数学教育毕业论文（设计）-浅谈反例在中学数学教学中的应用.doc

宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 (设 计)专业 数学教育 指导教师 赵小珍 学生 学号 题 目 浅谈反例在中学数学教学中的应用 2012年 5月25日浅谈反例在中学数学教学中的应用（宁德师范学院数学系09数学教育（2）班 福建宁德 352100） 摘要：我们通过以下几个方面介绍了反例在中学数学中的应用，从而使得我们更好的掌握数学中的一些概念，方法.关键词：反例 概念 类型 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.“要明确一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就行了.”这在数学中称为举反例.g波利亚说：“类比和反例是获得发明的伟大源泉.通过类比使我们获得一系列的猜想，但当猜想实为谬误时，反例是最简捷的一种说明方法.”教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具.从数学的发展史来看，反例和证明一样占有重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，正确则要求严格证明，谬误则靠反例来否定.而数学的发现也是朝着这两个目标提出证明和构造反例发展.那现在就让我们一起来谈谈什么是反例以及它在中学数学教学中的广泛应用.1 数学反例的概念与类型1.1 数学反例的概念数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子.也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子.从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立.但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：第一 是相对于数学命题而言；第二 是具体的实例；第三 是反驳与纠正错误数学命题的一种方法;第四 是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上. 一般来说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了.1.2 反例的类型反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：1.2.1 基本形式反例 数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断.其中全称肯定判断(所有s都是p)与特称否定判断(有s不是p)可以互为反例，全称否定判断(所有s都不是p)与特称肯定判断(有s是p)也可以互为反例. 1.2.2 关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例 充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可表述为pq，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者.”可举反例“没有前者，却有后者”说明之.这种反例称关于充分条件假言判断的反例. 必要条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况必要条件的假言判断，可表述为pq，即“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”.可举反例“有了前者，没有后者”说明之. 1.2.3 条件变化型反例数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点所举出的反例称为条件变化型反例.条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的.2 数学反例在中学教学中的应用背景 数学新课程标准的基本理念的核心内容有这样一条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动.内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程.本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神.数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式.那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建.数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法. 数学家br盖尔鲍姆说过：“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧，使人得到享受和兴奋，为数学作出许多最优雅的和艺术性很强的贡献，属于这个流派.”在中学阶段的数学教学中，数学反例的应用是一种必然的教学手段，适当地应用反例并加强对学生构造反例能力的培养，将直接有效地推动教学质量的提高，使新课程标准下的教学理念真正得以体现，实现“教”与“学”的完美结合.3 反例在中学数学教学中的应用3.1 反例在理解基本概念、定理时的应用概念是数学理论和方法的基础，只有准确理解和把握概念的内涵，才能正确掌握数学知识.数学中的概念、定理繁多，有些概念、定理是比较抽象的.美国著名的心理学家布鲁纳说过：“学习任何学科，主要是要使学生掌握该学科的基本结构.所谓基本结构是指基本原理或基本概念.”数学教学离不开概念教学，定理的形成也是在理解概念的基础上建立起来的.在概念、定理教学中，对某些重要的概念、定理，课本仅从正面给出定义并举例说明，学生往往理解不够透彻，容易产生歧义，若能举出一些不符合定义的例子，就能加深学生对概念、定理的理解.3.1.1反例有利于学生深刻理解数学概念在讲授数学概念时，一些学生往往满足于教科书上概念和定义的文字记忆，而对其内容缺乏深刻的理解，应用概念作判断则更困难。例1 在进行奇、偶函数概念的教学时，不少同学对概念的理解只是表面的，还没有深入到本质.教师可提出问题： 是偶函数吗？ 这时问题就出来了：有的学生会不加思索地回答是，也有的学生会回答不是。教师可以结合奇偶函数的概念，对此例进行分析。首先老师给出答案，告诉同学们这个式子不是偶函数，然后分析下不是的原因，即函数仅当其定义域关于原点对称时才能谈及奇、偶性，而这个式子中定义域没有关于原点对称，所以该函数不是偶函数.以此来提醒学生注意对概念的理解不能只停留在表面.例2 高中学生刚开始学习异面直线时，常常会把它理解为在两个平面内不相交的直线是异面直线，而忽略了这两条直线也可以是平行的，教师可以举个例子：有一正方体，上、下两底面上的面对角线与在两个不同的面上，显然是异面直线，但它们是平行的.通过这个例子，学生就能更好的理解“不在任何一个平面上”的涵义，知道不相交的直线与平行线都是异面直线.这就避免了学生由于对概念理解模糊而引起的片面理解.例3 在进行函数概念的教学时,有的同学片面地认为:“一个变量随着一变量的变化而变化,它们之间的关系就是函数关系”.教学中为纠正这个错误,教师可以提出如下反例:“一个非负数与它的平方根即，是函数关系吗?”通过讨论, 学生发现,虽然平方根与非负数有关,但当自变量发生变化时,没有唯一完全确定的值与它相对应,不符合函数的定义.这样以后学生在回忆函数概念的时候很容易就会想到这个反例，进一步加深对函数这个概念的理解.巧妙的应用反例，可以很容易帮助同学们消除数学中的对概念的模糊认识，从而达到了加深对概念理解的效果.3.1.2 反例有利于学生明确、牢记定理的应用条件与范围任何定理的应用都满足一定的条件或只适合某一范围.一部分学生在使用定理时，忽视或误用条件的情况屡见不鲜.针对这一问题适时地引进反例可得到有效的预防，从而减少或避免失误.例4 学生学习三角形全等的判定定理时，需要掌握几个判定定理，这时学生很容易产生混淆,这时老师可以提出例子.如，三个角都相等的两个三角形全等？这时教师可以用图像构造法，画出两个三角形.一个取它们的角都为，边为，另一个三角形则为角都为，但边为的三角形.明显的，两个三角形虽然三个角一样大，但却不是全等三角形.通过这个反例，学生就能更好的记住三角形全等的判定定理的应用条件.例5 学生应用定理解题时，常常只注意到定理的结论，而对定理的前提条件，即该公式的使用范围，往往给忽略掉，因而经常出错.单靠老师提醒，还不足以引起学生的重视，有时举一个反例就能取得良好的效果. 如，求抛物线的切线，且切线过点，求此时切线方程？有同学解答如下：“因为过点的切线方程为，此时代人即得切线方程：”，对不对呢？画出图形来就可知道不相切.知道这是为什么吗？原来应用切线公式必须有一个前提条件，即点（）必须是抛物线上的点，而这里点不是抛物线上的点，故不能用此公式.此反例也告诉我们在使用公式时，必须注意公式的适用范围，不可乱用.这样就会使学生印象深刻，从而以后防止类似问题发生. 在教学中适当举出反例，对帮助学生理解定理、概念、方法掌握有着良好的作用；同时也能提高学生的思维品质，学会遇到类似问题时举反例解题.正如数学家维奥拉说过：“反例可以检验你是否已经正确而深入地了解了数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格地约束在一种秩序中.”3.2反例在否定一个命题时的应用由于反例在否定一个命题时具有独特的作用，因此在数学教学中，若能充分利用反例，在讲述概念及定理应用以及解答一些数学问题时，就可以收到事半功倍的效果.在教学过程中，经常见到许多学生通过类比、推广等方法得到一些错误的结论，要否定这些谬论，反例是一种有力的武器.例6 命题“”是三角形的三边，由，推出是否正确？举一个反例：若的对角为直角，则有，这与原命题的结论不一致，所以原命题不是真命题.例7 命题“正比例函数的函数值随着自变量的增大而增大”是否正确？举一个反例：若有反比例函数，则函数值随着自变量的增大而减小，所以命题不是真命题.因此，否定一个命题的最佳途径是构造出一个反例.反例是否定一个命题的有力武器，是判断命题真伪的试金石.一个似真似假的命题，只要利用反例就能很快辨出命题真假.3.3 反例在辨析、纠正错误时的应用学习过程是一个知识不断积累的过程，同时也是不断发现错误，改正错误的过程反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等特点通过反例教学，不但可以发现学习中的错误和漏洞，而且可以从反例中修补有关知识，从而获得正确的结论或解答例8 学习反函数后，有这样一个性质：函数的图象与其反函数的图像关于直线对称，因此就有同学认为：函数与其反函数图像的交点在直线上?事实上，举一个简单的反例就可说明此结论是错误的,如：的反函数仍是 ，这两图像是重合的，当然有无数的交点而且只有，两点在直线上，其余都不在此直线上.例9：当同学看到函数“”时，要求的值，则很多同学会直接得出，这结论正确吗？事实上，我们取，则，即也是正确的，但不具备命题的结论.所以此命题是假的.3.4 反例在克服思维定势、抑制负迁移时的应用举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式，即定势思维定势会产生“墨守成规”、“机械记忆”等负面效应，此时求异的反例恰恰是解决这一弊端的得力方法例10 教二次函数时，关于切线问题得出这样的结论：过一点与抛物相切的直线不再与直线相交.当然此结论是正确的，在后来教曲线方程时学生由于受此影响，形成了思维定势，得出如下结论：过一点与曲线相切的直线一定不再与曲线相交，可举反例说明这个结论是不正确的. 如：求曲线c：过点的切线的方程.错误解法是将误认为切点从而求得方程.实际上，设切点为因为，则处的切线方程为：，又因为点在切线方程上，于是有（1），在曲线上，将代入（1）式得解出，或.当时，为此时切线方程为； 当时，为此时切线方程为：. 上述两切线方程中，是以为切点且与曲线相交于点. 因为学生平时接触的命题大都是真命题，学生最熟悉、习惯的是正向思维，易形成思维定势，尖子生的表现尤为明显，总是千方百计地希望将结论证明成立.往往反映出学生思维品质的缺失.实际上，无论在理论研究上还是实际生活中，假命题很多，正是由于对逆向思维要求较高，使得“反例题”的编写困难，题海中经典“反例题”难得一见.课标指出“体验数学活动充满着探索性和创造性”，反例教学有利于培养学生思维的严密性、灵活性、深刻性、批判性，对打破思维定势，弥补思维缺失、优化认知结构起着重要的作用. 反例是数学课堂教学中的一个“调节器”，无论是在新课教学还是在练习的过程中，反例都起到了举足轻重的作用.它的应用可以帮助学生在发现别人错误的同时，体验到成功的快乐，并以别人的错误提醒自己，减少自己的错误.在数学课堂中巧用反例，可以使学生积极思维，利用矛盾冲突使学生所学知识更加完善，从而使数学课堂更加丰富、生动、和谐、有效.数学是一门非常严密的学科，它具有自己独特的思维方式和逻辑系统，在数学教学中，把反例恰当的融入教学，让学生多层次的掌握数学的基础知识，多角度观察、思考问题，充分发挥个人的数学思维能力，发展逆向思维和发散思维，逐步提高学生的数学能力，思维能力，解决数学问题能力.参考文献：1（美）g波利亚，怎样解题m，上海，上海科技教育出版社，2007.2黄淑林，浅谈数学反例j，广西民族学院报（自然科学版），1999，（04).3张爱国，浅谈反例在数学教学中的作用j，湖南工程学院学报（自然科学版），1996，（01).4席振伟，数学的思维方式m，南京，江苏教育出版社,1995.附表1： 宁德师范学院毕业论文(设计)开题报告学生姓名徐燕凤学 号2009041232系 别数学系专 业数学教育指导教师赵小珍职 称 讲师毕业论文（设计）题目浅谈反例在中学数学教学中的应用毕业论文（设计）工作期限2011 年 12月 15 日起至 2012年 5 月27日止选题的目的和意义目的：反例是数学课堂教学中的一个“调节器”，无论是在新课教学还是在练习的过程中，反例都起到了举足轻重的作用.它的应用可以帮助学生在发现别人错误的同时，体验到成功的快乐，并以别人的错误提醒自己，减少自己的错误. 意义：在数学课堂中巧用反例，可以使学生积极思维，利用矛盾冲突使学生所学知识更加完善，从而使数学课堂更加丰富、生动、和谐、有效.毕业论文、设计综述 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.“要明确一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就行了.”这在数学中称为举反例.g波利亚说：“类比和反例是获得发明的伟大源泉.通过类比使我们获得一系列的猜想，但当猜想实为谬误时，反例是最简捷的一种说明方法.”教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具.从数学的发展史来看，反例和证明一样占有重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，正确则要求严格证明，谬误则靠反例来否定.而数学的发现也是朝着这两个目标提出证明和构造反例发展.那现在就让我们一起来谈谈什么是反例以及它在中学数学教学中的广泛应用. 本文从以下三个方面来阐述：1 数学反例的概念与类型1.1 数学反例的概念1.2 反例的类型1.2.1 基本形式反例1.2.2 关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例1.2.3 条件变化型反例2 数学反例在中学教学中的应用背景3 反例在中学数学教学中的应用3.1 反例在理解基本概念、定理时的应用3.1.1 反例有利于学生深刻理解数学概念3.1.2 反例有利于学生明确、牢记定理的应用条件与范围3.2 反例在否定一个命题时的应用3.3 反例在辨析、纠正错误时的应用3.4 反例在克服思维定势、抑制负迁移时的应用研究步骤一、确定选题、查阅和收集相关资料二、拟订撰写提纲三、确定研究内容1数学反例的概念与类型2.数学反例在中学教学中的应用背景3.反例在中学数学教学中的应用日程安排定题方向，确定论文题目2011.12.152012.12.31查阅和收集资料 2012.01.012012.01.31拟订论文写作提纲 2012.02.012012.02.29写出论文初稿 2012.03.012012.04.05修改论文 2012.04.062012.05.15定稿提交 2012.5.162012.05.27阅读书目及参考文献 1（美）g波利亚,怎样解题m,上海,上海科技教育出版社，2007. 2黄淑林,浅谈数学反例j,广西民族学院报（自然科学版），1999（04). 3张爱国,浅谈反例在数学教学中的作用j,湖南工程学院学报（自然科学版），19