高中数学 第三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案 北师大版必修1

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数，当x从2变到3，y2x到y10x的纵坐标增加了多少？梳理当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快当x0，n1时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y2x，yx2和ylg x的纵坐标增长了多少？梳理一般地，在区间(0，)上，尽管指数函数yax(a1)、幂函数yxn(n0)与对数函数ylogax(a1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数yxn(n0)的增长速度，而对数函数ylogax(a1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有_(a1，n0)类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x11时，有下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是()A BC D3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图像大致是()4当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x5某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快答案精析问题导学知识点一思考23224,103102900，即同样是x从2变到3，y2x与y10x的纵坐标分别增加了4和900.知识点二思考210211 02421 022,1021299，lg 10lg 11，即同样是x从1变到10，y2x，yx2和ylg x 的纵坐标分别增加了1 022,99和1.梳理logaxxng(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2 013)g(2 013)又g(2 013)g(6)，f(2 013)g(2 013)g(6)f(6)跟踪训练1解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)例2解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN)进行描述要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析画出三个函数的图像，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累计的回报数列表如下： 天数 回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三跟踪训练2解作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(如图)观察图像发现，在区间10,1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始终在y5和y0.25x的下方，这说明只有按模型ylog