《函数的导数和积分》PPT课件.ppt

第7章 函数的导数和积分 n对于可导的函数的导数也是一个函数，称作的导 函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数 的过程称为求导，反之已知导函数，也可以倒过 来求原来的函数。 n求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分 学中最为基础的概念。微积分基本定理说明了求 原函数与积分是等价的。在微积分中，积分是微 分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函 数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应 用于求和（例如求曲边三角形的面积），这巧妙 的求解方法是积分特殊的性质决定的。 7.1 函数的导数 n7.1.1 函数导数的解析解 n使用符号求导函数的调用格式是： n diff(fun,x,n) n其中，fun是函数符号表达式；x是符号自变量；n 是求导的阶数（n为1时可以省略）。 n例7-1 计算函数的一阶和二阶导数。 n% 求函数导数解析解 nsyms x % 定义表达式中的符号变量 nf=sqrt(cos(x)-x*sin(x); % 定义函数表达式 ndisp ( 函数的1阶导数：),f1=diff(f) ndisp ( 函数的2阶导数：),f2=diff(f,2) nM文件运行结果： n函数的1阶导数： nf1 = n-1/2/cos(x)(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x) n函数的2阶导数： nf2 = n-1/4/cos(x)(3/2)*sin(x)2-1/2*cos(x)(1/2) -2*cos(x)+x*sin(x) n7.1.2 二维函数和参数方程的偏导数 n1、二维函数的偏导数 n使用符号求二维函数fun(x,y)偏导数的函数调用格 式是： n diff(diff(fun,x),y) n diff(diff(fun,y),x) n其中，fun是函数符号表达式；x和y是符号自变量 n例7-2 计算二维函数的2阶偏导数： n% 求二维函数2阶偏导数解析解 nsyms x y % 定义表达式中的符号变量 nf=x2*y/(x+y)3; % 定义二维函数表达式 ndisp ( 对变量x的2阶偏导数：) nd2x=diff(f,x,2) ndisp ( 对变量y的2阶偏导数：) nd2y=diff(f,y,2) ndisp ( 函数的2阶偏导数：) ndxy=diff(diff(f,x),y) ndisp ( 函数的2阶偏导数的简化符号表达式： ) nsdxy=simplify(dxy) nM文件运行结果： n对变量x的2阶偏导数： nd2x = n2*y/(x+y)3-12*x*y/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 n对变量y的2阶偏导数： nd2y = n-6*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 n函数的2阶偏导数： ndxy = n2*x/(x+y)3-6*x*y/(x+y)4- 3*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 n函数的2阶偏导数的简化符号表达式： nsdxy = n-x*(x2-7*x*y+4*y2)/(x+y)5 n2、参数方程的偏导数 n设参数方程为 和 ，计算参数 方程k阶导数 的函数调用格式是： n diff(f,t,k) / diff(g,t,k) n例7-3 计算参数方程导数 解析解，并计算当 时的数值解。 n% 求参数方程导数的解析解 nsyms t % 定义参数方程中的符号变量 nx=log(cos(t); % 定义参数方程1 ny=cos(t)-t*sin(t); % 定义参数方程2 ndydx1=diff(y,t)/diff(x,t); ndisp(参数方程的1阶导数的简化符号表达式：) nsdydx1=simplify(dydx1) ndydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2); ndisp(参数方程的2阶导数的简化符号表达式：) nsdydx2=simplify(dydx2) n% 计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位) ns2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6); ndisp( t=pi/3时的二阶导数值：),s2 nM文件运行后得到的计算结果： n参数方程的1阶导数的简化符号表达式： nsdydx1 = n(2*sin(t)+t*cos(t)*cos(t)/sin(t) n参数方程的2阶导数的简化符号表达式： nsdydx2 = n-(-3*cos(t)+t*sin(t)*cos(t)2 nt=pi/3时的二阶导数值： ns2 = n.148275 n因此，参数方程一阶和二阶导数的解析解是： n7.1.3 n维函数的偏导数 n1、n维隐函数的偏导数 n设n维隐函数为 ，由于变量之 间偏导数的关系是 n则计算变量 对变量 的偏导数的函数调用 格式是： n -diff(f,xj) / diff(f,xi) n例7-4 计算二维隐函数 n偏导数的解析解。 n% 求二维隐函数偏导数的解析解 nsyms x y % 定义函数表达式中的符号变量 nf=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); % 定义二维隐函数表达式 ndydx=-diff(f,x)/diff(f,y); % 计算二维隐函数的偏导数dy/dx ndisp ( 二维隐函数偏导数的简化符号表达式) nsdydx=simplify(dydx) nM文件运行后得到的计算结果： n二维隐函数偏导数的简化符号表达式： nsdydx = n-(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)/x/(x- 2)/(2*y+x) n因此，二维隐函数偏导数的解析解是： n2、jacobion矩阵 n设有n个自变量 的m个函数 n相应的偏导数构成jacobion矩阵为 n运用MATLAB符号工具箱函数可以直接求出 jacobion矩阵 n jacobion(f,x) n其中，f是n维函数，x是n维向量。 n该函数用于计算n维函数f对n维向量x的jacobion 矩阵，其第i行、第j列的值为。当f为数量时，所 得的值为f的梯度。当v为数量时，该函数相当于 diff(f,x)。 n例7-5 已知三维函数 试计算它的偏导数。 n% 计算多维函数的导数 nsyms x y z nf1=x*y*z;f2=x2-y;f3=x+z; ndisp( 多维函数表达式向量：) nf=f1;f2;f3 ndisp( 多维函数的偏导数矩阵：) nJ=jacobian(f,x y z) nM文件运行结果： n多维函数表达式向量： nf = x*y*z n x2-y n x+z n多维函数的偏导数矩阵： nJ = n y*z, x*z, x*y n 2*x, -1, 0 n 1, 0, 1 n因此，三维函数的偏导数矩阵是： n7.1.4 数值微分 n根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点 的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替 微商，或用一能近似代替该函数的较简单的函数 （如多项式、样条函数）的相应导数作为所求导 数的近似值。针对实验数据X（向量或多维数组） 数值微分，由于函数表达式是未知的，需要采用 数值解法（中心差分方法的微分算法）。 n例7-6 已知一组实验数据如表7-1所示，试计算它 的4阶微分。 表7-1 实验数据 x0.00000.20000.40000.60000.80001.0000 y0.39270.56720.69820.79410.86140.9053 n% 用中心差分方法的数值微分算法 nfunction dy,dx=diff_ctr(y,dt,n) nyx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0 y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0; nyx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y; nswitch n n case 1 n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2) n+7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*dt);l0=3; n case 2 n dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*dt2);l0=3; n case 3 n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)- 6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(yx5)- diff(yx6)/(8*dt3);l0=5; n case 4 n dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)- 28*diff(yx3)+28*diff(yx4)- 11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt3);l0=5; nEnd ndy=dy(l0+1:end-l0); ndx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt; n% 用中心差分方法的数值微分算法调用M文件 nsx=0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000; nsy=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; ny=sy,sx; ndt=0.2; nn=4; ndy,dx=diff_ctr(y,dt,n) nM文件运行结果： ndy = 19.2187 -217.2292 581.9417 - 611.7500 250.0458 -23.0271 ndx = 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 n7.1.5 函数的梯度和梯度的模 n在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场， 标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的 方向。梯度是一个向量，当某一函数在某点处沿 着该方向的方向导数取得该点出的最大值，即函 数在该点处沿方向变化最快，变化率最大，称为 为该梯度的模。 nn维函数 ，在点 的梯度，是函数各维一阶偏导数组成的向量 n梯度的模是函数各维一阶偏导数平方和的开方 n1、计算梯度的符号函数 jacobian(fun,X) n其中，fun是符号函数表达式，X是定义求导变量 组成的向量（可以省略）。 n2、计算矩阵或向量范数的符号函数 n norm(fun,X) n其中，fun是符号型函数表达式，X是定义求导变 量组成的符号型向量。 n例7-7 计算函数在 梯度和梯度模: n% 计算多维函数的梯度和梯度的模 nsyms x1 x2 x3 % 定义符号变量 nf=2*x12+5*x22+x32+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3 ndisp( 三维函数的梯度：) ngf=jacobian(f) nxk=1,-1,2; ndisp( 函数在xk点的梯度值：) ngfk=subs(subs(subs(gf,xk(1),xk(2),xk(3) ndisp( 函数在xk点的梯度的模：) ngmk=norm(gfk) nM文件运行结果： n三维函数的梯度： ngf = n 4*x1+2*x3, 10*x2+2*x3-6, 2*x3+2*x2+2*x1 n函数在xk点的梯度值： ngfk = 8 -12 4 n函数在xk点的梯度的模： ngmk = 14.9666 n因此，三维函数的梯度，以及在的梯度和梯度的 模是： 7.2 函数的积分 n设 是函数 的一个原函数，则将函数 的所有原函数 （ C为任意常数）叫做函 数的不定积分，记作 。 n定积分 就是求函数 在区间a,b 中函数图线下包围的面积。 n7.2.1 不定积分的解析解 n计算不定积分解析解的函数调用格式是： n F=int(fun,x) n其中，fun是被积函数；x是自变量，如果只有一 个变量，x可以省略。 n应当指出，计算结果F(x)只是积分原函数，实际 的不定积分应该是F(x)+C构成的曲线族，C是任意 常数。 n例7-8 计算不定积分 n% 计算不定积分 nsyms x a b; % 定义表达式中的符号变量 ny=sin(a*x)*cos(b*x); % 定义被积函数 ndisp( 被积函数的不定积分：) nF=int(y,x) nM文件运行结果： n被积函数的不定积分： nF = n-1/2/(a+b)*cos(a+b)*x)-1/2/(a-b)*cos(a- b)*x) n因此，不定积分 n7.2.2 定积分 n计算定积分的函数调用格式是： n I=int(fun,x,a,b) n其中，fun是被积函数；x是自变量；(a,b)是定积 分的积分区间，计算无穷积分时，需要将积分区 间设置为(-inf,inf)。 n例7-9 计算定积分 和 的解析解和数值解。 n% 计算定积分 nsyms x; % 定义表达式中的符号变量 ny1=x*exp(x)/(1+x)2; % 定义被积函数1 na1=0;b1=1; % 定义积分区间1 ndisp( 被积函数1定积分的解析解：) nF1=int(y1,x,a1,b1) % 计算y1的定积分 ndisp( 被积函数1定积分的数值解：) nF1v=double(F1) ny2=cos(x)/sqrt(x); % 定义被积函数2 na2=0;b2=inf; % 定义积分区间2 ndisp( 被积函数2定积分的解析解：) nF2=int(y2,x,a2,b2) ndisp( 被积函数2定积分的数值解：) nF2v=double(F2) nM文件运行结果： n 被积函数1定积分的解析解： nF1 = 1/2*exp(1)-1 n 被积函数1定积分的数值解： nF1v = .3591 n 被积函数2定积分的解析解： nF2 = 1/2*2(1/2)*pi(1/2) n 被积函数2定积分的数值解： nF2v = 1.2533 n因此，两个定积分的解析解和数值解是： n7.2.3 数值积分 n求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数 的原函数很难用初等函数表达出来；另外，许多 实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形 式的非连续函数。对这类函数只能使用数值积分 计算函数的近似值。 n1、梯形法求解数值积分 n梯形法求解数值积分的：将积分区间分割成许多 足够小的分区间，取各个矩形的面积分别代替积 分函数的曲线在各小段区间上围出来的曲边梯形 的面积，再将所有这样的矩形面积加起来的总和 ，近似地等于函数在这个区间上的定积分。 n梯形法求解数值积分的函数调用格式是： n s=trapz(x,y) n其中，x是向量；y的行数应该等于x向量的元素数 n例7-10 用梯形法计算表7-2数据的定积分。 n% 梯形法计算定积分 nx=0:0.1:1.2; ny=0 2.2077 3.2058 3.4435 3.241 2.8164 2.311 1.8101 1.3602 0.9817 0.6791 0.4473 0.2768; ns=trapz(x,y) nM文件运行结果： ns = n 2.2642 n2、变步长辛普生法求解数值积分 n变步长辛普生法求解数值积分的基本思想是：在 梯形法的基础上，将积分区间逐次分半，计算出 每个子区间的定积分近似值，并且求和。 n变步长辛普生法求解数值积分的函数调用格式是 n s ,n =quadl(fun,a,b,t0l) n其中，s是返回的定积分值； n n是返回被积函数调用次数； n fun是被积函数； n a和b分别是定积分的下限和上限; n tol是控制积分精度（默认 ）。 n该函数适用于求解给定函数的数值积分。 n例7-11 用变步长辛普生法计算定积分： n% 变步长辛普生法计算定积分 nf=inline(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),x); % 定义被积函数和自变量 na=0;b=3*pi; % 定义积分区间 nformat long; % 数值按长格式显示 ns,n=quadl(f,a,b,1e-15) % 计算y的定积分 nM文件运行结果： ns = 0.90084078781889 nn = 828 n% 绘制积分图形 nfplot(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),a,b); % 符号函数绘图 nhold on; nx=a:pi/100:b; ny=exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6); nfill(a,x,b,0,y,0,y); % 填充积分区域 nxlabel(bfit x);ylabel(bfit y); ntitle(bf 变步长辛普生法计算定积分); ngtext(y=e-0.5xsin(x+pi/6); n输出图形（如图7-2所示） n7.2.4 函数的重积分 n1、二维函数的数值积分（双重积分） n对于二维函数的双重定积分问题 n可以直接使用函数进行求解矩形区域的数值积分 ，其调用格式是： n y=dblquad(fun,xm,xM,ym,yM,tol) n其中，输入参数fun是二维被积