高中数学 第一章 解三角形 1_2 应用举例（一）学案 新人教a版必修5

1.2 应用举例（一）学习目标利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题知识点一基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高知识点二有关的几个术语(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角如图所示的1，2即表示点A和点B的方位角故方位角的范围是0，360)(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，它是方位角的另一种表示形式如图，左图中表示北偏东30，右图中表示南偏西60.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30(左图)，240(右图)(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角知识点三解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题(1)解题思路(2)基本步骤分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解(3)主要类型题型一测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离例1海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10 海里 B. 海里C5 海里 D5 海里答案D解析根据题意，可得右图在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里)反思与感悟求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理跟踪训练1如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_ m.答案60解析由题意知，ACB180307575，ABC为等腰三角形河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BDAC于D，河宽BD120sin 3060(m)题型二测量两个不可到达点间的距离例2在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离解ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60.ADCDACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2.ABa.蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离问题时，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正、余弦定理计算其他边跟踪训练2如下图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时A，B两点间的距离是多少？解由正弦定理得AC10(1)(米)，BC20(米)在ABC中，由余弦定理得AB10(米)A，B两点间的距离为10米1如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A，c，Bb，c，Cc，Db，答案D解析a，c均隔河，故不易测量、测量b，更合适2一艘船上午930在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()海里/小时A8() B8()C16() D16()答案D解析由题意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时)32012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_ m.答案解析由题意CBA75，BCA45，BAC180754560，x(m)4我舰在岛A南偏西50相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为_海里/时答案14解析由题可得右图不妨设我舰追上敌舰时在C点则AC20，BAC120，AB12，BC212220221220cos 120282，BC28，速度v14(海里/时) 1.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解2测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离(2)测量两个不可到达点之间的距离第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三