“尚未成功”的突破.doc

“尚未成功”的突破 坦率说，在我个人的解题经历中，“尚未成功”乃至失败，实在是比激动人心的成功多得多但是，“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果，而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”（见文1、2），我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助，但我能肯定地说，这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产，并且我的看法（包括本刊1998年开始的解题分析连载以及解题学引论一书）已引起了一部分同行的关注与共鸣，需要致歉的是，二三年来，关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复，今天的话题很大程度上是一种有意的弥补下面，笔者要进行3个解题个案的分析，以展示如何由失败走向成功，又如何对浅层的成功进行深层的调控1个案1由失败中获取有用的信息例1若、为互不相等的实数，且（）（）（），求解：由等比定理得 但是，式的分母为零我们的解题努力失败了评析：这是一个失败的解题案例，文3谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到式所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的式去掉，把目光同时注视式与式时，式使我们看到了两条直线重合：而式又使我们看到了直线通过点作一步推理，直线也通过点（1，1），于是与文3相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即式第2，对式、式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成2个案2尚未成功不等于失败设（）为关于的正项递增数列，为大于（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式时，其第2步会出现这样的情况：假设（），则无法推出（1）据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文432及文512）：命题设（）为关于的正项递增数列，为正常数，则不等式（）（）不能直接用数学归纳法证明评析：不等式没能用递推式证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式，这促使我们思考：（1）与（）之间难道只有一种递推关系吗？确实，有的函数式其（1）与（）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文6278给出过一个反例，说明上述“命题”不真：例2用数学归纳法证明讲解：当1时，命题显然成立现假设（）2，则（1）（）（12）2（12），由于2（12）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功然而，这仅是“方法使用不当”换一种递推方式，证明并不困难（1）1（12）（）1（12）22下面一个反例直接取自文4的例2例3求证（11！）（12！）（13！）（1！）2证明：当1时，命题显然成立假设时命题成立，则（11！）（12！）（1！）1（1）！1（12）（13）（12！）（1）1（1）！1（1）（1！）1（12）1（12！）1（1）！（1！）1（12）22这表明1时命题成立由数学归纳法知，不等式已获证3个案3对尚未成功的环节继续反思文7有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解引出简解创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：例4二次函数（）2的图象经过点（1，0），是否存在常数、使不等式对一切实数都成立？若存在，求出、；若不存在，说明理由讲解：作者从解两个二次不等式开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式对一切实数都成立，猜想经，（）满足条件（1）0，所以（）存在，（14），（12），（14）我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出、”应该理解为“若存在，求出一切、”从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的疑点：诚然，式是满足的一个解，但是在与（21）2之间的二次函数很多，如1（）（12）（12）（21）2，2（）（13）（23）（21）2，3（）（14）（34）（21）2，这当中有的经过点（1，0），有的不经过点（1，0），巧解已经验证了1（）经过点（1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（1，0）呢？也就是说，”巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”究其原因，是未找出与（212）之间的所有的二次函数抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，式可以改写为或（）（21）2（1）（01）一般情况下应是的正值函数（文8默认为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），对设是错误的），但由于（）为二次函数，只能为常数为了在中求出，把（1）0代入即可求出1（或中12）式与式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别其实，原解法1出来之后，立即就可以得出式，与是否应用“基本不等式”无关同样，原解法1中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思下面一个解法请读者思考错在哪里？解：已知条件等价于存在0，使（）（）（21）20，把1时，（）0代入得1，从而（）（）（21）21，即2（）（1）22（）（32）20由此解出的（）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解作为对反思进行再反思的又一新例证，我们指出文9例2（即1997年高考难题）第1问，可以取（2）（0，1）（是的函数），则（）（1）（2）1（1），据定比分点的性质有（）11罗增儒解题分析解题教学还缺少什么环节？中学数学教学参考，1998，122罗增儒解题分析再谈自己的解题愚蠢中学数学教学参考，1998，43罗增儒解题分析人人都能做解法的改进中学数学教学参考，199874李宗奇调控函数及其应用中学数学杂志（高中），2000，35王俊英一类数学归纳法能否使用问题的判定中学数