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文档简介

大学生校园网VvSchool.CN 线性代数 综合测试题大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)1. 若,则_。2若齐次线性方程组只有零解,则应满足 。 3已知矩阵,满足,则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足,则 。二、判断正误(正确的在括号内填“”,错误的在括号内填“”。每小题2分,共10分)1. 若行列式中每个元素都大于零,则。( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组中,如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。( )4. ,则。( )5. 若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设为阶矩阵,且,则( )。 42. 维向量组 (3 s n)线性无关的充要条件是( )。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设,均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 若,均可逆,则可逆 若,均可逆,则 可逆 若可逆,则 可逆 若可逆,则 ,均可逆5. 若是线性方程组的基础解系,则是的( ) 解向量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分,共63分)1. 计算行列式。解2. 设,且 求。解. ,3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时,下列向量组线性相关?。5. 为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时,方程组有唯一解;当时方程组无解当时,有无穷多组解,通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设,求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若是阶方阵,且 证明 。其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 2. ,3. 4. 当或时,向量组线性相关。5. 当且时,方程组有唯一解;当时方程组无解当时,有无穷多组解,通解为6. 则 ,其中构成极大无关组,7. 特征值,对于11,特征向量为五、证明题, 一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设,为n阶方阵,满足等式,则必有( )(A)或; (B); (C)或; (D)。2、和均为阶矩阵,且,则必有( )(A) ; (B); (C) . (D) 。3、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是( )(A) 的列向量线性无关; (B) 的列向量线性相关;(C) 的行向量线性无关; (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是( )(A) 的秩小于; (B) ;(C) 的特征值都等于零; (D) 的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则= 。6、为阶矩阵,且,则 。7、已知方程组无解,则 。8、二次型是正定的,则的取值范围是 。三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程)11、若向量组线性相关,向量组线性无关。证明:(1) 能有线性表出;(2) 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵,可逆,且。证明(1) ;(2) 。 五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)13、设,求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知,是它的三个解向量,且,求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空题5、-125; 6、; 7、-1; 8、。三、计算题9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:第二列减第一列,第四列减第三列得: (4分)按第一行展开得按第三列展开得。 (4分)10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式 (4分) (4分)四、证明题11、证明:(1)、 因为线性无关,所以线性无关。,又线性相关,故能由线性表出。 (4分),(2)、(反正法)若不,则能由线性表出,不妨设。由(1)知,能由线性表出,不妨设。所以,这表明线性相关,矛盾。 12、证明 (1) (4分)(2)由(1)得:,代入上式得 (4分)五、解答题13、解:(1)由得的特征值为,。 (4分)(2)的特征向量为,的特征向量为,的特征向量为。 (3分)(3)因为特征值不相等,则正交。 (2分)(4)将单位化得, (2分)(5)取(6) (1分)14、解:该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。 (5分)另一方面,记向量,则直接计算得,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为,。 (7分)15、解:将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . (4分)1当时,有,方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时,则方程组为齐次线性方程组,其基础解系为: ,所以与的全部公共解为,k为任意常数. (4分)2 当时,有,方程组有唯一解, 此时,故方程组的解为:, 即与有唯一公共解. (4分)线性代数习题和答案好东西第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m,=n,则行列式等于( ) A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=,则A-1等于( ) A. B. C. D. 3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是( ) A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ) A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于( ) A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1,2,s和1,2,s均线性相关,则( ) A.有不全为0的数1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1,2,s使1(1+1)+2(2+2)+s(s+s)=0 C.有不全为0的数1,2,s使1(1-1)+2(2-2)+s(s-s)=0 D.有不全为0的数1,2,s和不全为0的数1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r,则A中( ) A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,1,2是其任意2个解,则下列结论错误的是( ) A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有( ) A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵,下列陈述中正确的是( ) A.如存在数和向量使A=,则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量,使(E-A)=0,则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1,2,3是A的3个互不相同的特征值,1,2,3依次是A的属于1,2,3的特征向量,则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( ) A. k3B. k312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( ) A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则( ) A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ) A.B. C.D.第二部分 非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. .16.设A=,B=.则A+2B= .17.设A=(aij)33,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a= .19.设A是34矩阵,其秩为3,若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是mn矩阵,A的秩为r(n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3,则向量+与-的内积(+,-)= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=,已知=是它的一个特征向量,则所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)25.设A=,B=.求(1)ABT;(2)|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=,2=,3=,4=.试判断4是否为1,2,3的线性组合;若是,则求出组合系数。29.设矩阵A=.求:(1)秩(A);(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,1,2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明(1)1=0+1,2=0+2均是Ax=b的解; (2)0,1,2线性无关。答案:一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)(或2+c(2-1)),c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)25.解(1)ABT=.(2)|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=.所以|4A|=64(-2)=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即(A-2E)B=A,而(A-2E)-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3,组合系数为(2,1,1).解二 考虑4=x11+x22+x33,即 方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=(2,-1,0)T, 2=(2,0,1)T.经正交标准化,得1=,2=.=-8的一个特征向量为3=,经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=(也可取T=.)31.解 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.设, 即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、

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