高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 平面解析几何 突破点13 直线与圆教师用书 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题五平面解析几何建知识网络明内在联系高考点拨平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升突破点13直线与圆(对应学生用书第167页)提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆.提炼2求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理(2)两个公式：点到直线的距离公式d，弦长公式|AB|2(弦心距d).提炼3求距离最值问题的本质(1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|r，最小值为|PC|r，其中r为圆的半径(2)圆上的点到直线的最大距离是dr，最小距离是dr，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦回访1圆的方程1(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_2y2由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.2(2014山东高考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_(x2)2(y1)24设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.回访2直线与圆的位置问题3(2016山东高考)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离B法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|0)x2(ya)2a2(a0)，M(0，a)，r1a.依题意，有，解得a2.以下同方法1.4(2015山东高考)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B或C或D或 D由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D. (对应学生用书第167页)热点题型1圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.(1)(2016黄山一模)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为12，则圆C的方程为_(2)(2016郑州二模)已知M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3xy0相切，则圆M的标准方程为_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解得所以圆C的方程为x22.(2)法一：设M的方程为(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由题意知解得故M的方程为(x3)2(y1)210.法二：因为圆M过原点，故可设方程为x2y2DxEy0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则232，故D6，与3xy0相切，则，即ED2，因此所求方程为x2y26x2y0.故M的标准方程为(x3)2(y1)210.求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练1(1)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24(2)(2016青岛一模)抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为_(1)B(2)(x1)2y24(1)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.(2)由题意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x1)2y24.热点题型2直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.(1)(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.4由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.(2)(2016开封一模)如图131，已知圆G：(x2)2y2r2是椭圆y21的内接ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点(1)求圆G的半径r；(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切图131解(1)设B(2r，y0)，过圆心G作GDAB于D，BC交长轴于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在椭圆上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分(2)证明：设过点M(0,1)与圆(x2)2y2相切的直线方程为ykx1，则，即32k236k50，解得k1，k2.将代入y21得(16k21)x232kx0，则异于零的解为x.8分设F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，则x1，x2，9分则直线FE的斜率为kEF，于是直线FE的方程为y1.即yx，则圆心(2,0)到直线FE的距离d，故结论成立.12分1直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算2弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)(2)根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解变式训练2(1)(2016哈尔滨一模)设直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程为_. 【导学号：67722047】yx1直线l恒过定点M(0,1)，圆C的标准方程为(x1)2y24，易知点M(0,1)在圆C的内部，依题意当lCM时直线l被圆C截得的弦最短，于是k1，解得k1，所以直线l的方程为yx1.(2)(2016泉州一模)已知点M(1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍求曲线E的方程；已知m0，设直线l1：xmy10交曲线E于A，C两点，直线l2：mxym0交曲线E于B，D两点C，D两点均在x轴下方当CD的斜率为1时，求线段AB的长解设曲线E上任意一点坐标为(x，y)，由题意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23为所求.4分由题知l1l2，且两条直线均恒过点N(1,0)，设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，线段CD的中点为P，则直线EP：yx2，设直线CD：yxt，由解得点P.7分由圆的几何性质，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D两点均在x轴下方，直线CD：yx.由解得或9分设C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的两根之积为1，所以点A的横坐标xA2，又因为点C在直线l1：xmy10上，解得m1，11分直线l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以线段AB的长为2.12分专题限时集训(十三)直线与圆 建议A、B组各用时：45分钟 A组高考达标一、选择题1(2016济南模拟)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2B4C6D2C圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2,1)，半径为r2，因此2a110，所以a1，从而A(4，1)，|AB|6.2(2016衡水一模)已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则m()A2BC.D.B抛物线的准线为y1，将圆化为标准方程得2y2，圆心到准线的距离为1m.3(2016长春一模)若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为()A.B2C3D4C由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：xy70和l2：xy50的距离相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在的直线方程为：xym0，根据平行线间的距离公式得，解得m6，即l：xy60，再根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为3.4与圆C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40都相切的直线有()A1条B2条 C3条D4条A把已知两圆化为标准方程，C1：(x1)2(y3)236，C2：(x2)2(y1)21，故圆心分别为C1(1,3)，C2(2，1)两圆圆心距|C1C2|5，等于两圆半径之差，故两圆相切，它们只有一条公切线5(2016湘潭二模)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为() 【导学号：67722048】A1B3 C.D.Ax2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则123，即a24b29，所以1，当且仅当即ab时取等号，故选A.二、填空题6(2016赤峰高三统考)已知O：x2y21，若直线ykx2上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_(，11，)因为圆心为O(0,0)，半径R1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有POR，由题意知圆心O到直线ykx2的距离小于或等于PO，即，即1k22，解得k1或k1.7(2016合肥一模)设点P在直线y2x1上运动，过点P作圆(x2)2y21的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是_2圆心C(2,0)到直线2xy10的距离d，所以|PA|2.8(2016长沙二模)若直线l1：yxa和直线l2：yxb将圆(x1)2(y2)28分成长度相等的四段弧，则a2b2_.18由题意得直线l1：yxa和直线l2：yxb截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r2，即2a2b2(21)2(21)218.三、解答题9(2016南昌一模)已知圆C：x2y24x6y120，点A(3,5)(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求AOC的面积S.解(1)由圆C：x2y24x6y120，配方得(x2)2(y3)21，圆心C(2,3).2分当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.由d1，得k.4分又斜率不存在时直线x3也与圆相切，5分故所求切线方程为x3或3x4y110.6分(2)直线OA的方程为yx，即5x3y0，8分点C到直线OA的距离为d.10分又|OA|，S|OA|d.12分10(2016洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216，2分所以圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，所以|AD|2，|AC|4，C点坐标为(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.4分直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.6分所以所求直线l的方程为x0或3x4y200.7分(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，所以(x2，y6)(x，y5)0，10分化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016淄博模拟)已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()Ax2y21Bx2y24Cx2y24Dx2y21或x2y237D如图，易知AC所在直线的方程为x2y40.点O到直线x2y40的距离d1，OA，OB，OC，以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆的半径为1或，则该圆的方程为x2y21或x2y237.故选D.2若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为()A.B5 C2D10B由题意，知圆心M的坐标为(2，1)，所以2ab10.因为(a2)2(b2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，而的最小值为，所以(a2)2(b2)2的最小值为5.故选B.3命题p：4r7，命题q：圆(x3)2(y5)2r2(r0)上恰好有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B因为圆心(3，5)到直线4x3y2的距离等于5，所以圆(x3)2(y5)2r2上恰好有两个点到直线4x3y2的距离等于1时，4r6，所以p是q的必要不充分条件4(2016兰州二模)已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|，则k的取值范围是()A(，)B，2)C，)D，2)B由已知得圆心到直线的距离小于半径，即2，由k0，得0k2.如图，又由|，得|OM|BM|MBO，因|OB|2，所以|OM|1，故1k.综得k2.二、填空题5已知直线xya0与圆x2y22交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|23|23|，则实数a的值为_. 【导学号：67722049】由|23|23|得0，即OAOB，则直线xya0过圆x2y22与x轴，y轴正半轴或负半轴的交点，故a.6(2016滨州二模)在平面直角坐标系xOy中，以点(2,1)为圆心且与直线mxy2m0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x2)2(y1)21直线mxy2m0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mxy2m0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，半径最大的圆的标准方程为(x2)2(y1)21.三、解答题7已知半径为2，圆心在直线yx2上的圆C.(1)当圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切时，求圆C的方程；(2)已知E(1,1)，F(1，3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2|QE|232，求圆心的横坐标a的取值范围解(1)圆心在直线yx2上，半径为2，可设圆的方程为(xa)2y(a2)24，2分其圆心坐标为(a，a2)圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切，有解得a2，4分圆C的方程是(x2)2y24.5分(2)设Q(x，y)，由|QF|2|QE|232，得(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232，解得y3，点Q在直线y3上.7分又点Q在圆C：(xa)2y(a2)24上，