高考数学 数学思想的应用情形归纳 第07讲 函数方程思想情形之09-111

第07讲：函数方程思想情形之9-11【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言讲问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.三、函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，有时，还实现函数与方程的互相转化，接轨，达到解决问题的目的.四、本讲讲了函数方程思想情形之9-11, 情形9：不等式中的函数方程思想；情形10：计数原理中的函数方程思想；情形11：坐标系与参数方程中的函数方程思想 .【方法讲评】函数方程情形九不等式中的函数方程思想不等式中，与求值有关的问题，多利用方程的思想解答。解不等式时，不等式的解集的端点与方程的根紧密相关的。解不等式也可以通过研究函数的图像完成。不等式的证明也可以通过构造函数求函数的最值来完成.【例1】已知函数，不等式的解集为求函数的解析式当关于的不等式的解集为时，求的取值范围【解析】由的解集为可知：是方程的两根从而 由，知二次函数的图象开口向下，要使的解集为，只需，即 当时的解集为【点评】（1）本题第1问求函数的解析式，就是求的值，利用了韦达定理，利用了方程的思想. 不等式中类似的求值问题很多，多是利用方程的思想分析解答. (2) 本题的第2问，是利用函数的图像分析解答的. 利用了函数的思想.【例2】已知是自然对数的底数,.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时, 求证：.当时,. 即,时,.当时, 在内单调递增. 当,时, 即 【点评】（1）本题第2问证明，不能理解为左边函数的最小值不大于右边函数的最大值，因为不等式两边的自变量都是，所以它表示当两个函数取相同的自变量时，总是有.(2)这种问题，只好构造函数，再证明. (3)本题第2问不等式的证明就利用了函数的思想分析解答，把不等式的证明转化成函数的最值来解答.【反馈检测1】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.函数方程情形十计数原理中的函数方程思想计数原理中，与求值有关的问题，多利用方程的思想解答。求代数式的值，常利用赋值法解答，也是方程思想的体现。与取值范围、最值有关的问题多利用函数的思想分析解答.【例3】已知二项式（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项【解析】（1），解得或，当时，展开式中二项式系数最大的项是和，解得，设项系数最大，由于，第11项系数最大，且第11项为【点评】（1）本题第1问根据已知条件建立方程，求出的值，利用了方程的思想. 本题第2问中也利用了方程的思想. （2）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.（3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.它利用的就是函数的思想. 它的展开式的系数为，它是一个先增后减的函数，所以利用可以求出系数最大的项.【例4】设（1）当时，若，求的值；（2）展开式中的系数是，当变化时，求系数的最小值系数为又因为，所以当或时最小，最小值为【点评】（1）本题第1问使用了赋值法，体现的就是方程的思想. 二项式定理中的求系数或系数和，多对二项式定理利用赋值法. (2)本题的第2问利用了函数的思想来分析求解最值,先求出系数，再把它表示成的二次函数，再利用二次函数的图像和性质解答. 【反馈检测2】已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.函数方程情形十一坐标系与参数方程中的函数方程思想坐标系与参数方程中，与求值有关的问题，多利用方程的思想。与取值范围、最值有关的问题，多利用函数的思想分析解答，先建立函数的模型，再求函数的取值范围、最值.【例5】（2017新课标I文数第22题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求当即时，的最大值为由题设得，所以；当即时，的最大值为由题设得，所以综上，或【点评】（1）本题第1问求C与l的交点坐标，是通过解方程组得到的，运用了方程的思想. (2)本题的第2问通过的最大值求的值，利用了函数的思想，先建立的函数，再求该函数的最大值，从而求出的值，也利用了方程的思想. (3)对第2问要分类讨论，因为在什么情况下取最大值，取决于的符号，当时，时，取最大值.当时，时，取最大值.【反馈检测3】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程； （2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值.函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳 第03讲：函数方程思想思想情形之9-11参考答案【反馈检测1答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在,上单调递增.【反馈检测1详细解析】（1）函数的定义域为.记，判别式.当即时，恒成立，所以在区间上单调递增.（）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，所以，所以在上单调递减.当或时，所以，所以在上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在,上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且 ,【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）【反馈检测2详细解析】（1）由，解得因为通项：，令 ，于是系数为（2）设第项系数绝对值最大，则, 解得，于是只能为6 .所以系数绝对值最大的项为（3）原式=【反馈检测