高中数学 第3章 三角恒等变换 3_3 几个三角恒等式例题与探究 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式例题与探究 苏教版必修4典题精讲 例1 (江苏高考卷，14) cot20cos10+sin10tan70-2cos40=_思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式.解：cot20cos10+sin10tan70-2cos40=-2cos40=-2cos40=-2cos40=-2cos40=2. 绿色通道：在求解三角函数的问题中,要注意这样的规律,即要“三看”： (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练 1(福建高考卷，理1) tan15+cot15等于( )A.2 B.C.4 D.思路解析：原式=4.答案：C变式训练 2计算：coscoscos.思路分析:通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将cos转化为sin，然后再利用二倍角的正弦公式进行求解.将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法.解：原式=cossin=sin=. 例2 若sin=,sin=,且,是锐角，求+的值.思路分析：可先求出+的某种三角函数值.但应当注意对+的角的范围进行讨论.解：,是锐角，cos=cos=.sin(+)=sincos+cossin=.又sin=,sin=，030,030.0+60.+=45. 黑色陷阱：此题在解出sin(+)=时，易误认为+=45或+=135.忽视了sin,sin的取值对,范围的进一步限制. 变式训练 已知cos(+)=,，求cos(2+)的值.思路分析:先将cos(2+)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意cos(+)=对+的限制，在求sin(+)时将会出现两种情况.解：cos(2+)=cos2cos-sin2sin=(cos2-sin2).，+0，+.sin(+)=-.cos2=sin(2+)=2sin(+)cos(+)=.sin2=-cos(+2)=1-2cos2(+)=.原式=(-)=.例3 (2006陕西高考卷，理17) 已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析：对于形如asin+bcos(a,b不同时为0)的式子可先引入辅助角变为Asin(+)的形式，再进行三角函数的化简,求周期和最值等.解:(1) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2sin2(x-)-cos2(x-)+1=2sin2(x-)-+1=2sin(2x-)+1,T=.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2k+,即x=k+(kZ).所求x的集合为xR|x= k+,kZ . 黑色陷阱：忽视题目中角与角的关系，即(2x-)与(x-)是二倍角的关系，思维受阻，同时在三角变换上出现计算错误. 变式训练 (2005重庆高考卷，文17) f(x)=-asincos(-)的最大值为2，试确定常数a的值.思路分析:首先分析已知函数式的特点和角的特点，然后根据三角关系式对f(x)进行化简，再来确定常数.解：f(x)=-asincos(-)=+asincos=cosx+sinx=sin(x+)(其中tan=a).由题意有+=4，解得a=.问题探究 问题1 对于三角函数的求值问题可归纳哪些类型? 导思:三角函数的求值问题可归纳为三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.需要注意的是以上无论哪种计算,每一步都要注意所给条件，特别是隐含条件对角的范围的限制而引起的值的范围的变化. 探究:(1)给角求值，一般所给的角都是非特殊角，需仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角的三角函数求解.(2)给值求值，实质上也是“给角求值”，关键也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示. (3)给值求角，实质上是“给值求值”，关键是根据条件求出所求角的某种三角函数值，再结合所求角的范围求出角. 问题2 求解有关三角函数的最值问题，总结起来有哪些方法？ 导思:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型，需要注意的是无论哪种方法都要注意角的取值范围引起的某些变量的变化范围. 探究:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型：(1)形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函数,先降幂再化为Acos(x+)+B的形式，利用sin的有界性求最值；(2)形如y=或y=的函数,利用反函数法解出sin、cos，利用sin、cos的有界性求最值；(3)可化为形如y=a(sinx-b)2+c或y=a(cosx-b)2+c的形式的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx和换元法转化为关于sinx+cosx的最值问题.配合各任