第7章第2题作业答案用乘子法求解下列问题.pdf

第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 用乘子法求解下列问题用乘子法求解下列问题 012)( 0)2()( s.t. )3()2()( min 21 2 12 2 2 2 1 = = += xxxh xxxg xxx f 解：首先构造增广解：首先构造增广 Lagrange 函数：函数： 2 2121 22 2 2 1 2 2 2 1 ) 12( 2 ) 12( )2(, 0max( 2 1 )3()2(),( + + += xxxxv wxxw xxvwx 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 分两种情形：分两种情形： + + + + = w xxxxxxv w xx w xxxxxxv wxxwxx vwx 2 2 1 2 2121 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2121 22 2 2 1 2 2 2 1 )2( ) 12( 2 ) 12( 2 )3()2( )2( ) 12( 2 ) 12( )2( 2 1 )3()2( ),( 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 求求 1 阶偏导数：阶偏导数： （1）当）当 w xx 2 2 1 )2(时 =+ += =+ += 0) 12( )2()3(2 0) 12( )2)(2()2( 21 2 2 12 2 21 2 2 111 1 xxvw xxx x xxv w xxxx x （1） 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 （2）当）当 w xx 2 2 1 )2(时 =+= =+= 0) 12()3(2 0) 12( )2( 212 2 211 1 xxvx x xxvx x （2） 为了简化以上方程组，令为了简化以上方程组，令 3 2 21 =xb,xa 则（则（1）和（）和（2）简化为）简化为 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 =+ =+ 0)2( 32 0)2( 3 2 2 bavwbab bav w baaa （1） =+ =+ 0)2(2 0)2( bavb bava （2） 方程组（方程组（2）式容易求解，结果为）式容易求解，结果为 52 , 52 2 + = + = v b v a 方程组（方程组（1）比较啰嗦，根据数值分析理论，可构造多种 迭代式求解。一种迭代方法为： ）比较啰嗦，根据数值分析理论，可构造多种 迭代式求解。一种迭代方法为： 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 假设在第假设在第 k 步时步时 a 的取值为的取值为 )(k a； 由方程组（由方程组（1）的第）的第 2 式计算式计算 ) 1( +k b，计算式为，计算式为 )1 (2 2)3( )(2)( ) 1( + + = + kk k avwa b 再由方程组（再由方程组（1）的第）的第 1 式计算式计算 ) 1( +k a，计算式为，计算式为 3 )( ) 1()() 1( ) 1( ) 1( vaw baa k kkk + += + 如 果如 果|-a |a kk +)() 1( ， 则 停 止 迭 代 ， 相 应 的， 则 停 止 迭 代 ， 相 应 的 ) 1() 1( , +kk b a作为方程组的解；否则，返回第步。作为方程组的解；否则，返回第步。 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 开始迭代时，开始迭代时， )0( a可取任意值，例如可取任意值，例如-1，0，或，或 100。 求出求出a和和b 后，反求：后，反求： 3 2 21 +=+=bx,a x 上述问题的求解过程如下：上述问题的求解过程如下： 第第 1 次迭代次迭代：令：令2 , 2 2 ) 1 () 1 ( =vw,。 先求方程组（先求方程组（1）的解：）的解： 取初值取初值0001. 0, 1 )0( = a，得到，得到 99087. 1 83454. 0=b, a 00913. 1 16546. 1 (1) 2 ) 1 ( 1 =x, x 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 而且满足条件而且满足条件131267. 0)2( ) 1 ( ) 1 ( 2 2) 1 ( 1 = w xx 对对vw,进行修正：进行修正： 35641. 1) 12( 62534. 2)2(, 0max ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ()2( ) 1 ( 2 2) 1 ( 1 ) 1 ()2( = = xxvv xxww 第第 2 次迭代次迭代：令：令35641. 1 ,62534. 2 2 )2()2( =vw,。 先求方程组（先求方程组（1）的解：）的解： 取初值取初值0001. 0, 1 )0( = a，得到，得到 99641. 1 04066. 1=b, a 00359. 1 95934. 0 (2) 2 )2( 1 =x, x 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 而且满足条件而且满足条件 )2( )2( 2 2)2( 1 )2( w xx 对对vw,进行修正：进行修正： 52622. 1) 12( 46659. 2)2(, 0max )2( 2 )2( 1 )2()3( )2( 2 2)2( 1 )2()3( = = xxvv xxww 第第 3 次迭代次迭代：令：令52622. 1 46659. 2 2 )3()3( =vw,。 得到得到00123. 1 00921. 1 (3) 2 )3( 1 =x, x 而且满足条件而且满足条件 )3( )3( 2 2)3( 1 )2( w xx 对对vw,进行修正：进行修正：49184. 1,50571. 2 )4()4( =vw 第第 7 章第章第 2 题作业答案题作业答案 第第 4 次迭代次迭代：00041. 1 99787. 0 (4) 2 )4( 1 =x, x 而且满足条件而且满足条件 )4( )4( 2 2)4( 1 )2( w xx 对对vw,进行修正：进行修正：50119. 1,49799. 2 )5()5( =vw 经过经过 9 次迭代，得到次迭代，