七年级数学下册 专题复习 等腰三角形中辅助线的作法课件 （新版）北师大版

等腰三角形中辅助线的作法 等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合 ，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”，“三线合一”适 用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题. 类型一：利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 又CDAD，AEBC ACD和ABE均为直角三角形 在RtACD和RtABE中 BE=CD AB=AC RtACDRtABE(HL) ACDB 在ABC中，ADBC，B2C，求证：ABBDCD 二、构造等腰三角形 在ABC中，ADBC，B2C，求证：ABBDCD 证明：在DC上截取DEDB ADBC ADBADE 又ADAD ADBADE(SAS) ABAE，ABDAED B2C AED2C 又AEDCEAC CEAC AECE ABBDAEDE CEDECD. 在中如果条件B2C与结论ABBDCD互换，仍然成立吗？试说明 理由.解：仍然成立，理由如下： 在DC上截取DEDB ADBC ADBADE 又ADAD ADBADE(SAS) ABAE，BAED ABBDCD AEDECD 而CEDECD AECE EACC 而AEDEACC AED2C B2C 在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运 用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形 解题. 等腰三角形中辅助线的作法 等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有 等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可 以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点. 类型二：巧用等腰直角三角形构造全等 如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC. (1)点求C的坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶 点，PA为腰作等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值. 图2 图1 如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC. (1)点求C的坐标； 解:(1)如图1，过C作CMx轴于M点， MAC+OAB=90， OAB+OBA=90， 则MAC=OBA， 又CMA=AOB=90，AC=AB, MACOBA(AAS), CM=OA=2，MA=OB=4， OM=OA+AM=2+4=6, 点C的坐标为(-6，-2). 图1 解:(2)如图2，过点D作DQOP于Q点， 则DE=OQ,OP-DE=OP-OQ=PQ, APO+QPD=90， APO+OAP=90， QPD=OAP, 又AOP=PQD=90，AP=PD， AOPPQD(AAS), PQ=OA=2.即OP-DE=2. (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA为腰作等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OP-DE的值. 图2 类型三：等腰(边)三角形中截长补短构造全等或等边三角形 如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证 ：MNBMCN. 如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证 ：MNBMCN 证明：延长MB至点E使BECN BDC120，DBDC 2330 ABC是正三角形 160,ABD90 同理ACD90 DBEDCN90 由得DCNDBE DNDE，36 460，BDC120 5360 MDE5660 MDE4 DMDM 由得MEDMND MNMEMBEBMBC