的波函数的模的平方。 波函数 的演化由波动方程（薛定谔方程）来决定， 体现了微观粒子的波动性。 二、波函数的意义： 1、设粒子的波函数是 ( ) r ，则在位置r 处 的体积元x y z 中找到粒子的概率是 2 ( ) rx y z 。 在位置( ,)x xdx之间找 到粒子的概率是 2 ( )dydzrdx 。 2、设粒子在动量空间的波函数是( )p ，则 在动量p 处的体积元 xyz ppp中找到粒 子的概率是 2 ( ) xyz pppp 则粒子动量 在(,) xxx ppdp范 围 内 的 概 率 是 2 ( ) yzx dpdppdp 。 3、 设粒子的波函数为 2/2 ( ) x xAe ， 求归 一化常数A。并说明 2 ( )xxd的物理意 义。 【 注 ： 请 利 用 高 斯 积 分 公 式 2 ax edx a 】 解：归一化条件是 2 2 2 22 1 4 1 2 1 4 ( )1 1 1 ( ) x x xdxAedxA A xe 2 ( )xdx的物理意义是在位置( ,)x xdx 范围中找到粒子的概率。 这里 A 只取实数，相当于自由相因子取为 1 了。 4 、 设 粒 子 在 动 量 空 间 的 波 函 数 为 2/2 ( ) p pAe ，求归一化常数A。并说明 2 ( )ppd的物理意义。 解：归一化条件是 2 2 2 22 1 4 1 2 1 4 ( )1 1 1 ( ) p p pdxAedpA A pe 2 ( )pdp的 物 理 意 义 是 在 动 量 ( ,)p pdp范围内找到粒子的概率。 这里 A 只取实数，相当于自由相因子取为 1 2 了。 三、坐标表象和动量表象 1、在一维空间中，动量为 0 p的动量本征态 用 Dirac 符号表示为 0 p, 它在坐标表象 下的形式为 0 x p 0 / 1/2 1 (2) ip x e ，它在 动量表象下的形式为 0 p p 0 ()pp。 2、在一维空间中，位置为 0 x的位置本征态 用 Dirac 符号表示为 0 x， 它在坐标表象下 的形式为 0 x x 0 ()xx，它在动量表 象下的形式为 0 p x 0 / 1/2 1 (2) ix p e 。 3、动量表象下的波函数和坐标表象下的波 函数的关系。 4、证明：在一维空间中，坐标表象下动量 算符的形式是 x i 。 证明： 一维的波函数的坐标表象和动量表象 的关系是 / 1/2 / 1/2 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) ipx ipx xx edx px edx 根据波函数在动量空间的统计诠释， 动量平 均值是 2 * * / 1/2 */ 1/2 */ 1/2 */ 1/2 ( ) ( )( ) 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) 1 ( ) (2) ipx ipx ipx ipx pppdp p pp dp x edxpp dp x edx pp dp x pedxp dp xied x p */ 1/2 * * ( ) 1 ( )( ) (2) ( )( ) ( )( ) ipx xp dp xiep dp dx x xix dx x x px dx 交换积分顺序，先积 所以在坐标表象下，动量算符的形式是 pi x 四、薛定谔方程 1、 写出在势场( )V r 中的粒子满足的薛定谔 方程。 2、 写出在势场( )V r 中的粒子满足的能量本 征方程。 五、流密度 1在 一 维 空 间 中 ， 概 率 密 度 * ( , )( , ) ( , )x tx tx t，利用薛定谔方程 证 明 概 率 流 密 度 的 形 式 为 * ( , ) 2 i j x t mxx 3 证明：一维的薛定谔方程是 22 2 ( , )( )( , ) 2 ix tV xx t tm x ，（1） 两边取复共轭得到 22 * 2 ( , )( )( , ) 2 ix tV xx t tm x （2） * (1)(2)得到， * 222 * 22 2 * 2 2 i t mxx m xxx 于是 2 * ( , )( , ) 2 x tx t tt i m xxx 根 据 物 质 概 率 密 度 和 流 的 关 系 ( , )( , )x tj x t tx 所以 * ( , ) 2 i j x t mxx 五、物理量的测量，量子态的坍缩 理解： 物理量的可能测得的值是该物理量算 符的本征值， 而测得该值的概率是量子态在 该本征态上分解系数的模的平方。 测得某值 后，量子态立刻坍缩成该值对应的本征态。 例题： 假设一个力学量算符 A的本征方程是 22 1 2 11 Aa Aa ，( 12 , 已经归一化) （1）如 果 一 个 粒 子 处 于 状 态 12 (12) i（波函数未做归一化） ， 对该粒子测量A这个力学量， 那么我们测得 1 a和 2 a的概率各是多少？ （2）如果某次测量粒子的A这个力学量得 到了结果 2 a， 写出测量后的时刻该粒子的波 函数。 解 ：（ 1 ） 测 到 1 Aa的 概 率 是 2 12 2 22 3 21 p i ， 测到 2 Aa的概率是 2 22 2 11 3 21 i p i ， （2）答： 2 六、量子态的演化 掌握：求解初态演化问题的常规解法，分三 步： （1）解能量本征问题，求出一系列的本 征能量和本征态； （2）初态在各本征态下分 解，用内积的方法求出分解系数； （3）各项 配上动力学相因子即为演化的解。 例 题 ： 假 设 粒 子 的 能 量 本 征 方 程 为 ,1,2,3. nnn HEn （1） 如果一个粒子在0t 时刻处于状态 (0) nn n c，则对于其后的任意时 刻t，波函数( ) t将是怎样的？ （2） 如果某次测量粒子的能量得到了结果 1 E，写出测量后的瞬间该粒子的波函数。 答：1、 / ( ) n iE t nn n tc e 2、 1 第二章：第二章： 一、一维势场能量本征态的一般性质： 4 1、势是实的，能量本征波函数一定是实函 数吗？ 否，因为自由相因子可以是复数，又或者在 反射透射问题中， 本征波函数就可以取为复 函数。 2、当势是实函数，能量本征波函数总可以 取为实函数。证明见书上 p27。 3、 势具有空间反射不变性，本征波函数一 定有确定的宇称吗？ 否， 比如有简并的时候就可以组合出没有确 定宇称的本征波函数， 比如在反射透射问题 中，本征波函数就没有确定的宇称。 4、 势具有空间反射不变性，如果能级 无简并，则本征波函数一定有确定的宇称， 证明见书上 p28。 5、 当势具有空间反射不变性 ( )()V xVx时，粒子的能量本征波函数 可能具有偶宇称( )()xx，也可能具 有奇宇称( )()xx 。 6、 能量本征波函数和波函数的导数总是连 续的吗？ 否，比如在势中，波函数导数就不连续。 7、 在有限势场中，能量本征波函数和波函 数的导数总是连续的，证明见书上 p29。 8、 规则势场中的能量本征态可以有 简并，比如在反射透射问题中，从左入射和 从右入射的本征解是能量简并的。 9、 规则势场中能量本征态如果是束 缚态， 则必定是非简并的， 证明见书上 p30。 二、束缚态问题： 1、对于一维无限深势阱，有限深势阱，谐 振子势， 分别画出最低的三个能级的波函数 的示意图，和对应的概率密度的示意图。例 题见第二章作业。 三、束缚态问题和反射透射问题： 掌握： 求解一维势场中的能量本征问题的一 般解法，分三步： （1）能量分区； （2）在选 定的能量区，再把空间分区，在各区给出形 式解(含待定参数)； （3）根据边界条件确定 解里面的参数。 要求会： 1、在空间各区会写出能量本征方程。 2、在任何能量区间，任何空间区域写出波 函数的形式 （1）能量EV处， 通式是( ) ikxikx xAeBe ，但还要会根 据实际情况写出最简的形式，比如 如果是左侧入射区，( ) ikxikx xeRe 如果是右侧出射区，( ) ikx xSe 如果是中间区，( ) ikxikx xAeBe （2）能量EV处， 通式是( ) xx xAeBe ，但还要会根 据实际情况写出最简的形式，比如 在左侧的经典禁区，( ) x xAe 在右侧经典禁区，( ) x xBe 如果是中间区，( ) xx xAeBe 还要会根据宇称选择系数，比如，偶宇称态 AB，奇宇称态AB （3）会写出指数上的参数和能量之间的关 系式 22 2 ()2 () , m VEm EV k 3、会写出边界的连接条件：波函数连续， 波函数导数连续。 4、会根据流的定义在各个空间区域写出流 的表达式： * ( )() 2 j x imxx ，会区分 入射流 i j、反射流 r j、透射流 t j。进而求 出反射系数 r i j R j ,透射系数 t i j T j 。 例题见第二章作业。 四、对势垒和势阱，会求解能量本征问 题，包括势阱中束缚态，势阱或势垒中 5 的反射透射问题。例题见第二章作业。 第三章：第三章： 一、算符的运算和性质： 1、记忆书上 54 页（9）式的几个对易关系 式，并会利用位置和动量的对易关系式 ,xpi ，证明角动量与位置、动 量、角动量之间的对易关系式。例题见第三 章作业。 2、算符的厄米共轭: 3、厄米算符： 4、证明厄米算符的平均值必为实数，证明 见作业。 5、实验上的可观测量，相应的算符必为厄 米算符。 5、证明厄米算符的本征值必为实数，证明 见作业。 6、证明厄米算符属于不同本征值的本征态 彼此正交，证明见作业。 二、力学量完全集的一些性质： 1、若两个算符对易，则它们可以有共同的 本征态，证明见书上 65 页。 2、两个互不对易的算符可以有共同的本征 态。比如, xyzlll 互不对易，但它们有共同 本征态 0,0 1 4 Y 。 3、 若两个算符的对易式 , 0A B 常数， 则 A和 B一定没有共同的本征态。因为它 们的不确定度要满足不等式， 书上p65页 （7） 式。 4、如果体系具有两个互不对易的守恒量， 系统的能级不一定是简并的。 比如 2 Hl， 有守恒量, xyzlll 互相不对易, 但有一个能级 0,0 1 4 Y 非简并，其他能 级简并。 记忆角动量算符的本征能级结构， 几乎可以 做任何判断题。 球谐函数 lm Y是 2 l 和zl 的共同本征态，满足 本征方程 2 2 (1),0,1,2. ,1.1, lmlm z lmlm l Yl lYl l Ym Ymlmllll 即 三、会计算关于球谐函数的测量、演化等问 题。例题见第三章作业，要会灵活运用。 例 如 ：假 设 一 个 粒 子 处 于 状 态 , lmlm l m c Y（已归一化） （1）对该粒子测量其轨道角动量的z分量 z l，可能测得的值是多少？ ,0,1,2mm 测得各值的概率是多少？ 2 lm l c z l的平均值是多少？ 22 z lmlm mllm lcmcm （2）对该粒子测量其总角动量 2 l，可能测 得的值是多少？ 2 (1),0,1,2l ll 测得各值的概率是多少？ 6 2 lm m c 2 l的平均值是多少？ 2 2 2 2 2 (1) (1) lm lm lm lm lcl l cl l （3）如果系统的哈密顿量是 2 2 zl H I ，其 中I是转动惯量，假设 0 时刻粒子处于上述 状态，求以后的任意t时刻粒子的状态。 该 系 统 的 能 量 本 征 方 程 是 2 22 22 z lmlmlmlmlm lm HYYYE Y II ，所以 lm Y对应的本征能量是 22 2 lm m E I ， 所以 任意t时刻粒子的状态 2 / , ( ) lm iE timt lmlmlmlm l ml m tc Y ec Y e （4）如果系统的哈密顿量是 2 2 l H I ，其 中I是转动惯量，假设 0 时刻粒子处于上述 状态，求以后的任意t时刻粒子的状态。 该 系 统 的 能 量 本 征 方 程 是 2 2 (1) 22 lmlmlmlmlm ll l HYYYE Y II ，所 以 lm Y对应的本征能量是 2 (1) 2 lm l l E I ， 所 以 任 意t时 刻 粒 子 的 状 态 /(1) , ( ) lm iE til lt lmlmlmlm l ml m tc Y ec Y e 第四章：第四章： 一、力学量随时间的演化 1、记忆并理解力学量随时间的演化公式 。 2、对于定态，是否一切力学量平均值都不 随时间变化？ 否，如果力学量算符显含时间，则其平均值 可以随着时间变。 3、对于非定态，是否一切力学量平均值都 随时间变化？ 否，守恒量的平均值可以不变。证明见书上 p78. 4、如果系统有一个守恒量，则系统的能量 本征态一定为该守恒量的本征态吗？ 否，如果能级有简并，则能量本征态可能不 是该守恒量的本征态。 比如 2 2 p H m 有守恒 量动量 p，但本征态sin()kx不是 p的本征 态。 5、设体系处于定态，则不含时力学量的测 量值的平均值和概率分布都不随时间变化。 证明见书上 p21。 6、自由粒子处于定态，动量不一定取确定 值。自由粒子能级简并，不同方向的动量本 征态可能具有相同的能量， 定态是能量的本 征态，不必是动量的本征态，所以不一定具 有确定的动量。 7、体系的守恒量的测量值总是确定值 吗？ 否，要看粒子在什么状态，如果不在守恒量 的本征态上，那么测量值就不确定。 8、 在定态下， 所有的物理量都是守恒量吗？ 否，守恒量的定义跟粒子的状态无关，只跟 哈密顿量有关。 9、两个无相互作用的费米子可以处于相同 的单粒子态吗？ 否，因为费米子要满足交换反对称性，导致 泡利不相容原理， 所以不能处于相同的单粒 子态。 而两个无相互作用的玻色子可以处于 7 相同的单粒子态， 因为它们的波函数满足交 换对称性。 第七章：第七章： 一、矩阵形式 1、 有一套正交归一完备基,1,2,3.kk 。 求量子态在这套基下的列向量形式 1 2 3 1 2 , 3 j a a A a aj 求算符L在这套基下的矩阵形式 111213 212223 313233 . . , . ij LLL LLL L LLL Li L j 2、有两套正交归一完备基k，求从 k Ak变换到B的方法。 k k k k kk k Bkk kk Sk SA BSA 求从 k 表象下的算符矩阵元 kj L变换到表 象下的算符矩阵元L 的方法 kj k kkjj k LL kkLjj kk L jj SL S LSLS 3、力学量在任何表象下的矩阵形式都是厄 米矩阵。 4、力学量在任何表象下的矩阵都具有相同 的本征值，因为表象变换不影响本征值。 第八章：第八章： 一 、 自 旋 算 符 的 矩 阵 表 示 01010 , 10001222 xzy i sss i 二、如果已知两个，要求会利用角动量对易 关系式 , ijijkk sssi求出另一个， 比如已 知 010 , 10022 xy i ss i ， 求 z s。 解： 22 , 1 010001 1 10001044 00 004 10 012 zxy zxyyx i ss s ss ss s i ii iii ii iii 2、会求解每个自旋算符的本征值和本征态 （并做好归一化） 。 解： （1） 8 2 2 01 , 102 2 det()0 2 2 x x s s 得到本征值 12 , 22 对于第一个本征值 1 2 ，设本征向量为 a b ，解方程 1 1 2 0 2 a b ，得到 ab， 所以本征向量为 1 a a ，归一化条件 2 * 11 2 21, 2 a aaaa a ， 所 以 第 一 个 本 征 值 和 本 征 态 1 1 2 , 122 x ； 对于第二个本征值 1 2 ， 设本征向量为 a b ，解方程 2 2 2 0 2 a b ，得到 ab ，所以本征向量为 2 a a ，归 一化条件 2 * 22 2 21, 2 a aaaa a 所以第二个本征值和本征态 2 1 2 , 122 x ； (2) 2 2 0 , 02 2 det()0 2 2 y y i s i i s i 得到本征值 12 , 22 对于第一个本征值 1 2 ，设本征向量为 a b ，解方程 1 1 2 0 2 i a b i ，得到 iab， 所以本征向量为 1 a ai ，归一化条件 2 * 11 2 21, 2 a aiaaa ia 所 以 第 一 个 本 征 值 和 本 征 态 1 1 2 , 22 y i ； 对于第二个本征值 1 2 ， 设本征向量为 a b ，解方程 2 2 2 0 2 i a b i ，得到 aib，所以本征向量为 2 a ia ，归 一化条件 2 * 22 2 21, 2 a aiaaa ia 所 以 第 二 个 本 征 值 和 本 征 态 9 2 1 2 , 22 y i ； (3) 10 , 012 z s 已经是对角矩阵，本征值 12 , 22 对于第一个本征值 1 2 ， 归一化的本征向 量为 1 0 z ； 对于第一个本征值 1 2 ， 归一化的本征 向量为 0 , 1 z 。 三 、 对 于 一 个 一 般 的 自 旋 量 子 态 a b ，会计算自旋算符的平均值，比 如，求 y s的平均值。 * * 0 , 02 , 22 y ia sa b ib ib a biabia b ia 四、会计算态的演化问题： 例题见第八章作业。 又比如：假设粒子的哈密顿量是 z Hs 假 设 粒 子 在 零 时 刻 的 状 态 是 1 1 (0) 12 ，求解以后的任一t时刻粒 子的状态( ) t以及自旋三分量的平均值。 解： 能量的本征问题求解如同 z s的本征问题 的求解，解出的本征值和本征态如下： 11 1 , 02 E 22 0 , 12 E 用线性组合法解演化问题： 12 1 111 (0) 1222 接下来的演化就是配上动力学相因子 12 / 12 /2/2 /2 /2 22 ( ) 22 10 22 0122 2 2 iE tiE t i ti t i t i t tee ee e e 自旋三分量平均值分别是 /2 /2/2 /2 /2 /2/2 /2 / /2 /2/2 ( )( )( ) 01 22 10222 4 4 cos/ 2 ( )( )( ) 0 22 0222 xx i t i ti t i t i t i ti t i t i ti t yy i t i ti t i t sttst e ee e e ee e ee t sttst ie ee i e /2 /2 /2/2 /2 / /2 /2/2 /2 /2 /2/2 /2 4 4 sin(/ ) 2 ( )( )( ) 10 22 01222 4 i t i ti t i t i ti t zz i t i ti t i t i t i ti t i t ie ee ie ieie t sttst