高级通信原理第5章_数字信号的频带传输.pdf

第5章数字信号的频带传输 ?数字调制原理 ?调制原理、功率谱密度和频带利用率 ?2ask、qam在awgn条件下的最佳接收 ?2ask、qam在理想限带及awgn条件下的最佳接收 ?数字调制系统的最佳接收和误码率分析 ?矢量表示 ?统计判决理论 ?awgn条件下的最佳接收及误码率分析 ?数字调制方式的比较 ?带限信号和功限信号 ?带宽和维度 本章主要内容 5.1 数字调制原理 基带信号： 带通信号的等效低通表示： ?结论：带通性数字调制信号的功率谱密度是 将复包络的功率谱从零频搬移到载频上。 ?ook信号的功率谱 推导： 问题： 如果基带信号为升余弦滤波器的冲激响应，则功率谱 密度为多少？频带利用率为多少？ 或称为 mpam频带信号 ?练习： ?练习： ?误码率分析？ ?当信道带宽受限时，如果发送信号设计成带限且 具有零isi，则相对于无带宽限制的通信系统，不 会造成误码率性能的损失。 4 points qam ( ) 22 224 4 1 aap av =() 222 2232 4 1 aaap av =+= ?假定先验等概，则平均发送功率 8 points qam pav=6a26.83a2 6a2 4.73a2 d is the best () () = = += += m m msmc m m msmcav aa m a aa m p 1 22 2 1 22 1 ?假定先验等概， 则平均发送功率 ?练习 例 题 电话信道可以通过hz3300300频带的所有 频率。 设计一个调制解调器， 符号传输速率为 2400 符号/秒，而信息速率为 9600b/s，试选择合适的 qam 信号、载波频率、滚降因子。并画出最佳 接收的系统方框图。 解： ?随着m的增大，mfsk信号功率谱的主瓣宽度随之增大， 频带利用率随之减小。 ?练习 hzbaud /1 w r s = ,logrr 2s m= ?基带pam信号 总结：频带利用率 (假定基带信号采用不归零矩形脉冲) ?ask信号或频带pam , 2/1 b r s =,logrr 2s m= )/(log w r 2 hzsbitm= m 2 log 2 1 w r = ?psk、qam信号 m 2 log 2 1 w r = ?fsk信号 ()很大如果mm m 2 log 2 w r = + = 1 2 w r s m 2s logrr = ?基带pam信号 频带利用率 (假定基带信号采用滚降频谱的波形) ?ask信号或频带pam , 1 1 b r s + =,logrr 2s m= m 2 log 1 2 w r + = m 2 log 1 1 w r + = ?psk、qam信号 m 2 log 1 1 w r + = 5.2 awgn条件下的最佳接收及 误码率分析 1)数字调制信号的矢量表示 2) awgn下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析 ?例5 : 4ask(或4pam频带信号) 一、最佳接收机 ?信号解调器 ?相关解调器 ?mf解题器 ?最佳检测器 无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。 对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。 假定发送 m 个信号波形( )mmtsm, 2 , 1,?=，每个 波形的持续时间为 t。在tt 0间隔内，接收信号表示为 ( )( )( )()tttntstr m +=0 根据接收信号( )tr在()tt 0时间上设计一个接收 机，使得差错率最低。 接收机分为两部分，即信号解调器和检测器。 信号解调器的功能是将接收波形变换成n维矢量 n rrrr? 21 =，其中为发送信号波形的维数。 检测器的功能是根据矢量在个可能信号波形中判断 哪一个波形被发送. 1) 相关解调器 接收信号的正交展开 用 相 同 的 归 一 化 正 交 函 数 集( )tf k 对 接 收 信 号 ( )( )( )()tttntstr m +=0进行正交展开。 ( ) ( )( )( )( )dttftntsdttftr t km t k += 00 可得观察矢量 n rrrr? 21 =。 ( ) ( )( ) ( )dttftnndttftss nknsr t kmk t kmmk kmkk = =+= 00 , where ,.,2 , 1, 相关解调器 因为正交函数集( )tfk不能构建噪声空间，接收信号 ( )( )( )( )( )( )tntfrtntfntfstr n k kk n k kk n k kmk +=+= =111 其中( )( )( ) = = n k kk tfntntn 1 ，( )t n 表示( )tn与( )tn在基 函数( )tf n 上投影的对应部分之差。 可以证明：( )t n 不包含与判决有关的任何信息。 也就是说， 判决完全可以根据相关器的输出 k r来进行。 可以证明： 1) 噪声 k n是均值为 0，方差2/ 0 2 n n =的不相关（即相互独立） 的高斯随机变量。 （设信道噪声( )tn的功率谱密度为2/ 0 n（w/hz） ） 2) 在发送信号( )tsm的条件下，相关器输出 k r也是不相关（即相互 独立）的高斯随机变量。 ( )() mkkmkk snsere=+=；2/ 0 22 n nr = 3) 条件概率密度 ()() () = = n k mkk n k mkkm n sr n srpsrp 1 0 2 0 1 exp 1 | nkmm, 2 , 1, 2 , 1?= 例 511 研究一个 m 元的基带 pam 信号集，在该信号集中的 基本脉冲形状( )tg是高度为 a，宽度为 t 的矩形。加 性噪声( )tn是均值为 0， 功率谱密度为2/ 0 n（w/hz） 。 计算基函数( )tf，相关解调器的输出，() m srp|。 参见(第4版)172页 2) mf解调器 mf 匹配于各归一化的正交基函数，冲激响应为 ( )()ttnkttfth kk =0;, 2 , 1,? 则 mf 的输出 ( )( ) ()( )()dttfrdthrty t k t kk += 00 在 t=t 时刻对 mf 输出进行抽样，得到 ( )( ) ( )nkrdfrty k t kk , 2 , 1 0 ?= 因此，在 t=t 时刻 mf 输出的抽样值与相关器输出值完 全相同。所以 mf 解调器产生观察矢量 k r。 例 512 m=4的双正交信号是由两个正交信号构成的。 该信号用来在 awgn 信道传输信息。假定噪声均 值为 0，功率谱密度为2/ 0 n。 求该信号集的基函数，匹配滤波解调器的冲激 响应，当发送信号为( )ts1时匹配滤波器解调器的 输出 21,r rr =。 ?m=4的双正交信号(eg.4psk) ?参见(第4版)175页 复习：双正交信号 一组 m 个双正交信号集可以由 m/2 个正交信号与其负的正交信号构成。 注意：在任何一对波形之间的相关系数为- 1 或 0，相应的距离为e2或 e2，且后者为最小距离。 二、最佳检测器 前面已经证明， 对于 awgn 信道传输的信号， 相关解调 器或者匹配滤波器解调器产生的向量 n rrr?, 21 =r包含了 接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r的 最佳判决准则。 假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量 n rrrr?, 21 =对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确 判决概率最大。 ? 最大后验概率准则 ? 最大似然准则 ? 最小距离准则 已经解决的问题： 提出问题： 根据观察矢量 r 作出发端发送的是哪个 m s 的估 计， 其判决输出用 s 表示。 若输出判决 s 不等于 m s， 则判错。如何使平均错判概率最小？ 如何确定判决准则？ 根据观察矢量r 落入哪个判决区域 m r， 作出发端发送的是哪个 m s 的 估计，用 s 表示。若输出判决 s 不等于 m s，则判错。所以错误概率表示为 () = = m m r mm m m mmmm m drsrpspssspspp 11 |1)()|()( () = = m m r mm m drsrpsp 1 |)(1 可见，为了得到最小的错误概率，对于给定的观察矢量 r ，选择“最大 的() mm srpsp|)(所对应的 m s”作为判决输出，即 () mms srpsp m |)(maxarg = s “最小的错误概率”准则：选择“最大的() mm srpsp|)(所对应 的 m s”作为判决输出，即 () mms srpsp m |)(maxarg = s 根据贝叶斯公式，后验概率 () () () ( )r srs rs mm m p pp p | |= “最大的() mm srpsp|)(”即为“最大的()rsm|p” ，则判决准 则为 ()rss m |maxargp m s = 即选择最大的后验概率，称该准则为 map 准则。 结 论 最大后验概率（map）准则（最小错误概率准则） ： 选择后验概率集合()()mmp, 2 , 1|?=rsm中最大值的信号。 等价于“选择() mm srpsp|)(最大值的信号” 。 最大似然（ml）准则： 当先验等概时， 即对所有 m 有()mp/1= m s， 最大后验概率 （map） 准则可等价为寻求使() m sr |p最大的信号。 条件概率() m sr|p或者它的任意单调函数通常称为似然函数。 选择似然函数集合() m sr|p()mm, 2 , 1?=中最大值的信号。 可以证明，awgn 信道中， “ml 准则”等价于“最小距离准则” 。 最小距离准则： 选择在距离上最接近接收信号向量r的信号 m s。 也就是使得下列欧式距离 ()() = = n k mkk srd 1 2 , m sr 最小的信号 m s ()()mmsrpp n k mkkm ,2 , 1, 1 = = sr () () nk n sr n srp mkk mkk ,.2 , 1,exp 1 0 2 0 = = () () () mm n sr n sp n k mkk n m ,2 , 1,exp 1 1 0 2 2 0 = = = r ()()()() = = n k mkkm sr n nnp 1 2 0 0 1 ln 2 1 lnsr ()() m psrln最大，等价于“欧式距离()() = = n k mkk srd 1 2 m sr,”最小。 最小欧式距离准则的证明思路 距离度量： () mm ssrrd mm n n mn n n mnn n n n ,.2 , 1,2 2 22 1 2 11 2 =+= += = ssrr sr, m () 2 2 mm dssrsr, m += 相关度量：()( ) ( ) mm t mm dttstrc= 0 2 22ssrsr, m 可见， 距离()() = = n k mkk srd 1 2 m sr,最小， 等价于相关度量() m sr,c最大。 ? 最大相关度量准则 最佳awgn接收机的实现形式 例 513 研究二进制 pam 信号，其中两个可能的信号 点为 b ss= 21 ， b 表示为每比特能量。 先验概率( )()psppsp=1, 21 。 求在发送信号受到 awgn 影响时最佳 map 检测器的度量。 参见(第4版)179页 the received signal zero mean gaussian noise ( )tyr nb += () () = 2 2 1 2 exp 2 1 n b n r srp () () + = 2 2 2 2 exp 2 1 n b n r srp ()() () = = 2 2 11 2 exp 2 n b n rp psrppm sr, ()()() () + = = 2 2 22 2 exp 2 1 1 n b n rp psrppm sr, () () 1 2 1 , 1s pm pm sr, sr, () () ()() + = b bb rr p p pm pm 2 exp 1 22 2 1 sr, sr, ()() 1 22 , 1 ln 2 s p p rr b bb + p p nr b 1 ln 4 1 0 s1 s2 p p n h = 1 ln 4 1 0 threshold: depends on n0and p when p=0.5, h=0 总结： 后验概率()rsm|p 似然函数() m sr|p 欧式距离()() = = n k mkk srd 1 2 , m sr 相关度量：() 2 2 mm cssrsr, m = 1） 最佳检测器（最小错误概率） ： “最大后验概率准则” 2） “最大似然准则”只有在先验等概条件下才是“最佳检测器” 。不等概 时，为了得到最小的错误概率，应该计算“度量() () mm ssrpp|最大” 3） “ml 准则” 在 awgn(无记忆信道)条件下， 等价于 “最小距离准则” ， 也可为 “最大相关度量准则” 。但它不一定是最佳的，同” ml 准则“一 样，只有在先验等概条件下才是“最佳检测器” 。 ?数字调制系统的最佳接收机的误码分析 ?二进制调制的错误概率 ?m元pam的错误概率 ?qam的错误概率 二进制调制的错误概率 1、2pam 2、正交信号 2pam the received signal ( )tyr nb += transmitted signals ( )( )( )( )tgtstgts= 21 , () () = 0 2 0 1 exp 1 n r n srp b () () + = 0 2 0 2 exp 1 n r n srp b 02/ 1)()( 21 = h spsp )|()()|()( 2211 sepspsepspp b += ()() = 0 11 drsrpsep ()() () = = = = 0 2 2 2 2 0 0 2 0 0 11 2 2 exp 2 1 2 exp 2 1 exp 1 0 0 n q dx x dx x dr n r n drsrpsep b n n b b b error probability n: variance is =n0/2 in such a case, h=0 ( )0, 2 exp 2 1 2 = xdt t xq x ( ) = x dttx 0 2 exp 2 erf ( ) = 2 erfc 2 1x xq ( )( ) = x dttxx 2 exp 2 erf1erfc 复习 b d2 12 = = 0 2 12 2n d qp b error depends only on the signal to noise ratio using euclidean distance ()() = += 0 21 2 2 1 2 1 n q sepsepp b b 2 12 4 1 d b = 二元正交信号 两个信号的向量表示为 b bb d ss 2 0,0 12 21 = = 如果发送为s1，则解调器输出端的接收向量为 2121 ,nnrr b +=r 错误出现在 c(r,s1) = 12121 ,srsrs ()()() b nnpccpep= 12121 ,srsrs () b b b q n qnnp = = 0 12 和二进制双极性信号相比，要达到同样的错误概率， 正交信号的能量需增加一倍，即正交信号的性能劣于双极 性信号3db，这是由于两个信号点之间的距离引起的。 binary signals m- ary pam signals mmas gmm ,.2 , 1, 2 1 = ()mmdmma m ,.2 , 1,12= () g m m mav dm m 22 1 1 6 11 = = 平均能量 () g m m m av av dm tmt p 22 1 1 6 11 = = 平均功率 si i r 最大相关度量判决准则等效于将解调器输出r与 （m1）个阀值组进行比较，这些阀值位于相邻幅 度电平的中点，作出的判决是距离r最近的幅度电平 所对应的信号点。 可见，平均符号错误概率就是噪声变量n的幅度 超过两个相邻电平之间距离一半的概率；而两个外层 电平的任一个发送时，差错只出现在一个方向上。 () = = 0 2 2/ / 0 12 21 0 2 n d q m m dxe nm m p g d nx m g 所以，平均符号错误概率为 () () = 0 2 1 612 nm q m m p av m 等效于 噪声幅度超过两个相邻信号点距离一半的概率 () = 2/ / 0 0 2 2 2/ g d nx gm dxe n dsrp () () () = 0 2 2 1 log6 12 nm m q m m p avb m 使用比特 snr 作为基本参数来表示平均符号错误概率。 因为 平均比特能量 m av bav 2 log =，所以平均符号错误概率 m 每增加 1 倍，比特 snr 增加超过 4db。对于大 m 值， 当 m 每增加 1 倍时，要求比特 snr 增加近 6db。 m=2, equals to the antipodal signals k increase by one, 4db snr is required use gray coding, mb p k p 1 = 0 2 2 n qp b m=2 m=4() 2 0 2 2 2 11 = n qpp b c = = 00 2 00 4 2 2 1 1 2 2 22 21 n q n q n q