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数理方程与特殊函数复习课 课程内容概述 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 第二章 分离变量法 第三章 行波法与积分法 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 第五章 贝塞尔函数 第六章 勒让德多项式 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 数学物理方程的导出步骤 数学物理方程的类型 定解条件 适定问题及叠加原理 数学物理方程的导出步骤 确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出 一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。 三种类型的数理方程 波动方程（双曲型）波动方程（双曲型） 描述描述振动过程振动过程，关于连续介质（，关于连续介质（弦、杆、膜、弦、杆、膜、 气体气体等）的振动问题，以及关于等）的振动问题，以及关于电磁振荡电磁振荡等等 问题。问题。 一维一维 二维二维 三维三维 22 2 22 uu a tx 2222 2 2222 () uuuu a txyz 222 2 222 () uuu a txy 三种类型的数理方程 热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型） 描述描述输运过程输运过程，研究，研究热传导、扩散、电介质内热传导、扩散、电介质内 电磁场电磁场的传播，的传播，粘性液体流动粘性液体流动等问题。等问题。 一维一维 二维二维 三维三维 2 2 2 uu a tx 222 2 222 () uuuu a txyz 22 2 22 () uuu a txy 三种类型的数理方程 稳定场方程（椭圆型方程）稳定场方程（椭圆型方程） 描述描述稳恒过程稳恒过程，即不随时间变化的过程，如，即不随时间变化的过程，如固固 定的电场、磁场、稳定的热场定的电场、磁场、稳定的热场等问题。等问题。 二维二维 三维三维 222 222 0 uuu xyz 22 22 0 uu xy 定解条件 初始条件初始条件 对于不同类型的方程初始条件的不同对于不同类型的方程初始条件的不同 边界条件边界条件 第一类第一类 第二类第二类 热传导问题 波动问题 边界条件的分类 以以S S 表示物体的边界，则有：表示物体的边界，则有： 第一类边界条件第一类边界条件 第二类边界条件第二类边界条件 如果边界条件中的如果边界条件中的f=0f=0，则称其为齐次边界条件，否则，则称其为齐次边界条件，否则 称为非齐次边界条件。称为非齐次边界条件。 考试要求 振动、扩散物理问题的方程及振动、扩散物理问题的方程及 定解条件，能够写出定解问题。定解条件，能够写出定解问题。 方程推导过程不考。方程推导过程不考。 重点：振动、扩散问题的边界重点：振动、扩散问题的边界 条件如何确定条件如何确定 振动问题的边界条件振动问题的边界条件 固定端固定端 自由端自由端 热传导问题的边界条件 边界温度已知边界温度已知 边界有热流流入（或绝热）边界有热流流入（或绝热） 第一类问题第一类问题：根据物理现象写出定解问题：根据物理现象写出定解问题 弦的横振动问题：两个端点弦的横振动问题：两个端点x0和和xa固定，初始时处固定，初始时处 于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。 X0 Xa X1 H H X2 x u 长为长为l 的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出，的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出， x0端热流强度为端热流强度为 ，xl 端热流强度为端热流强度为 杆的初始温度分布为杆的初始温度分布为 ，写出相应的定解问题，写出相应的定解问题。 1( ) q t 2( ) q t ()x lx dQ q dSdt u dQkdSdt n 01( )x u kq t x 2( )x l u kq t x 流入或流入或 流出流出 0 0端流出，端流出，温温度梯度梯 度方向度方向为为正正 l端流出，端流出，温温度度 梯度方向梯度方向为负为负 0 0端端 l端端 长为长为l的弦两端固定，开始时在的弦两端固定，开始时在x=cx=c受到冲量受到冲量k k的作的作 用，求此问题的定解问题。用，求此问题的定解问题。 0 设有一长为设有一长为l的棒，表面绝热，包括它的两个端点（的棒，表面绝热，包括它的两个端点（x x0 0 和和x xl），初始温度为），初始温度为f（x），写出此问题的定解问题。），写出此问题的定解问题。 解此类题目的思路解此类题目的思路 1 1、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于 哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注 意，方程中有没有自由项（外力作用）。意，方程中有没有自由项（外力作用）。 2 2、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初 位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问 题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端， 固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热）固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热） 重点练习 习题一习题一 1 2 41 2 4 第二章第二章 分离变量法（在有界域内分离变量法（在有界域内 求解定解问题）求解定解问题） 分离变量法的基本思想分离变量法的基本思想 分离变量法的基本步骤分离变量法的基本步骤 基本思想 将定解问题的解表示成单变量函数将定解问题的解表示成单变量函数 之积（变量分离），代入偏微分方程，之积（变量分离），代入偏微分方程， 将方程降阶或化为带有参数的常微分将方程降阶或化为带有参数的常微分 方程，使问题简化，达到求解目的。方程，使问题简化，达到求解目的。 基本步骤 把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积 的形式的形式 把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的 边值问题边值问题 求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界 条件且变量分离的特解条件且变量分离的特解 把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其 中的系数。中的系数。 ( , )( ) ( )u x tX x T t 分离变量法步骤图 定 解 问 题 偏微分方程 齐次边界条件 初始条件 变量 分离 常微分方程1 常微分方程2 条件 特征值问题 特征值 解1 解2 解1 解2 所求解 用Fourier级数 确定叠加系数 必须会 一、一（一、一（0 0，l l），）， 一、二，一、二， 二、一，二、一， 二、二类边界条件的特征值和特征函数二、二类边界条件的特征值和特征函数 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问 题题( (矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式( (注意：二注意：二 二类解里多一个二类解里多一个u u0 0， ， 0 0） 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 解题时可以直接使用，不过要写出解题时可以直接使用，不过要写出“根据。的根据。的 边界条件及分离变量法，可得：边界条件及分离变量法，可得：” 应用分离变量法求解应用分离变量法求解 一维波动一维波动 一维热传导一维热传导 二维矩形域拉普拉斯二维矩形域拉普拉斯 二维扇形域拉普拉斯二维扇形域拉普拉斯 二维环扇域拉普拉斯二维环扇域拉普拉斯 二维圆环域拉普拉斯二维圆环域拉普拉斯 二维圆域拉普拉斯二维圆域拉普拉斯 利用齐次边界条件，利用齐次边界条件， 确定特征值问题，确定特征值问题， 确定特征值和特确定特征值和特 征函数征函数 利用周期条件，确定利用周期条件，确定 特征值问题，特征特征值问题，特征 值和特征函数值和特征函数 一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值，一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系特征函数系 方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系 一维振动 一维传导 (0, )0 ( , )0 ut u l t (0, )0 ( , )0 x ut u l t (0, )0 ( , )0 x ut u l t (0, )0 ( , )0 x x ut u l t ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX l 2 ()0 1,2, n n l n 2 21 ()0 2 0,1,2, n n l n 2 ()0 0,1,2, n n l n 2 21 ()0 2 0,1,2, n n l n ( )sin 1,2 n n Xxx l n 21 ( )sin 2 0,1,2 n n Xxx l n 21 ( )cos 2 0,1,2 n n Xxx l n ( )cos 0,1,2 n n Xxx l n 矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值，矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值， 特征函数系特征函数系 方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系 空间两维拉 氏问题（矩 形域） (0, )( , )0 ( ,0)( ) ( , )( ) uyu a y u xx u x bx (0, )( , )0 ( ,0)( ) ( , )( ) x uyu a y u xx u x bx (0, )( , )0 ( ,0)( ) ( , )( ) x uyu a y u xx u x bx ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX a ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX a ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX a ( )( )0 (0)( )0 XxX x XX a 2 ()0 1,2, n n a n 2 21 ()0 2 0,1,2, n n a n 2 ()0 0,1,2, n n a n 2 21 ()0 2 0,1,2, n n a n ( )sin 1,2 n n Xxx a n 21 ( )sin 2 0,1,2 n n Xxx a n 21 ( )cos 2 0,1,2 n n Xxx a n ( )cos 0,1,2 n n Xxx a n 0 0 xa yb (0, )( , )0 ( ,0)( ) ( , )( ) xx uyu a y u xx u x bx 两组边两组边界界条条件可件可对调对调 圆圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系 区域区域 边界条件边界条件 特征值问题特征值问题 特征值特征值 特征函数系特征函数系 02 0 0 02 10 0 0 0 0 10 0 ( )uf (, )( ,2 )uu 0 0( ) uf 11( ) uf (, )( ,2 )uu 0 ( )uf 0 0( ) uf 11( ) uf 0 0uu 0 0uu ( )1,cos,sin, 1,2. n nn n ( )1,cos,sin, 1,2. n nn n ( )sin, 1,2. n n n ( )sin, 1,2. n n n 22 0 00 ,(0,0),(0,0) 11,12,21,2211,12,21,22 ( ) ( ),( ) ttxxtxx t ttt ua uxl tua uxl t ux ux ux 边边界界条条件件 边边界界条条件件 1(11;22) 0(12;21) 2,2 0 ( , )()() nnnn n u x tuTat Xx 一一维维波波动动、热传导热传导方程方程 Tn由方程的性质而定，对于振动方程由方程的性质而定，对于振动方程 22 00, n a t nn uc TC e 对于热传导方程对于热传导方程 2,2 000 ,cossin nnnnn ucd t TCatDat 1(11;22) 0(12;21) 0022 ()()() nn xx nnnn n ucd xc ed eYy 矩形域上的二矩形域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 chsh nnnn axbx 若若X X提供提供齐齐次次边边界界条条件件 1(11;22) 0(12;21) 0022 ()()() nn yy nnnn n ucd yc ed eXx 环环（圆圆）域上的二）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 圆圆域域 00 ,u 扇扇环环（扇）域上的二（扇）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 齐齐次次边边界界 若若为为扇域扇域 通解中待定系通解中待定系数数的确定方法的确定方法-代入定解代入定解条条件，利件，利 用特征函用特征函数数的正交性求解的正交性求解 0 2 ( )() l nnn Cx Xx dx l 0 2 1 ( )() l nnn n Dx Xx dx la 0 0 1 ( ) l cx dx l 0 0 1 ( ) l dx dx l 一一维维波波动动方程方程 1(11;22) 0(12;21) 2,2 00 ( , )()(cossin)(), nnnnnn n u x tcd tCatDat Xx 0 2 ( )() l nnn Cx Xx dx l 0 0 1 ( ) l cx dx l 22 1(11;22) 0(12;21) 2,2 0 ( , )() n at nnn n u x tcC eXx 一一维热传导维热传导方程方程 1(11;22) 0(12;21) 2,2 00 ()()() nn xx nnnn n ucd xc ed eYy 矩形域上的二矩形域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 chsh nnnn axbx 1(11;22) 0(12;21) 2,2 0 ( )() () nnn n yccdYy 1(11;22) 0(12;21) 2,2 00 ( )()()() nn ee nnnn n ycd ec ed eYy 利用正交性求解系数 0 2 ( )() f nnnn cdy Yy dy f 求解方程组即可 0 0 1 ( ) f cy dy f 00 0 1 ( ) f cd ey dy f 0 2 ( )() f nnn ay Yy dy f 求解方程组即可 1(11;22) 0(12;21) 22 00 ()(chsh)() nnnnnn n ucd xaxbx Yy 1(11;22) 0(12;21) 2,2 0 ( )() nn n yca Yy 1(11;22) 0(12;21) 2,2 00 ( )()(chsh)() nnnnnn n ycd eaebe Yy 0 0 1 ( ) f cy dy f 00 0 1 ( ) f cd ey dy f 利用正交性求解系数 将定界条件带入将定界条件带入 环环（圆圆）域上的二）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 环环域域 利用正交性求系数利用正交性求系数 将定界条件带入将定界条件带入 环环（圆圆）域上的二）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 圆圆域域 利用正交性求系数利用正交性求系数 扇扇环环（扇）域上的二（扇）域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程 扇扇环环域域 将定界条件带入将定界条件带入 联立求解联立求解 利用正交性求系数利用正交性求系数 0 c 0 d 联立求解联立求解 扇域扇域 将定界条件带入将定界条件带入 利用正交性求系数利用正交性求系数 重点掌握重点掌握 振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解 齐次方程可直接写出形式解齐次方程可直接写出形式解 非齐次方程特征函数法非齐次方程特征函数法 冲量法冲量法 特解法特解法 第二类问题：第二类问题：应用应用分离变量法分离变量法求解求解有界域有界域 的定解问题的定解问题 此类定解问题的特点：此类定解问题的特点： 1 1、方程齐次或非齐次、方程齐次或非齐次 2 2、边界条件齐次边界条件齐次 边界条件的特点：边界条件的特点： 一一；一二；二一；二二一一；一二；二一；二二 周期条件周期条件 熟记以上边界熟记以上边界/ /周期条件条件下，方程的特征值和特征函数周期条件条件下，方程的特征值和特征函数 二二类边界条件下，解的形式中多一个二二类边界条件下，解的形式中多一个u u0 0 练习 长度为长度为2的弦，两端固定，弦做自由振动，初始位移的弦，两端固定，弦做自由振动，初始位移 如图所示，初速度为零。写出定解问题并求解。如图所示，初速度为零。写出定解问题并求解。 由方程和边界条件可得通解为由方程和边界条件可得通解为 解定解问题解定解问题 2 00 0 ,0,0 0,0,0 0,0 ttxx ttt xxx l ua uAxxl t uuxl uut 冲量法：冲量法： 2 0 0 0, ttxx xxx l ttt wa w ww wwAx 0 3 442 0 ( , )( , ; ) 32( 1)(21)(21) (1cos)sin (21)22 t n n u x tw x td Alnatnx nall 2 00 0 ,0,0 0,0,0 0,0 ttxx ttt xxx l ua uAxxl t uuxl uut 2 0 ( ) 0 xxx l a wxAx ww 32 ( ) 62 AxAl x w x 2 0 00 0 ( ),0 ttxx xxx l ttt Va V VV Vw x V ( , )( , )( )u x tV x tw x 转换转换法：法： 2 00 0 ,0,0 0,0,0 0,0 ttxx ttt xxx l ua uAxxl t uuxl uut 0 (21)(21)21 ( , )cossinsin() 222 nn n nnn V x tCatDatx lll 0 13 44 221 ( )sin() 2 ( 1)32 (21) l n n n cw xxdx ll Al n 2 0 00 0 ( ),0 ttxx xxx l ttt Va V VV Vw x V ( , )( , )( )u x tV x tw x 特征函特征函数数法：法： 00 22 0 33 1 442442 sinsin 28 sin( 1) (21) 32(21)32 ( 1)cos( 1) (21)2(21) nnnn nn l n nn nn n uuxAxcx lA cAxdx ln l Anl A uat nalna 3 442 0 32( 1)(21)(21) ( , )(1 cos)sin (21)22 n n Alnatnx u x t nall 2 00 0 ,0,0 0,0,0 0,0 ttxx ttt xxx l ua uAxxl t uuxl uut 求定解问题求定解问题 0 0 0,0,0 0,0 ,0 xxyy xx l yy m uuxlym uu uxu 对对于于u u（x,yx,y）:x:x满满足足1 11 1类齐类齐次次边边界界条条件，件，则应则应用分离用分离变变量法得量法得 1 ( , )()sin n yn y ll nn n n u x yc ed ex l 1 0 1 22 ( 1) sin ( 1)( 1) 0, ()() n l nn n mn m n mn mnn ll ll nnnn nl cdxxdx lln lele c ed ecd n mn m n shn sh ll 1 1 ( 1)( 1) ( , )sin ()() n mn m n yn ynn ll ll n lelen u x yeex n mn m l n shn sh ll 分离变量法解题思路分离变量法解题思路 第一要审题，关键看方程特点（类型、齐次、非齐次的第一要审题，关键看方程特点（类型、齐次、非齐次的 自由项）与边界条件自由项）与边界条件（齐次的）或者周期条件（齐次的）或者周期条件 第二根据边界条件（或周期条件）写出特征值与特征函第二根据边界条件（或周期条件）写出特征值与特征函 数数（一（一sinsin二二coscos零端异，相同相异正半长）零端异，相同相异正半长） 分离变量法解题思路分离变量法解题思路 第三，如果方程是齐次的，直接写出通解，通解是第三，如果方程是齐次的，直接写出通解，通解是叠加叠加 形式形式，即特征函数的级数展开，特别注意二二类边界条，即特征函数的级数展开，特别注意二二类边界条 件还有一项件还有一项u0 0不要丢。通解中的系数可用特征函数正交不要丢。通解中的系数可用特征函数正交 性的特点进行求解。性的特点进行求解。 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等） 重点练习 习题二：习题二：2 5 6 8 9 12 13 142 5 6 8 9 12 13 14 第三章第三章 行波法（在无界域内求解行波法（在无界域内求解 波动方程的解）波动方程的解） 在无界域内求解二阶偏微分方程在无界域内求解二阶偏微分方程 20 xxxyyyxy AuBuCuDuEuFu 22 ()2()0A dyBdxdyC dx 先写特征方程 再求特征方程线 2 () BBAC yx A 常数 2 () BBAC yx A 常数 第三步，做特征变换 第四步，求积分得解 第三类问题：第三类问题：应用应用行波法行波法求解求解无界域一维无界域一维 波动方程波动方程 00 (0, )21,( ,0)1 xy uyxy uyyu x 2 16,0 ( ,0)0,( ,0) xxtt t uuxt u xu xx 直接直接积积分分 特征方程特征方程 特征特征线线 特征特征变换变换 积积分分 直接用直接用 达达朗倍朗倍 尔公式尔公式 11 ( , ) ()()( ) 22 x at x at u x txatxatd a 2 ttxx ua u 2 230 ( ,0)3,( ,0)0 xxxyyy y uuu u xx ux 特征方程特征方程 特征特征线线 特征特征变换变换 积积分分 行波法解题思路行波法解题思路 熟记达朗贝尔公式熟记达朗贝尔公式 对于积分型的方程，对对于积分型的方程，对x，y分别积分，求分别积分，求 通解，之后，代入定解条件求通解中的待通解，之后，代入定解条件求通解中的待 定函数，切记仔细认真！定函数，切记仔细认真！ 小心方程陷阱小心方程陷阱 a 重点掌握重点掌握 三种题型的解法三种题型的解法 重点练习重点练习 习题三习题三 1 1 及课堂上提供的两个练习题，及课堂上提供的两个练习题， 书中第一节例题书中第一节例题 第四章第四章 拉普拉斯方程的格林函数法拉普拉斯方程的格林函数法 拉普拉斯狄氏问题和牛曼问题拉普拉斯狄氏问题和牛曼问题 第一、第二格林公式第一、第二格林公式 调和函数的性质调和函数的性质 格林函数的建立（电象法）格林函数的建立（电象法） 应用格林法写出拉普拉斯方程的形式解应用格林法写出拉普拉斯方程的形式解 拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题 uf u f n 狄氏问题狄氏问题：在：在内找到一个调和函数内找到一个调和函数u u，且，且 牛曼问题：在内找到一个调和函数u，且 第一，第二格林公式 2 () v uv dVudSgradugradvdV n 22 ()() vu uvvu dVuvdS nn 22 ()() DC vu uvvu duvds nn 三维拉普拉斯方程的基本解 222 000 11 ()()() v r xxyyzz 22 00 11 lnln ()() v xxyy 二维拉普拉斯方程的基本解 调和函数的性质调和函数的性质 调和函数的调和函数的积分公式积分公式 边值性质边值性质 平均值定理平均值定理 唯一性唯一性 调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式 00 0 111() () ()() 4 M MM M u M u Mu MdS n rrn 00 0 111() ()()(ln)(ln) 2 M MM M u M u Mu Mds nn 0 222 000 ()()() M M rxxyyzz 点点MM0 0到点到点MM的距离的距离 0 22 00 ()() M M xxyy 格林函数格林函数 0 (,)G M M 0 0 0 1 (,) 4 (,)0 MM G M Mv r G M M 拉普拉斯方程的格林函数拉普拉斯方程的格林函数 定定义义 0 0 0 11 (,)ln 2 (,)0 MM G M Mv r G M M 若若G G存在，且在存在，且在上有连续的上有连续的 一阶偏导数，则拉普拉斯方程的狄一阶偏导数，则拉普拉斯方程的狄 氏问题氏问题 2 0 () u uf M 0 ()() G u Mf MdS n 的解为 0 ()() G u Mf MdS n 电象法求格林函数电象法求格林函数 画图，找到所求的区域画图，找到所求的区域及区域的边界及区域的边界 对应于对应于内的一点内的一点M M0 0寻找寻找外的一点外的一点M M1 1； 在在M M1 1点放置一个负电荷（点放置一个负电荷（q q），使得它在），使得它在上上 产生的电位为产生的电位为 ，与，与M M0 0处正电荷产生处正电荷产生 的电位的电位 相抵消，即相抵消，即 1 4 MM q v r 0 1 4 M M r 01 1 0 44 M MMM q rr 1 0 MM MM r q r 因而因而 于是，格林函数于是，格林函数 01 0 1 (,) 44 M MMM q G M M rr 电象法求格林函数电象法求格林函数 电象法的关键：电象法的关键：如何寻找如何寻找M M1 1。 通常通常取取M M1 1为为M M0 0关于边界关于边界的某种的某种“对称点对称点”。 如果如果为平面，则为几何对称点；如果为球为平面，则为几何对称点；如果为球 面，则为反演点面，则为反演点 如果如果为平面（直线），为平面（直线）， 则为几何对称点则为几何对称点 X X Y Y MM0 0 MM1 1 O O P P 00 (,)xy 00 (,)xy 01 2 OMOM rrR 为球面（圆弧为球面（圆弧 线），则为反演点线），则为反演点 求电荷量求电荷量 为平面（直线）为平面（直线） 放置单位负电荷放置单位负电荷 1 0 1 MM MM r q r 1 0 0 M P M P r R q r 为球面（圆弧线）为球面（圆弧线） 根据边界的情况，根据边界的情况， 有时需要找若干个有时需要找若干个M M0 0 的对称点。的对称点。 如果对称点有若干个，则关于平面如果对称点有若干个，则关于平面( (直线）直线） 的对称点放置单位电荷，关于球面（圆的对称点放置单位电荷，关于球面（圆 弧线）对称点放置电量为弧线）对称点放置电量为 的电荷，的电荷， 电荷电量的正负性依据在边界上电位相电荷电量的正负性依据在边界上电位相 消的特性确定。消的特性确定。 0 R 写出格林函数写出格林函数 01 0 1 (,) 44 M MMM q G M M rr 01 0 111 (,)lnln 22 M MMM q G M M rr 空空间间域域 平面域平面域 写写出出M M0 0及其及其所有所有对称对称点在点在区区域域内产内产生的生的电电位（空位（空间间 域），求和，即域），求和，即为为格林函格林函数数 特殊区域的格林函数特殊区域的格林函数 半空间半空间 p95 4.4.1p95 4.4.1 半平面半平面 p97 6p97 6 球球 p97 4.4.1p97 4.4.1 圆圆 p97 5p97 5 半球半球 半圆半圆 四分之一平面四分之一平面 四分之一圆四分之一圆 四分之一空间四分之一空间 四分之一球四分之一球 半球内的格林函数 0110 00 111 () 4 MMMMMMMM RR G rrrr O O MM0 0 X X Y Y Z Z MM1 1 MM0 0 MM1 1 0 0 R R 1/4球内的格林函数 0001 0101 00 00 111 ( 4 11 ) MMMMMMMM MMMMMMMM RR G rrrr RR rrrr O O MM0 0 MM1 1 MM0 0 MM1 1 MM0 0 MM1 1 MM 0 0 MM 1 1 R R 0 0 半圆内的格林函数 0101 00 111 (lnlnlnln) 2 MMMMMMMM RR G rrrr O O MM0 0 MM0 0 MM1 1 MM1 1 R R 0 0 四分之一空间 MM0 0 MM1 1 MM2 2 MM3 3 01 23 111 ( 4 11 ) MMMM MMMM G rr rr O O 平面内的格林函数 0123 11111 (lnlnlnln) 2 MMMMMMMM G rrrr X X Y Y MM0 0 MM1 1 MM2 2 MM3 3 O O 圆（半径为R）内的格林函数 x Y M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 01243 567 0 000 11111 (lnlnlnlnln 2 lnlnln) MMMMMMMMMM MMMMMM R G rrrrr RRR rrr O 0 0oM r 第四类问题第四类问题：应用：应用格林函数法格林函数法写出写出拉普拉拉普拉 斯方程狄氏问题的形式解斯方程狄氏问题的形式解 解题思路：解题思路： 先写出格林函数先写出格林函数( ( 特殊区域的格林函数，注特殊区域的格林函数，注 意二维还是三维）意二维还是三维） 再根据再根据 2 0 () u uf M 0 ()() G u Mf MdS n 写写出形式解，特出形式解，特别别注意注意 0 ()() G u Mf MdS n 在上半圆域内求格林函数，并写出该问题的在上半圆域内求格林函数，并写出该问题的 形式解。形式解。 222 2222 0 0(,0) ( , ) ( ) xya y uxyay uf x y ug x 222 2222 0 0(,0) ( , ) ( ) xya y uxyay uf x y ug x X X Y Y X X Y Y 在在1/2球内求格林函数，并写出该问题的形式解球内求格林函数，并写出该问题的形式解 2222 22222 0 0(,0) ( , , ) ( , ) xyzR y uxyzRy uf x y z ug x z 0110 00 111 () 4 MMMMMMMM RR G rrrr 重点练习重点练习 p95 4.4.1p95 4.4.1， p97 4.4.1p97 4.4.1，习题四，习题四 5 5，6 6