[理学]七、多元函数积分学.doc

七、 多元函数积分学71 二重积分A 内容要点（一）二重积分的概念与性质 1定义 设是定义在有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域对小区域上任意取一点都有 存在，（其中又表示为小区域的面积，为小区域的直径，而） 则称这个极限值为在区域上的二重积分 记以，这时就称在上可积。 如果在上是有限片上的连续函数，则在上是可积的。 2几何意义 当为闭区域上的连续函数，且，则二重积分表示以曲面为顶，侧面以的边界曲线为准线，母线平行于轴的曲顶柱体的体积。 当封闭曲面它在平面上的投影区域为，上半曲面方程为，下半曲面方程为，则封闭曲面围成空间区域的体积为 3基本性质 （1）（为常数） （2） （3） 其中，除公共边界外，与不重叠。 （4）若，则 （5）若，则 其中为区域的面积。 （6） （7）积分中值定理 设在有界闭区域上连续，为的面积，则存在，使得 我们也把称为在上的积分平均值。 4对称区域上奇偶函数的积分性质 定理1设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的上半平面部分。 定理2设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的右半平面部分。 定理3设在有界闭区域上连续，若关于原点对称，则 其中为的上半平面或右半平面。 定理4设在有界闭区域上连续，若关于直线对称，则 若，分别为在的上方与下方部分，则 （二）在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 关于二重积分的计算主要根据模型或模型把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域，如果既不符合模型中关于的要求，又不符合模型中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型或模型中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。（三）在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 （四）二重积分在几何上的应用 1空间物体的体积 其中为闭曲面在平面上投影区域为上半曲面，为下半曲面。 2空间曲面的面积 其中为曲面在平面上投影，曲面的方程B 典型例题（一）直角坐标系中二重积分的计算 例1计算，其中是由曲线，所围区域。 解： 例2计算其中是以，和为边的平行四边形区域。 例3计算其中是由摆线，的第一拱和轴所围区域。 例4计算 例5计算 例6计算，其中由，和轴所围区域。 例7计算其中由和所围区域。（二）极坐标系中二重积分的计算 例1计算其中由与轴围成上半圆区域。 解：在极坐标系里， （三）交换积分顺序 例1交换的积分顺序 解：原式 其中由，和所围的区域。 按另一积分顺序把二重积分化累次积分 原式 例2交换的积分顺序 例3交换的积分顺序 例4交换的积分顺序 例5交换的积分顺序（四）二重积分在几何上的应用 1求空间物体的体积 例1求两个底半径为的正交圆柱面所围立体的体积 答案： 例2求球面和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积 解：根据对称性可知 其中为平面上与轴所围平面区域用极坐标系进行计算 例3求曲面，所围立体的体积。 72 三重积分（数学一）A 内容要点（一）三重积分的概念与性质 1定义 设是定义在空间有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域且对小区域上任意取一点都有存在（其中又表示为小区域的体积，为小区域的直径，而）则称这个极限值为在空间区域上的三重积分，记以。这时就称函数在上是可积的。 上的连续函数一定是可积的。 2基本性质 （1）（为常数） （2） （3） 其中，除公共边界外，与不重叠 （4）若，则 （5）若，则 其中V为区域的体积 （6） （7）积分中值定理 设在空间有界闭区域上连续，为的体积，则存在，使得 我们也把称为在上的积分平均值。 3对称区域上奇偶函数的积分性质 定理：设在空间有界闭区域上连续，而关于平面对称，则 其中是在平面上方的那一部分区域。 至于关于平面对称，或关于平面对称有类似的结果。（二）三重积分的计算方法 1直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设是空间的有界闭区域， 其中是平面上的有界闭区域，在上连续，函数在上连续，则C2zODZC1yxz （2）设 其中为竖坐标为的平面上的有界闭区域，则 2柱坐标系中三重积分的计算 相当于把化为极坐标而保持不变。 3球坐标系中三重积分的计算 然后再根据把三重积分化为关于的累次积分。 B 典型例题（一）、有关三重积分的计算 例1计算，其中由曲面，所围的区域 解： 例2计算，其中由曲面所围的区域 解：令，（广义球坐标） 则 例3计算，其中由曲面所围的区域 解：用球坐标（的球坐标方程化简为） 例4计算，其中由曲面，所围的区域 解： （二）、在物理上的应用 例1求椭圆锥面和平面围成物体的重心（设密度均匀恒为1） 解：设重心坐标物体所占空间区域为 由对称性可知， 由锥体体积公式可知 令， 而 因此，重心坐标， 例2设有一半径为的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数），求球体重心的位置 解一：设球面方程为，为，球体的重心坐标为由对称性可知， 由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 于是 因此，重心坐标为 解二：设球面坐标，重心坐标 由对称性可知， 于是，重心坐标73 曲线积分（数学一）A 内容要点（一）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 1定义 平面情形：设平面上逐段光滑曲线上定义函数把曲线任意分割为段，在上任取一点，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。 （这里又表示第段曲线的弧长，） 则称此极限值为在曲线上的第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分，记以 如果曲线是封闭曲线，则记以 空间情形：空间一条逐段光滑曲线上定义函数，把曲线任意分割为段，在上任取一 点，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。 （这里又表示第段曲线的弧长，） 则称此极限值为在曲线上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以 如果曲线是封闭曲线，也记以 2参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间曲线的参数方程， 则 （假设和，皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算。（二）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 1定义 平面情形：设平面一条逐段光滑有定向的曲线，函数和皆在上有定义，把任意分成段，在上起点坐标为，终点坐标为（按的定向决定起点和终点）令， ，再在上任取一点，考虑极限 其中仍然是段弧长中的最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为和对曲线的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以 第二类曲线积分有时也用向量形式表示，这时向量 ，用向量点乘概念 另外，平面曲线是封闭曲线时，它的定向用逆时针方向或顺时针方向加以指明。 空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线，函数，在上皆有定义，把任意分成段，在上起点坐标为，终点坐标（按的定向决定起点和终点）令，再在上任意一点考虑极限 其中仍是段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为，和对空间曲线的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以 它的向量形式为 其中 如果是空间封闭曲线也要说明的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针，必须用其他方式加以说明。 2参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间有向曲线的参数方程，起点对应参数为，终点对应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果，皆连续，又，也都连续，则 这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。（三）两类曲线积分之间的关系 1平面情形 设平面上一个逐段光滑有定向的曲线，在上连续，则 其中，为曲线弧在点处沿定向到方向的切线的方向余弦。 2空间情形 设为空间一条逐段光滑有定向的曲线，在上连续，则 其中，为曲线弧上点处沿定向到方向的切线的方向余弦。（四）格林公式 关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1（单连通区域情形） 设平面上有界闭区域由一条逐段光滑闭曲线所围成的单连通区域。当沿正定向移动时区域在的左边，函数，在上有连续的一阶偏导数，则有 定理2（多连通区域情形） 设平面上有界闭区域是连通区域（也即有个“洞”），它的边界，其中的定向为逆时针方向，定向皆为顺时针方向，仍符合沿的正定向移动时区域在它的左边这个原则。 函数，在上有连续的一阶偏导数，则 （五）平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件 设的分量，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价。 1对内任意一条逐段光滑闭曲线，都有 2任意在内，则只依赖于起点和终点，与曲线的取法无关，称为曲线积分与路径无关。 3成立。 4内处处有成立。 5向量场是有势场，即存在二元函数，具有，称为势函数，具有，。 B 典型例题（一）、用参数公式直接计算 例计算曲线积分 其中是曲线，从轴正向往负向看的方向是顺时针方向。 解：曲线是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取，根据题意规定的定向，则从变到，于是 （二）、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1求，其中，为正的常数，为从点沿曲线到点的弧 解一：用格林公式，但不是封闭曲线，故补上一段，它为从沿到的有向直线。这样构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 ， 令 ，根据格林公式 这里为由和围成的上半圆区域。 另外，在上，故 于是 解二：我们把所给曲线积分拆成两项 在中，由于，故积分与路径无关 又看出 因此 而在中，取的参数方程，从0到 于是 因此， 例2计算曲线积分，其中是以为圆心，为半径的圆周，取逆时针方向。 解：令， 当时，成立 因此，不能在的内部区域用格林公式 设法用曲线在的内部又包含原点在的内部，这样在与围成的二连通区域内可以用格林公式 今取曲线： 从到0为顺时针方向 令与围成区域为（二连通区域） 根据格林公式 （逆时针） （顺时针） 于是 （顺时针） （逆时针） 用的参数公式代入后，得 注：这里取为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取为，的圆周，那么最后的积分就比较复杂 例3设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。 （I）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有 ； （II）求函数的表达式。 （I）证如图， 设是半平面内的任一分段光滑简单闭曲线，在上任意取定两点，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线。 根据题设可知 根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得 （II）解：设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数。 由（I）知，曲线积分在该区域与路径无关，故当时，总有。 ， ， 比较、两式的右端，得 由得 ，将代入得 ， 所以，从而 （三）、应用 例在变力的作用下一质点由原点沿直线到椭球面上第一卦限的点问取何值时，作功最大，并求。 解：设线段的参数方程，则在上作功 用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数 （1） （2） （3） （4） 得 （5） 由（1）得代入（5）得，则， 同理得， 故原点到作功最大，最大功为74 曲面积分（数学一）A 内容要点（一）第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 1定义 设为分块光滑曲面，在上有定义，把曲面任意分成块小曲面，在上任取一点，把小曲面的面积也记以，而表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等 则称这极限值为在曲面上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记以 2基本计算公式 设曲面的方程，在上有连续偏导数。 在上连续，则 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。（二）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 1定义 设为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，皆在上有定义，把曲面任意分成个小曲面，而在平面上投影的面积记以，在平面上投影的面积记以，在平面上投影的面积记以，又在上任取一点，令是各小块曲面直径的最大值，考虑极限 如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，则这个极限限称为，在有向曲面上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面积分，记以 如果令， 则向量形式为 2基本计算公式 如果曲面的方程， 在上连续，在上连续，则 若曲面指定一侧的法向量与轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为平面上的二重积分。 类似地，曲面的方程表示为，则 曲面指定一侧的法向量与轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面的方程表示为，则 曲面指定一侧的法向量与轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行计算，但是当有些为只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。（三）两类曲面积分之间的关系 其中为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。 令， （四）高斯公式 定理1（单连通区域） 设是由分块光滑曲面围成的单连通有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则 （外侧） 其中为在点处的法向量的方向余弦。 定理2（多连通区域） 设是连通区域，外面边界曲面为外侧，每一个“洞”的边界曲面为内侧，彼此不重叠，都在的内部。这些曲面都是分块光滑的，是有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则 （外侧） （内侧）（五）斯托克斯公式 定理：设是逐段光滑有向闭曲线，是以为边界的分块光滑有向曲面，的正向与的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数在包含的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 也可用第一类曲面积分 （六）散度与旋度 讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我们已经讨论过梯度： 设 算 称为的梯度。 1散度 设 散度称为的散度 高斯公式可写成 （外侧） 2旋度 设 旋度 称为的旋度。 斯托克斯公式可写成 其中, B 典型例题（一）、用基本公式直接计算曲面积分 例1设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为原点到的距离，求 解： 先求出，设为上任一点，则的方程为 即 由的方程，于是 这样 区域 所以 原式 （二）、用高斯公式计算曲面积分 例1计算（常数） 其中上侧（） 解： 令曲面下侧