高中数学 第一章 计数原理 1_4 计数应用题课堂导学 苏教版选修2-31

高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、排列数、组合数的运算【例1】 已知,求.解析:已知条件可化为=.又n!,(m -1)!,(n m -1)!都是正整数,故有,即. 解得n=9,m=3.所以=56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形,在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.二、排列与组合的差别【例2】 某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法?解析:把六门课程看成六个元素,把顺序看成位置:(1)位置分析法:依第一节课的情况进行分类,有以下情况排法:第一节课排数学,第六节课排体育,共有种排法.第一节课排数学,第六节课不排体育,共有种排法.第一节课不排数学,第六节课排体育,共有种排法.第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有种排法.由分类计数原理,所求的不同排法共有=504种.(2)元素分析法:依数学课的排法进行分类,有以下情况的排法:数学课排在第一节,体育课排在第六节,共有种排法.数学课排在第一节,体育课不排在第六节,共有种排法.数学课不排在第一节,体育课排在第六节,共有种排法.数学课不排在第一节,体育课不排在第六节,共有种排法.由分类计数原理,所求的不同排法共有=504种.温馨提示排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是“先选之,再排队”.三、排列、组合的综合应用【例3】 从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名同学只能参加一种竞赛,且任2名同学不能参加同一种竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有72种不同的参赛方法,问一共有多少名同学?思路分析:若设共有n名同学,则我们可以用n把参赛方法种数表示出来,从而得到一个关于n的方程,解方程可求出n的值.解:设共有n名同学,首先从这n名同学中选出4人,然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:第一类,不选甲,则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛,有种参赛方式;第二类,选甲,首先安排甲,有种方法,再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛,有种方法,共有种参赛方式.由分类计数原理共有种方法,根据题意,得解得n =5温馨提示对于这类较为复杂的问题,往往会感到无从下手,如果从竞赛学科角度来思考,则需分很多情况,容易出错,而我们可以采取“先取后排”的原则,即首先取出符合条件的元素,再按要求把它们排起来,这样解答条理性强,有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简:.解:由于则=-1=(n+1)!-1.变式提升 1求的值.解:由知n满足3n13+n,由知n满足112n.联立得n,而nN *,所以n=6.所以原式=19+18+17+12=124.类题演练 2用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个不同的四位偶数?解:(1)直接法: =300;间接法: =300.(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数,同时暗含了首位不能是0,因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”,应优先处理;另一方面,0既是偶数,又不能排在首位,属“特殊元素”,应重点对待.方法一:(直接法)0在个位的四位偶数有个;0不在个位时,先从2,4中选一个放在个位,再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位,应有个. 综上所述,共有=156个.方法二:(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法,有个,其中第一位是0的有个,故适合题意的数有=156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)每盒至多一球,有多少种放法?(3)恰好有一个空盒,有多少种放法?解:(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子,共有4444=44=256种放法.(2)为全排列问题,共有=24种放法.(3)先将四个小球分为三组,有种,再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子,有种投放方法,故共有=144(种).类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种D.35种思路分析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台,它包括两种可能:2甲1乙或1甲2乙,所以可用分类计数原理和分步计数原理解决,另外也可以采用间接法.解:从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台,有种取法;从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有种取法,所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有=70(种).答